Giải chi tiết Toán 9 CTST bài 2: Phương trình bậc hai một ẩn

KHỞI ĐỘNG

Sau khi được ném theo chiều từ dưới lên, độ cao h (m) của một quả bóng theo thời gian t (giây) được xác định bằng công thức h = 2 + 9t – 5t². Thời gian từ lúc ném đến khi bóng chạm đất là bao lâu?

Bài làm chi tiết:

Do vật chạm đất nên h = 0 hay 2 + 9t – 5t² = 0 5t² – 9t – 2= 0

Ta có a = 5; b = –9; c = –2

= (–9)² – 4.5.(–2) = 121

Vậy phương trình có hai nghiệm phân biệt là:

(loại vì t > 0); (thỏa mãn).

Thời gian từ lúc ném đến khi bóng chạm đất là 2 giây.

1. PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI MỘT ẨN

Giải chi tiết hoạt động 1 trang 11 sgk toán 9 tập 2 ctst

Một tấm thảm hình chữ nhật có chiều dài hơn chiều rộng 2 m. biết diện tích tấm thảm bằng 24 m². Gọi x (m) là chiều rộng tấm thảm (x > 0). Hãy viết phương trình với ẩn x biểu thị mối quan hệ giữa chiều dài, chiều rộng và diện tích của tấm thảm.

Bài làm chi tiết:

- Chiều dài tấm thảm là: x + 2 (m)

- Diện tích tấm thảm là: S = x(x + 2) x² + 2x = 24.

Giải chi tiết thực hành 1 trang 11 sgk toán 9 tập 2 ctst

Trong các phương trình sau, phương trình nào là phương trình bậc hai một ẩn? Chỉ rõ các hệ số a, b, c của mỗi phương trình bậc hai một ẩn đó.

a) –7x² = 0;                              b) –12x² + 7x – = 0; 

c) x³ + 5x – 6 = 0;                     d) x² – (m + 2)x + 7 = 0 (m là số đã cho).

Bài làm chi tiết:

a) các hệ số a, b, c của mỗi phương trình –7x² = 0

a = –7; b = 0; c = 0.

b) các hệ số a, b, c của mỗi phương trình –12x² + 7x – = 0

a = –12; b = 7; c = –.

c) Đây không phải là phương trình bậc hai một ẩn.

d) các hệ số a, b, c của mỗi phương trình x² – (m + 2)x + 7 = 0

a = 1; b = – (m + 2); c = 7.

2. GIẢI MỘT SỐ PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI DẠNG ĐẶC BIỆT

Giải chi tiết hoạt động 2 trang 12 sgk toán 9 tập 2 ctst

a) Bằng cách đưa về phương trình tích, hãy giải các phương trình sau:

                   i) 3x² – 12x = 0;                        ii) x² – 16 = 0.

b) Để đưa các phương trình bậc hai dạng đặc biệt trên về phương trình tích ta đã dùng các phép biến đổi nào?

Bài làm chi tiết:

a)       Ta có: 3x² – 12x = 0

3x(x – 4) = 0

x = 0 hoặc x = 4

Vậy phương trình có hai nghiệm x = 0; x = 4.

Ta có:  x² – 16 = 0

x² = 16

x = –4 hoặc x = 4

Vậy phương trình có hai nghiệm x = 4; x = –4.

b) Để đưa các phương trình bậc hai dạng đặc biệt trên về phương trình tích ta đã dùng các phép biến đổi đặt nhân tử chung và sử dụng hằng đẳng thức.

Giải chi tiết thực hành 2 trang 12 sgk toán 9 tập 2 ctst

a) 3x² – 27 = 0;                                  b) x² – 10x + 25 = 16.

Bài làm chi tiết:

a) Ta có:      3x² – 27 = 0

x² = 9

x = –3 hoặc x = 3

Vậy phương trình có hai nghiệm x = –3; x = 3.

b) Ta có:      x² – 10x + 25 = 16.

(x – 5)² = 16

x – 5 = 4 hoặc x – 5 = –4 

x = 9 hoặc x = 1

Vậy phương trình có hai nghiệm x = 9; x = 1.

3. CÔNG THỨC NGHIỆM CỦA PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI

Giải chi tiết hoạt động 3 trang 13 sgk toán 9 tập 2 ctst

Cho phương trình bậc hai x² – 4x + 3 = 0.

a) Thay mỗi dấu ? bằng số thích hợp để viết lại phương trình đã cho thành:

x² – 4x + 4 = ? hay (x – 2)² = ?.                    (*)

b) Giải phương trình (*), từ đó tìm nghiệm phương trình đã cho.

Bài làm chi tiết:

a) x² – 4x + 4 = 1 hay (x – 2)² = 1.

b) Ta có:      (x – 2)² = 1

x – 2 = 1 hoặc x – 2 = –1 

x = 3 hoặc x = 1

Vậy phương trình có hai nghiệm x = 3; x = 1.

Giải chi tiết thực hành 3 trang 14 sgk toán 9 tập 2 ctst

Giải các phương trình:

a) 7x² – 3x + 2 = 0;         b) 3x² - 2x + 1 = 0;               c) –2x² + 5x + 2 = 0.

Bài làm chi tiết:

a) 7x² – 3x + 2 = 0

Ta có a = 7; b = – 3; c = 2

= (–3)² – 4.7.(2) = –47 < 0

Vậy phương trình vô nghiệm.

b) 3x² – 2x + 1 = 0

Ta có a = 3; b = –2; c = 1

= (–2)² – 4.3.1 = 0

Vậy phương trình có nghiệm kép là

c) –2x² + 5x + 2 = 0

Ta có a = –2; b = 5; c = 2

= 5² – 4.2.(–2) = 41 > 0

Vậy phương trình có hai nghiệm phân biệt là: ;

Giải chi tiết thực hành 4 trang 14 sgk toán 9 tập 2 ctst

Dùng công thức nghiệm thu gọn để giải các phương trình sau:

a) 5x² – 12x + 4 = 0;                           b) 5x² - 2x + 1 = 0.               

Bài làm chi tiết:

a) 5x² – 12x + 4 = 0

Ta có a = 5; b’ = 6; c = 4

= (6)² – 5.4 = 16 > 0

Vậy phương trình có hai nghiệm phân biệt là:

;

b) 5x² – 2x + 1 = 0

Ta có a = 5; b’ = –; c = 1

= (–)² – 5.1 = 0

Vậy phương trình có nghiệm kép là

Giải chi tiết vận dụng trang 14 sgk toán 9 tập 2 ctst

Trả lời câu hỏi khởi động (trang 11).

Bài làm chi tiết:

Do vật chạm đất nên h = 0 hay 2 + 9t – 5t² = 0 5t² – 9t – 2= 0

Ta có a = 5; b = –9; c = –2

= (–9)² – 4.5.(–2) = 121

Vậy phương trình có hai nghiệm phân biệt là:

(loại vì t > 0); (thỏa mãn).

Thời gian từ lúc ném đến khi bóng chạm đất là 2 giây.

4. TÌM NGHIỆM CỦA PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI MỘT ẨN BẰNG MÁY TÍNH CẦM TAY

Giải chi tiết thực hành 5 trang 16 sgk toán 9 tập 2 ctst

Dùng công thức nghiệm thu gọn để giải các phương trình sau:

a) 3x² – 8x + 4 = 0;         b) 5x² – 2x + 12 = 0;            c) 2x² – 8x + 8 = 0.

Bài làm chi tiết:

Sử dụng máy tính ta được:

a) x₁ = 2; x₂ =               b) Phương trình vô nghiệm                 c) x = 2

5. GIẢI BÀI TOÁN BẰNG CÁCH LẬP PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI

Giải chi tiết hoạt động 4 trang 16 sgk toán 9 tập 2 ctst

Một mảnh đất hình chữ nhật có chu vi 100 m, diện tích 576 m².

Gọi x (m) là chiều rộng của mảnh đất (0 < x < 50).

Hãy lập phương trình biểu thị mối liên hệ giữa chiều rộng, chiều dài và diện tích mảnh đất.

Bài làm chi tiết:

- Chiều dài của mảnh đất là: 50 – x (m).

- Diện tích mảnh đất là 576 m², ta có phương trình: x(50 – x) = 576.

Giải chi tiết thực hành 6 trang 17 sgk toán 9 tập 2 ctst

Một sân khấu ngoài trời có dạng hình chữ nhật, chiều dài hơn chiều rộng 2 m, độ dài đường chéo là 10 m. Tính diện tích sân khấu đó.

Bài làm chi tiết:

- Gọi chiều rộng sân khấu là x (m, x > 0)

- Chiều dài sân khấu là x + 2 (m)

- Vì đường chéo sân khấu là 10 m  nên ta có phương trình

x² + (x + 2)² = 10²

x² + x² + 4x + 4 = 100

x² + 2x – 48 = 0

(x – 6)(x + 8) = 0

x = 6 (thỏa mãn) hoặc x = –8 (loại vì x > 0)

Chiều dài sân khấu là: 6 + 2 = 8 m

Vậy diện tích sân khấu là 6.8 = 48 m².

6. GIẢI BÀI TẬP CUỐI SÁCH

Giải chi tiết bài 1 trang 17 sgk toán 9 tập 2 ctst

Giải các phương trình:

a) 5x² + 7x = 0.               b) 5x² – 15 = 0.

Bài làm chi tiết:

a) Ta có: 5x² + 7x = 0

x(5x + 7) = 0

x = 0 hoặc x =

Vậy phương trình có hai nghiệm x = 0; x = .

b) Ta có: 5x² – 15 = 0.

x² – 3 = 0

x = hoặc x =

Vậy phương trình có hai nghiệm x = ; x = .

Giải chi tiết bài 2 trang 10 sgk toán 9 tập 2 ctst

Dùng công thức nghiệm để giải các phương trình sau và kiểm tra kết quả bằng máy tính cầm tay.

a) x² – x – 20 = 0;                     b) 6x² – 11x – 35 = 0;

c) 16y² + 24y + 9 = 0;               d) 3x² + 5x + 3 = 0;

e) x² – 2x – 6 = 0;                g) x² – (2 + )x + 2  = 0.

Bài làm chi tiết:

a) x² – x – 20 = 0

Ta có a = 1; b = –1; c = –20

= (–1)² – 4.1.(–20) = 81 > 0

Vậy phương trình có hai nghiệm phân biệt là:

; .

b) 6x² – 11x – 35 = 0

Ta có a = 6; b = –11; c = –35

= (–11)² – 4.6.(–35) = 961 > 0

Vậy phương trình có hai nghiệm phân biệt là:

; .

c) 16y² + 24y + 9 = 0

Ta có a = 16; b’ = 12; c = 9

= 12² – 16.9 = 0

Vậy phương trình có nghiệm kép là:

.

d) 3x² + 5x + 3 = 0

Ta có a = 3; b = 5; c = 3

= 5² – 4.3.3 = –9 < 0

Vậy phương trình vô nghiệm.

e) x² – 2x – 6 = 0

Ta có a = 1; b’ = –; c = –6

= (–)² – 1.(–6) = 9 > 0

Vậy phương trình có hai nghiệm phân biệt là:

; .

g) x² – (2 + )x + 2  = 0

Ta có a = 1; b = –(2 + ); c = 2

= (2 + )² – 4.1. 2 = (2 – )² > 0

Vậy phương trình có hai nghiệm phân biệt là:

; .

Giải chi tiết bài 3 trang 17 sgk toán 9 tập 2 ctst

Giải các phương trình:

a) x(x + 8) = 20;                                 b) x(3x – 4) = 2x² + 5;

c) (x – 5)² + 7x = 65;                          d) (2x + 3)(2x – 3) = 5(2x + 3).

Bài làm chi tiết:

a) x(x + 8) = 20

x² + 8x – 20 = 0

x² + 10x – 2x – 20 = 0

x(x + 10) – 2(x + 10) = 0

(x + 10)(x – 2) = 0

x = –10 hoặc x = 2

Vậy phương trình có hai nghiệm x = –10; x = 2.

b) x(3x – 4) = 2x² + 5

3x² – 4x = 2x² + 5

x² – 4x – 5 = 0

x² – 5x + x – 5 = 0

x(x – 5) + (x – 5) = 0

(x + 1)( x – 5) = 0

x = –1 hoặc x = 5

Vậy phương trình có hai nghiệm x = –1; x = 5.

c) (x – 5)² + 7x = 65

x² – 10x + 25 + 7x = 65

x² – 3x – 40 = 0

x² – 8x + 5x – 40 = 0

x(x – 8) + 5(x – 8) = 0

(x + 5)( x – 8) = 0

x = –5 hoặc x = 8

Vậy phương trình có hai nghiệm x = –5; x = 8.

d) (2x + 3)(2x – 3) = 5(2x + 3)

(2x + 3)(2x – 3) – 5(2x + 3) = 0

(2x + 3)(2x – 3 – 5) = 0

(2x + 3)(2x – 8) = 0

x = hoặc x = 4

Vậy phương trình có hai nghiệm x = ; x = 4.

Giải chi tiết bài 4 trang 17 sgk toán 9 tập 2 ctst

Quãng đường từ thành phố A đến thành phố B dài 150 km. Hai ô tô khởi hành cùng một lúc từ A đến B. Biết tốc độ ô tô thứ nhất lớn hơn tốc độ ô tô thứ hai là 10 km/h và ô tô thứ nhất đến B trước ô tô thứ hai là 30 phút. Tính tốc độ của mỗi xe.

Bài làm chi tiết:

Đổi 30 phút = 0,5 giờ

Gọi vận tốc của xe thứ nhất đi là x (km/h; x > 10)

Vận tốc của xe thứ hai đi là: x – 10 (km/h)

Thời gian xe thứ nhất đi là: (giờ)

Thời gian xe thứ hai đi là: (giờ)

Vì xe thứ nhất đến trước xe thứ hai 30 phút nên ta có phương trình:

x² – 10x + 300x – 3000 = 300x

x² – 10x – 3000 = 0

x² – 60x + 50x – 3000 = 0

x(x – 60) + 50(x – 60) = 0

(x + 50)( x – 60) = 0

x = –50 (loại) hoặc x = 60 (thỏa mãn)

Vận tốc xe thứ nhất là 60 km/h.

Vận tốc xe thứ hai là 60 – 10 = 50 km/h.

Giải chi tiết bài 5 trang 17 sgk toán 9 tập 2 ctst

Một khu vườn hình chữ nhật có chu vi 280 m. Người ta để một lối đi xung quanh vườn rộng 2 m. Phần đất còn lại dùng để trồng rau có diện tích 4 256 m² (Hình 1). Tính chiều dài và chiều rộng khu vườn đó.

Bài làm chi tiết:

Nửa chu vi khu vườn là: 280 : 2 = 140 (m)

Gọi chiều dài khu vườn là: x (0 < x < 136); m)

Chiều rộng khu vườn là: 140 – x (m)

Chiều dài phần trồng rau là: x – 2 – 2 = x – 4 (m)

Chiều rộng phần trồng rau là: 140 – x – 2 – 2 = 136 – x (m)

Vì phần đất trồng rau có điện tích 4256 m² nên ta có phương trình

(x – 4)(136 – x) = 4256

136x – x² – 544 + 4x = 4256

x² – 140x – 4800 = 0

x² – 60x – 80x + 4800 = 0

x(x – 60) – 80(x – 60) = 0

(x – 60)( x – 80) = 0

x = 60 hoặc x = 80

- Khi x = 60 m thì chiều rộng khu vườn là 140 – 60 = 80 m (vô lý vì chiều rộng lớn hơn chiều dài).

- Khi x = 80 m thì chiều rộng khu vườn là 140 – 80 = 60 m (thỏa mãn).

Vậy chiều dài khu vườn là: 80 m.

Vậy chiều rộng khu vườn là: 60 m.

Giải chi tiết bài 6 trang 17 sgk toán 9 tập 2 ctst

Nếu đổ thêm 250 g nước vào một dung dịch chứa 50 g muối thì nồng độ dung dịch sẽ giảm 10%. Tính nồng độ dung dịch lúc ban đầu.

Bài làm chi tiết:

Gọi x (g) là khối lượng nước lúc đầu có trong dung dịch (x > 0)

Khối lượng dung dịch lúc ban đầu là x + 50 (g)

Khối lượng dung dịch lúc sau là x + 50 + 250 = x + 300 (g)

Nồng độ dung dịch lúc đầu là:

Nồng độ dung dịch lúc sau là:

Ta có phương trình:

500x + 150000 – 500x – 25000 = x² + 350x + 15000

x² + 350x – 110000 = 0

x² + 550x – 200x – 110000 = 0

x(x + 550) – 200(x + 550) = 0

(x + 550)( x – 200) = 0

x = –550 (loại) hoặc x = 200 (thỏa mãn)

Vậy nồng độ dung dịch ban đầu là: = 0,2 = 20%.

Giải chi tiết bài 7 trang 17 sgk toán 9 tập 2 ctst

Một công ty vận tải điều một số xe tải để chở 90 tấn hàng. Khi đến kho hàng thì có 2 xe bị hỏng nên để chở hết số hàng thì mỗi xe còn lại phải chở thêm 0,5 tấn so với dự định ban đầu. hỏi số xe được điều đến chở hàng là bao nhiêu? Biết rằng khối lượng hàng chở ở mỗi xe là như nhau.

Bài làm chi tiết:

Gọi số xe được điều chở hàng là x (x N*; xe)

Số xe chở hàng thực tế là: x – 2 (xe)

Khối lượng hàng mỗi xe phải chở theo dự định là: (tấn)

Khối lượng hàng mỗi xe chở trong thực tế là: (tấn)

Ta có phương trình:

x(x – 2) = 180x – 180(x – 2)

x² – 2x – 360 = 0

x² – 20x + 18x – 360 = 0

x(x – 20) + 18(x – 20) = 0

(x + 18)( x – 20) = 0

x = –18 (loại) hoặc x = 20 (thỏa mãn)

Vậy số xe được điều chở hàng là: 20 xe.