Giải sách bài tập Toán học 11 Tập 1 Chân trời Bài 1: Số trung bình và mốt của mẫu số liệu ghép nhóm

Bài 1: Nhân ngày hội đọc sách, các học sinh của một trường trung học phổ thông mang sách cũ đến tặng thư viện trường và trao đổi với các bạn học sinh khác. Bảng sau thống kê số sách cũ mà các bạn học sinh lớp 11B mang đến trường

Hãy ước lượng số trung bình và mốt của mẫu số liệu ghép nhóm trên

Hướng dẫn trả lời:

Bảng hiệu chỉnh lại tần số ghép nhóm như sau:

Số trung bình của mẫu số liệu ghép nhóm là:

$\bar{x}=\frac{2.5+5.14+8.10+11.8+14.3}{40}=7,25$

Nhóm chứa mốt của mẫu số liệu trên là nhóm [3,5; 6,5)

Do đó, $u_{m}=3,5; n_{m-1}=5; n_{m}=14; n_{m+1}=10; u_{m+1}-u_{m}=3$

Mốt của mẫu số liệu ghép nhóm là: $M_{0}=3,5+\frac{14-5}{(14-5)+(14-10)}.3 \approx 5,58$

Bài 2: Một kĩ thuật viên ghi lại cân nặng của 20 chi tiết máy ở bảng sau (đơn vị: gam):

a) Tính cân nặng trung bình của mỗi chi tiết máu

b) Lập bảng tần số ghép nhóm của mẫu số liệu trên với nhóm đầu tiền là [5,40; 5,45) và ước lượng số trung bình của mẫu số liệu ghép nhóm trên

Hướng dẫn trả lời:

a) Cân nặng trung bình của mỗi chi tiết máy là:

(5,63 + 5,58 + 5,42 + 5,58 + 5,56 + 5,54 + 5,55 + 5,40 + 5,60 + 5,56 + 5,46 + 5,51 + 5,58 + 5,48 + 5,61 + 5,50 + 5,54 + 5,64 + 5,43 + 5,63) : 20 = 5,54 (g).

b) Bảng số liệu ghép nhóm của mẫu số liệu đã cho như sau:

Bảng tần số ghép nhóm bao gồm giá trị đại diện của các nhóm như sau:

Số trung bình của mẫu số liệu ghép nhóm là

$\bar{x}=\frac{5,425.3+5,475.2+5,525.4+5,575.6+5,625.5}{3+2+4+6+5}=5,545$ (g).

Bài 3: Bảng sau thống kê số lượt chở khách mỗi ngày của một lái xe taxi trong 30 ngày

a) Hãy tính số trung bình và mốt của mẫu số liệu

b) Hãy lập bảng tần số ghép nhóm của mẫu số liệu trên với nhóm đầu tiên là [4,5; 7,5)

c) Hãy ước lượng số trung bình và mốt của mẫu số liệu ghép nhóm đó

Hướng dẫn trả lời:

a) Ta có bảng tần số như sau:

Số trung bình mẫu số liệu là:

(5 + 6 + 7 + 8.2 + 9.2 + 10.2 + 11.3 + 12.3 + 13.7 + 14 + 15.2 + 16 + 17 + 18.2) : 30 = 11,7.

Mốt của mẫu số liệu là 13, do có tần số lớn nhất là 7.

b) Bảng tần số ghép nhóm của mẫu số liệu đã cho như sau:

c) Bảng tần số ghép nhóm bao gồm giá trị đại diện của các nhóm như sau:

Số trung bình của mẫu số liệu ghép nhóm là:

$\bar{x}=\frac{6.4+9.6+12.13+15.4+18.3}{4+6+13+4+3}=\frac{348}{30}= 11,6$.

Nhóm chứa mốt của mẫu số liệu trên là [10,5; 13,5).

Do đó, $u_{m}= 10,5; n_{m-1} = 6; n_{m} = 13; n_{m+1} = 4; u_{m + 1}-u_{m} = 13,5-10,5 = 3$.

Mốt của mẫu số liệu ghép nhóm là:

$M_{O}=10,5+\frac{13-6}{(13-6)+(13-4)}.3=10,5+\frac{21}{16}= 11,8125 \approx11,8$.

Bài 4: Bảng sau thống kê cân nặng (đơn vị: kg) của một số con ngan đực 88 ngày tuổi ở một trang trại

a) Hãy lập bảng tần số ghép nhóm của mẫu số liệu trên với nhóm đầu tiên là [4,6; 4,7)

b) Hãy ước lượng số trung bình và mốt của mẫu số liệu ghép nhóm trên

Hướng dẫn trả lời:

a) Bảng tần số ghép nhóm của mẫu số liệu đã cho như sau:

b) Bảng tần số ghép nhóm bao gồm giá trị đại diện của các nhóm như sau:

Số trung bình của mẫu số liệu ghép nhóm là:

$\bar{x}=\frac{4,6.8+4,75.15+4,85.8+4,95.12+5,05.7}{8+15+8+12+7}=\frac{242}{50} = 4,84$.

Nhóm chứa mốt của mẫu số liệu trên là [4,7; 4,8).

Do đó, $u_{m}=4,7; n_{m-1}=8; n_{m}= 15; n_{m+1}=8; u_{m+1}-u_{m}= 4,8-4,7 = 0,1.$

Mốt của mẫu số liệu ghép nhóm là:

$M_{O}=4,7+\frac{15-8}{(15-8)+(15-8)}.0,1= 4,7+\frac{0,7}{14}= 4,75$.

Bài 5: Bảng sau thống kê chiều cao (đơn vị: cm) của một số cây giống sau khi nảy mầm được 2 tuần

Hãy ước lượng chiều cao trung bình và mốt của mẫu số liệu ghép nhóm trên

Hướng dẫn trả lời:

Bảng tần số ghép nhóm bao gồm giá trị đại diện của các nhóm như sau:

Số trung bình của mẫu số liệu ghép nhóm là

$\bar{x}=\frac{6,45.10+6,95.21+7,45.28+7,95.12+8,45.9}{10+21+28+12+9}=\frac{1181}{160} \approx 7,38$.

Nhóm chứa mốt của mẫu số liệu trên là [7,2; 7,7).

Do đó, $u_{m} = 7,2; n_{m-1}=21; n_{m}=28; n_{m+1}=12; u_{m + 1}-u_{m} = 7,7-7,2 = 0,5$.

Mốt của mẫu số liệu ghép nhóm là:

$M_{O}=7,2+\frac{28-21}{(28-21)+(28-12)}.0,5 = 7,2+\frac{3,5}{23}=\frac{1691}{230} \approx 7,351$

Mốt của mẫu số liệu ghép nhóm là khoảng 7,35

Bài 6: Thống kê lại thu nhập trong một tháng của nhân viên hai công ty A và B (đơn vị: triệu đồng) được thể hiện trong biểu đồ dưới đây:

Hãy so sánh thu nhập trung bình của nhân viên hai công ty theo số trung bình và mốt của mẫu số liệu ghép nhóm.

Hướng dẫn trả lời:

Ta lập bảng thống kê thu nhập của nhân viên hai công ty như sau:

Số trung bình thu thập trong một tháng của nhân viên công ty A là

$\bar{x_{A}}=\frac{12.7+45.11+16.15+14.19+7.23}{12+45+16+14+7}=\frac{623}{47} \approx 13,266$ (triệu đồng).

Số trung bình thu thập trong một tháng của nhân viên công ty B là

$\bar{x_{B}}=\frac{16.7+40.11+29.15+15.19+12.23}{16+40+29+15+12} = \frac{387}{28} \approx 13,82$ (triệu đồng).

Vậy nếu so sánh theo số trung bình của mẫu số liệu ghép nhóm thì thu nhập trung bình của nhân viên công ty A thấp hơn thu nhập trung bình của nhân viên công ty B.

Ta ước lượng mốt của thu nhập của nhân viên công ty A:

Nhóm mốt của mẫu số liệu là nhóm [9; 13).

Do đó: $u_{m}  = 9; n_{m-1}=12; n_{m}=45; n_{m+1} = 16; u_{m + 1}-u_{m} = 13-9 = 4$.

Mốt của mẫu số liệu ghép nhóm là

$M_{O}=9+\frac{45-12}{(45-12)+(45-16)}.4= \frac{345}{31} \approx 11,13$

Ta ước lượng mốt của thu nhập của nhân viên công ty B:

Nhóm mốt của mẫu số liệu là nhóm [9; 13).

Do đó: $u_{m}= 9; n_{m-1}=16; n_{m}= 40; n_{m+1}= 29; u_{m + 1}-u_{m} = 13 -9 = 4$.

Mốt của mẫu số liệu ghép nhóm là

$M_{O}=9+\frac{40-16}{(40-16)+(40-29)}.4 = \frac{411}{35} \approx 11,74$.

Vậy nếu so sánh theo mốt của mẫu số liệu ghép nhóm, thu nhập của nhân viên công ty A thấp hơn thu nhập của nhân viên công ty B.