Giải sách bài tập Toán học 11 Tập 1 Chân trời Bài 2: Trung vị và tứ phân vị của mẫu số liệu ghép nhóm

Bài 1: Một trang báo điện tử thống kê thời gian người đọc thông tin trên trang mỗi lần truy cập ở bảng sau:

Hãy ước lượng các tứ phân vị của mẫu số liệu ghép nhóm trên

Hướng dẫn trả lời:

Cỡ mẫu n = 125.

Gọi $x_{1}; x_{2}; x_{3}; ...; x_{125}$ là mẫu số liệu được xếp theo thứ tự không giảm.

Ta có:

$x_{1},..., x_{45} \in [0; 2); x_{46}, ..., x_{79} \in [2; 4); x_{80},..., x_{102}\in [4; 6)$;

$x_{103},..., x_{120} \in [6; 8); x_{121},..., x_{125} \in [8; 10)$.

Tứ phân vị thứ hai của mẫu số liệu $x_{1}; x_{2}; x_{3};...; x_{125}$ là $x_{63}\in [2; 4)$.

Do đó, tứ phân vị thứ hai của mẫu số liệu ghép nhóm là

$Q_{2}=2+\frac{\frac{125}{2}-(45+0)}{34}.(4-2)=\frac{103}{34}$

Tứ phân vị thứ nhất của mẫu số liệu $x_{1}; x_{2}; x_{3};...; x_{125}$ là $\frac{1}{2}(x_{31}+x_{32})$. Do $x_{31}$ và $x_{32}$ thuộc nhóm [0; 2) nên tứ phân vị thứ nhất của mẫu số liệu ghép nhóm là

$Q_{1}=0+\frac{\frac{125}{4}-(0+0)}{45}.(2-0)=\frac{25}{18}$.

Tứ phân vị thứ ba của mẫu số liệu $x_{1}; x_{2}; x_{3};...; x_{125}$ là $\frac{1}{2}(x_{94}+x_{95})$. Do $x_{94}$ và $x_{95}$ thuộc nhóm [4; 6) nên tứ phân vị thứ ba của mẫu số liệu ghép nhóm là

$Q_{3}=4+\frac{\frac{3.125}{4}-(34+45)}{23}.(6-4)=\frac{243}{46}$

Bài 2: Người ta thống kê tốc độ của một số xe ô tô di chuyển qua một trạm kiểm soát trên đường cao tốc trong một khoảng thời gian ở bảng sau:

Hãy ước lượng các tứ phân vị của mẫu số liệu ghép nhóm trên

Hướng dẫn trả lời:

Cỡ mẫu n = 78.

Gọi $x_{1}; x_{2}; x_{3};...; x_{78}$ là mẫu số liệu được xếp theo thứ tự không giảm.

Ta có:

$x_{1},..., x_{5}\in [75; 80); x_{6},..., x_{17}\in [80; 85); x_{18},..., x_{35}\in [85; 90)$; $x_{36},..., x_{59} \in [90; 95); x_{60}, ..., x_{78} \in [95; 100)$.

Tứ phân vị thứ hai của mẫu số liệu $x_{1}; x_{2}; x_{3};...; x_{78}$ là $\frac{1}{2}(x_{39}+x_{40})$. Do $x_{39}$ và $x_{40}$ thuộc nhóm [90; 95). Do đó, tứ phân vị thứ hai của mẫu số liệu ghép nhóm là:

$Q_{2}=90+\frac{\frac{78}{2}-(5+12+18)}{24}.(95-90)=\frac{545}{6}$

Tứ phân vị thứ nhất của mẫu số liệu $x_{1}; x_{2}; x_{3};...; x_{78}$ là $x_{20}$. Do $x_{20}$ thuộc nhóm [85; 90) nên tứ phân vị thứ nhất của mẫu số liệu ghép nhóm là:

$Q_{1}=85+\frac{\frac{78}{4}-(5+12)}{18}.(90-85)=\frac{3085}{36}$.

Tứ phân vị thứ ba của mẫu số liệu $x_{1}; x_{2}; x_{3};...; x_{78}$ là $x_{59}$. Do $x_{59}$ thuộc nhóm [90; 95) nên tứ phân vị thứ ba của mẫu số liệu ghép nhóm là:

$Q_{3}=90+\frac{\frac{3.78}{4}-(5+12+18)}{24}.(95-90)=\frac{4555}{48}$.

Bài 3: Thâm niên công tác của các công nhân hai nhà máy A và B

a) Hãy so sánh thâm niên công tác của nhân viên hai nhà máy theo số trung bình và trung vị

b) Hãy ước lượng tứ phân vị thứ nhất và thứ ba của hai mẫu số liệu ghép nhóm trên

Hướng dẫn trả lời:

a) Bảng tần số ghép nhóm bao gồm giá trị đại diện của các nhóm như sau:

Trung bình số năm thâm niên của công nhân nhà máy A là:

$\bar{x_{A}}=\frac{2,5.35+7,5.⋅13+12,5.12+17,5.12+22,5.8}{35+13+12+12+8}=\frac{145}{16} = 9,0625$ (năm).

Trung bình số năm thâm niên của công nhân nhà máy B là:

$\bar{x_{B}}=\frac{2,5.14+7,5.26+12,5.24+17,5.11+22,5.5}{14+26+24+11+5}= \frac{167}{16}= 10,4375$ (năm).

Suy ra $\bar{x_{A}}<\bar{x_{B}}$

Vậy nếu so sánh theo số trung bình (năm) thì thâm niên công tác của nhân viên công ty A ngắn hơn thâm niên công tác của nhân viên công ty B.

• Nhà máy A

Gọi $x_{1}; x_{2}; x_{3}; ...; x_{80}$ là mẫu số liệu được xếp theo thứ tự không giảm.

Ta có:

$x_{1}, ..., x_{35}\in [0; 5); x_{36}, ..., x_{48}\in [5; 10); x_{49}, ..., x_{60}in [10; 15)$; $x_{61}, ..., x_{72}\ in [15; 20); x_{73}, ..., x_{80}\in [20; 25)$.

Cỡ mẫu n = 80 là số chẵn nên trung vị $M_{e}(A)=\frac{1}{2}(x_{40}+x_{41})$. Do $x_{40}$ và $x_{41}$ thuộc nhóm [5; 10) nên trung vị của mẫu số liệu là

$M_{e}(A)=5+\frac{\frac{80}{2}-(35+0)}{13}.(10-5)=\frac{90}{13}$

• Nhà máy B

Gọi $x_{1}; x_{2}; x_{3}; ...; x_{80}$ là mẫu số liệu được xếp theo thứ tự không giảm.

Ta có:

$x_{1}, ..., x_{14}\in [0; 5); x_{15}, ..., x_{40}\in [5; 10); x_{41}, ..., x_{64}\in [10; 15)$; $x_{65}, ..., x_{75} \in [15; 20); x_{76}, ..., x_{80} \in [20; 25)$.

Cỡ mẫu n = 80 là số chẵn nên trung vị $M_{e}(B)=\frac{1}{2}(x_{40}+x_{41})$. Do $x_{40}$ thuộc nhóm [5; 10) và $x_{41}$ thuộc nhóm [10; 15) nên ta có $M_{e}(B) = 10$.

Suy ra $M_{e}(A) < M_{e}(B)$.

Vậy nếu so sánh theo trung vị thì thâm niên công tác của nhân viên công ty A ngắn hơn thâm niên công tác của nhân viên công ty B.

b) Nhà máy A

Tứ phân vị thứ nhất của mẫu số liệu $x_{1}; x_{2}; x_{3};...; x_{80}$ là $\frac{1}{2}(x_{20}+x_{21})$. Do $x_{20}$ và $x_{21}$ thuộc nhóm [0; 5) nên tứ phân vị thứ nhất của mẫu số liệu ghép nhóm là.

$Q_{1}=0+\frac{\frac{80}{4}-0}{35}.(5-0)=\frac{20}{7}$

Tứ phân vị thứ ba của mẫu số liệu $x_{1}; x_{2}; x_{3};...; x_{80}$ là $\frac{1}{2}(x_{60}+x_{61})$. Do $x_{60}$ thuộc nhóm [10; 15) và $x_{61}$ thuộc nhóm [15; 20) nên tứ phân vị thứ ba của mẫu số liệu ghép nhóm là $Q_{3} = 15$.

• Nhà máy B

Tứ phân vị thứ nhất của mẫu số liệu $x_{1}; x_{2}; x_{3};...; x_{80}$ là $\frac{1}{2}(x_{20}+x_{21})$. Do $x_{20}$ và $x_{21}$ thuộc nhóm [5; 10) nên tứ phân vị thứ nhất của mẫu số liệu ghép nhóm là

$Q_{1}=5+\frac{\frac{80}{4}-14}{26}.(10-5)=\frac{80}{13}$

Tứ phân vị thứ ba của mẫu số liệu $x_{1}; x_{2}; x_{3};...; x_{80}$ là $\frac{1}{2}(x_{60}+x_{61})$. Do $x_{60}$ và $x_{61}$ thuộc nhóm [10; 15) nên tứ phân vị thứ ba của mẫu số liệu ghép nhóm là

$Q_{3}=10+\frac{\frac{3.80}{4}-(14+26)}{24}.(15-10)=\frac{85}{6}$

Bài 4: Thầy giáo thống kê lại số lần kéo xà đơn của các học sinh nam khối 11 ở bảng sau:

a) Hãy ước lượng số trung bình, mốt và trung vị của mẫu số liệu ghép nhóm trên

b) Thầy giáo dự định chọn 25% học sinh có số lần kéo thấp nhất để bồi dưỡng thể lực thêm. Thầy giáo nên chọn học sinh có thành tích kéo xà đơn dưới bao nhiêu lần để bồi dưỡng thể lực

Hướng dẫn trả lời:

a) Do số học sinh là số nguyên nên ta hiệu chỉnh lại bảng số liệu gồm giá trị đại diện như sau:

Cỡ mẫu n = 143.

• Số trung bình của mẫu số liệu ghép nhóm là:

$\bar{x}=\frac{8.35+13.54+18.32+23.17+28.5}{143}=\frac{2089}{143}$

• Nhóm chứa mốt của mẫu số liệu ghép nhóm là [10,5; 15,5).

Do đó, $u_{m}= 10,5; n_{m-1} = 35; n_{m}=54; n_{m+1}= 52; u_{m + 1}- u_{m} = 15,5-10,5 = 5$.

Mốt của mẫu số liệu ghép nhóm là:

$M_{O}=10,5+\frac{54-35}{(54-35)+(54-32)}.5=\frac{1051}{82}$.

• Gọi $x_{1}; x_{2}; x_{3}; ...; x_{143}$ là mẫu số liệu được xếp theo thứ tự không giảm.

Ta có:

$x_{1}, ..., x_{35} \in [5,5; 10,5); x_{36}, ..., x_{89} \in [10,5; 15,5); x_{90}, ..., x_{121}\in [15,5; 20,5)$; $x_{122}, ..., x_{138}\in [20,5; 25,5); x_{139}, ..., x_{143}\in [25,5; 30,5)$.

Cỡ mẫu n = 143 là số lẻ nên trung vị $M_{e} = x_{72}$. Do $x_{72}$ thuộc nhóm [10,5; 15,5) nên trung vị của mẫu số liệu là

$M_{e}=10,5+\frac{\frac{143}{2}-(35+0)}{54}.(15,5-10,5)=\frac{1499}{108}$.

b) Tứ phân vị thứ nhất của mẫu số liệu $x_{1}; x_{2}; x_{3}; ...; x_{143}$ là $x_{36}$. Do $x_{36}$ thuộc nhóm [10,5; 15,5) nên tứ phân vị thứ nhất của mẫu số liệu ghép nhóm là

$Q_{1}=10,5+\frac{\frac{143}{4}-(35+0)}{54}.(15,5-10,5)=\frac{761}{72} \approx 10,57$.

Thầy giáo nên chọn các bạn có thành tích kéo xà dưới 11 lần để bồi dưỡng thể lực thêm.

Bài 5: Kết quả kiểm tra cân nặng của một số quả trứng chim cút được lựa chọn ngẫu nhiên ở hai trạng thái chăn nuôi A và B được biểu diễn ở biểu đồ sau (đơn vị: g)

a) Hãy so sánh cân nặng của trứng chim cút của hai trang trại A và B theo số trung bình và trung vị

b) Hãy ước lượng phân vị thứ nhất và tứ phân vị thứ ba của can nặng trứng chim cút của trang trại A

Hướng dẫn trả lời:

a) Từ biểu đồ đã cho, ta lập được bảng số liệu ghép nhóm sau:

Từ đó, ta có bảng thống kê số quả trứng chim cút của hai trang trại theo giá trị đại diện như sau:

⦁ Đối với trang trại A: Cỡ mẫu $n_{A} = 89$.

Cân nặng trung bình của mỗi quả trứng của mẫu số liệu ghép nhóm là

$\bar{x_{A}}=\frac{8,3.7+8,5.18+8,7.34+8,9.21+9,1.9}{89}=\frac{7757}{890} \approx 8,72$ (g).

Gọi $x_{1}; x_{2}; x_{3};...; x_{89}$ là mẫu số liệu được xếp theo thứ tự không giảm.

Ta có:

$x_{1}, ..., x_{7} \in [8,2; 8,4); x_{8}, ..., x_{25}\in [8,4; 8,6); x_{26}, ..., x_{59}\in [8,6; 8,8)$; $x_{60}, ..., x_{80}\in [8,8; 9,0); x_{81}, ..., x_{89}\in [9,0; 9,2)$.

Cỡ mẫu n = 89 là số lẻ nên trung vị $M_{e} = x_{45}$. Do $x_{45}$ thuộc nhóm [8,6; 8,8) nên trung vị của mẫu số liệu ghép nhóm là

$M_{e}(A)=8,6+\frac{\frac{89}{2}-(7+18)}{34}.(8,8-8,6)=\frac{2963}{340}\approx 8,71$ (g).

⦁ Đối với trang trại B: Cỡ mẫu $n_{B}=73$.

Cân nặng trung bình của mỗi quả trứng của mẫu số liệu ghép nhóm là:

$\bar{x_{B}}=\frac{8,3.15+8,5.37+8,7.12+8,9.7+9,1.2}{73}=\frac{6239}{730}\approx 8,55$ (g).

Gọi $x_{1}; x_{2}; x_{3}; ...; x_{73}$ là mẫu số liệu được xếp theo thứ tự không giảm.

Ta có:

$x_{1}, ..., x_{15}\in [8,2; 8,4); x_{16}, ..., x_{52} \in [8,4; 8,6); x_{53}, ..., x_{64}\in [8,6; 8,8)$; $x_{65}, ..., x_{71}\in [8,8; 9,0); x_{72}, x_{73}\in [9,0; 9,2)$.

Cỡ mẫu n = 73 là số lẻ nên trung vị $M_{e} = x_{37}$. Do $x_{37}$ thuộc nhóm [8,4; 8,6) nên trung vị của mẫu số liệu ghép nhóm là

$M_{e}(B)=8,4+\frac{\frac{73}{2}-15}{37}.(8,6-8,4)=\frac{3151}{370} \approx 8,52$ (g).

Ta thấy $\bar{x_{A}}>\bar{x_{B}}$ và $M_{e}(A) > M_{e}(B)$.

Vậy khi so sánh theo số trung bình hay theo trung vị, cân nặng của trứng chim cút của trang trại A đều lớn hơn cân nặng của trứng chim cút của trang trại B.

b) Đối với trang trại A:

Tứ phân vị thứ nhất của mẫu số liệu $x_{1}; x_{2}; x_{3};...; x_{89}$ là $\frac{1}{2}(x_{22}+x_{23})$. Do $x_{22}$ và $x_{23}$ thuộc nhóm [8,4; 8,6) nên tứ phân vị thứ nhất của mẫu số liệu ghép nhóm là

$Q_{1}(A)=8,4+\frac{\frac{89}{4}-7}{18}.(8,6-8,4)=\frac{617}{72} \approx 8,57$

Tứ phân vị thứ ba của mẫu số liệu $x_{1}; x_{2}; x_{3};...; x_{89}$ là $\frac{1}{2}(x_{66}+x_{67})$. Do $x_{66}$ và $x_{67}$ thuộc nhóm [8,8; 9,0), nên tứ phân vị thứ ba của mẫu số liệu ghép nhóm là

$Q_{3}(A)=8,8+\frac{\frac{3.89}{4}-(7+18+34)}{21}.(9,0-8,8)=\frac{3727}{420} \approx 8,87$.