Giải sách bài tập Toán học 11 Tập 1 Chân trời Bài 4: Hàm số lượng giác và đồ thị

Bài 1: Tìm tập xác định của các hàm số sau:

a) $y=-\frac{2}{sin3x}$

b) $y=tan(\frac{x}{2}-\frac{\pi}{6})$

c) $y=cot(2x-\frac{\pi}{4})$;

d) $y=\frac{1}{3-cos^{2}x}$.

Hướng dẫn trả lời:

a) $y=-\frac{2}{sin3x}$ xác định khi $sin3x \neq 0$, tức là $3x \neq k\pi$, $k\in \mathbb{Z}$ hay $x\neq k\frac{\pi}{3},k \in \mathbb{Z}$

Vậy tập xác định của hàm số là $\mathbb{Z}$∖{$k\frac{\pi}{3}∣k \in \mathbb{Z}$}

b) $y=tan(\frac{x}{2}-\frac{\pi}{6})$ xác định khi $\frac{x}{2}-\frac{\pi}{6} \neq \frac{\pi}{2}+k\pi, k \in \mathbb{Z}$ hay $x\neq \frac{4\pi}{3}+k2\pi, k \in \mathbb{Z}$

Vậy tập xác định của hàm số là $\mathbb{R}$∖{$\frac{4\pi}{3}+k2\pi | k \in \mathbb{Z}$}

c) $y=cot(2x-\frac{\pi}{4})$ xác định khi $2x-\frac{\pi}{4}\neq k\pi ,k\in \mathbb{Z}$ hay $x \neq \frac{\pi}{8}+k\frac{\pi}{2}, k \in \mathbb{Z}$

Vậy tập xác định của hàm số là $\mathbb{Z}$∖{$\frac{\pi}{8}+k\frac{\pi}{2} | k \in \mathbb{Z}$}

d) Vì $-1 \leq cosx \leq 1$ nên $cos2x \leq 1$ với mọi $x \in \mathbb{R}$. Suy ra $cos^{2}x \neq 3$ với mọi $x \in \mathbb{Z}$

Do đó hàm số $y=\frac{1}{3-cos^{2}x}$ xác định với mọi $x \in \mathbb{Z}$

Vậy tập xác định của hàm số là $\mathbb{Z}$.

Bài 2: Xét tính chẵn, lẻ của các hàm số sau:

a) $y=\frac{sin3x}{x}$

b) $y=-5x^{2}+cos\frac{x}{2}$

c) $y=x\sqrt{1+cos2x}$

d) $y=cotx-\frac{2}{sinx}$

e) $y=|x|+tanx$

f) $y=tan(x+\frac{\pi}{4})$

Hướng dẫn trả lời:

a) Tập xác định của hàm số $y=\frac{sin3x}{x}$ là D = $\mathbb{R}$∖{0} thoả mãn điều kiện $-x \in$ D với mọi $x \in$ D.

Ta có $\frac{sin(3(-x))}{-x}=\frac{sin(-3x)}{-x}=\frac{-sin3x}{-x}=\frac{sin3x}{x}$

Vậy hàm số $y=\frac{sin3x}{x}$ là hàm số chẵn.

b) Tập xác định của hàm số $y=-5x^{2}+cos\frac{x}{2}$ là D = $\mathbb{R}$ thoả mãn điều kiện ‒x $\in$ D với mọi x $\in$ D.

Ta có $-5(-x)^{2}+cos(\frac{-x}{2})=-5x^{2}+cos\frac{x}{2}$

Vậy hàm số $y=-5x^{2}+cos\frac{x}{2}$ là hàm số chẵn.

c) Tập xác định của hàm số $y=x\sqrt{1+cos2x}$ là D = $\mathbb{R}$ thoả mãn điều kiện ‒x $\in$ D với mọi x $\in$ D.

Ta có $(-x)\sqrt{1+cos(-2x)}=-x\sqrt{1+cos2x}$

Vậy hàm số $y=x\sqrt{1+cos2x}$ là hàm số lẻ.

d) Tập xác định của hàm số $y=cotx-\frac{2}{sinx}$ là D=$\mathbb{R}$∖{$k\pi | k \in \mathbb{R}$} thoả mãn điều kiện ‒x $\in$ D với mọi x $\in$ D.

Ta có $cot(-x)-\frac{2}{sin(-x)}=-cotx+\frac{2}{sinx}=-(cotx-\frac{2}{sinx})$

Vậy hàm số $y=cotx-\frac{2}{sinx}$ là hàm số lẻ.

e) Tập xác định của hàm số $y=(x)+tanx$ là D=$\mathbb{R}$∖{$\frac{\pi}{2}+k\pi | k \in \mathbb{Z}$} thoả mãn điều kiện ‒x $\in$ D với mọi x $\in$ D.

Đặt $f(x)=(x)+tanx$. Xét hai giá trị $\frac{\pi}{4}$ và $\frac{-\pi}{4}$ thuộc D, ta có:

$f(\frac{\pi}{4})=\frac{\pi}{4}+tan\frac{\pi}{4}=\frac{\pi}{4}+1$ 

Và $f(-\frac{\pi}{4})=-\frac{\pi}{4}+tan(-\frac{\pi}{4})=\frac{\pi}{4}-1$

Do $f(-\frac{\pi}{4}) \neq f(\frac{\pi}{4})$ và $f(\frac{-\pi}{4}) \neq -f(\frac{\pi}{4})$ nên $y=(x)+tanx$ không là hàm số chẵn cũng không là hàm số lẻ.

g) Tập xác định của hàm số $y = tan(x + \frac{\pi}{4})$ là D = $\mathbb{R}$∖{$\frac{\pi}{4}+k\pi | k \in \mathbb{Z}$} không thoả mãn điều kiện ‒x $\in$ D với mọi x $\in$ D vì $-\frac{\pi}{4} \in$ D mà $\frac{\pi}{4} \notin$ D

Vậy hàm số $y=tan(x+\frac{\pi}{4})$ không là hàm số chẵn cũng không là hàm số lẻ.

Bài 3: Tìm tập giá trị của các hàm số sau:

a) $y=5-2cos(\frac{\pi}{3}-x)$

b) $y=(sin3x)-1$

c) $y = 2tanx + 3$

d) $y=\sqrt{1-sinx}+2$

Hướng dẫn trả lời:

a) $y=5-2cos(\frac{\pi}{3}-x)$, điều kiện xác định $\forall x \in \mathbb{R}$.

Ta có $-1 \leq cos(\frac{\pi}{3}-x) \leq 1$

$\Leftrightarrow 2 \geq -2cos(\frac{\pi}{3}-x) \geq -2$

$\Leftrightarrow7 \geq 5-2cos(\frac{\pi}{3}-x) \geq 3$

Vậy tập giá trị của hàm số là [3; 7].

b) $y=(sin3x)-1$; điều kiện xác định $\forall x \in \mathbb{R}$

Ta có: $0 \leq (sin3x) \leq 1$

$\Leftrightarrow -1 \leq (sin3x)-1 \leq 0$

Vậy tập giá trị của hàm số là [−1; 0].

c) $y = 2tanx + 3$, điều kiện xác định $\forall x \in \mathbb{R}$

Ta có tập giá trị của tanx là $\mathbb{R}$ nên tập giá trị của hàm số cũng là $\mathbb{R}$.

d) $y=\sqrt{1-sinx}+2$

Ta có $-1 \leq sinx \leq 1$ nên $2 \geq 1-sinx \geq 0$ nên hàm số xác định trên $\mathbb{R}$

Khi đó $0 \leq \sqrt{1-sinx} \leq \sqrt{2}$

Suy ra $2 \leq \sqrt{1-sinx}+2 \leq \sqrt{2}+2$

Vậy tập giá trị của hàm số là $(2;2+\sqrt{2})$

Bài 4: Cho hàm số y = sinx với $x \in [-2\pi; 2\pi]$

a) Vẽ đồ thị hàm số đã cho.

b) Tìm các giá trị của $x \in (-\frac{5\pi}{3};\frac{7\pi}{3})$ sao cho $sin(\frac{\pi}{3}-x)=-1$.

c) Tìm các giá trị của $x \in (-\frac{9\pi}{8};\frac{7\pi}{8})$ sao cho $sin(2x+\frac{\pi}{4}) > 0$ 

d) Tìm m để có 4 giá trị $\alpha \in [-2\pi; 2\pi]$ phân biệt thỏa mãn $sin\alpha = m$.

Hướng dẫn trả lời:

a) Ta có đồ thị của hàm số y = sinx trên đoạn $[-2\pi; 2\pi]$ như sau:

b) Đặt $t=\frac{\pi}{3}-x$. Vì $\frac{-5\pi}{3} \leq x \leq  \frac{7\pi}{3}$ nên $-2\pi \leq t \leq 2\pi$.

Từ đồ thị của hàm số ở trên, ta có:

sint = ‒1 khi và chỉ khi $t=-\frac{\pi}{2}$ hoặc $t=\frac{3\pi}{2}$. Do đó $x=\frac{5\pi}{6}$ hoặc $x=-\frac{7\pi}{6}$

c) Đặt $t=2x+\frac{\pi}{4}$. Vì $\frac{-9\pi}{8} \leq x \leq \frac{7\pi}{8}$ nên $-2\pi \leq t \leq 2\pi$.

Từ đồ thị của hàm số ở trên, ta có:

sint > 0 khi và chỉ khi $-2\pi < t < -\pi$ hoặc $0 < t < \pi$

Do đó $-\frac{9\pi}{8}<x<-\frac{5\pi}{8}$ hoặc $-\frac{\pi}{8}<x<\frac{3\pi}{8}$

d) Có bốn giá trị $\alpha \in [-2\pi; 2\pi]$ thoả mãn $sin\alpha = m$ khi và chỉ khi đường thẳng y = m cắt đồ thị hàm số y = sinα tại bốn điểm. Từ đồ thị hàm số ở trên, ta thấy điều này xảy ra khi và chỉ khi ‒1 < m < 0 hoặc 0 < m < 1.

Bài 5: Cho hàm số y = tanx với $x\in(-\frac{3\pi}{2};-\frac{\pi}{2}) \cup (-\frac{\pi}{2};\frac{\pi}{2})$

a) Vẽ đồ thị hàm số đã cho.

b) Tìm các giá trị của $x \in (-\frac{7\pi}{4};\frac{\pi}{4})$ sao cho $\sqrt{3}tan(x+\frac{\pi}{4})+1=0$

c) Tìm các giá trị của $x\in (-\frac{5\pi}{6};\frac{\pi}{6})$ sao cho $tan(2x+\frac{\pi}{6}) \geq \frac{-\sqrt{3}}{3}$.

Hướng dẫn trả lời:

a) Ta có đồ thị của hàm số $y=tanx$ với $x \in (-\frac{3\pi}{2};-\frac{\pi}{2})\cup (-\frac{\pi}{2};\frac{\pi}{2})$ như sau:

b) Ta có $\sqrt{3}tan(x+\frac{\pi}{4})+1=0$ khi và chỉ khi $tan(x+\frac{\pi}{4})=-\frac{\sqrt{3}}{3}$

Đặt $t=x+\frac{\pi}{4}$. Vì $-\frac{7\pi}{4} \leq x \leq \frac{\pi}{4}$ nên $-\frac{3\pi}{2} \leq t \leq \frac{\pi}{2}$, hay $t\in (-\frac{3\pi}{2};\frac{\pi}{2})$

Hàm số $y = tant$ xác định khi $t\neq \frac{\pi}{2}+k\pi,k\in \mathbb{Z}$

Kết hợp với điều kiện $t\in (-\frac{3\pi}{2};\frac{\pi}{2})$

Suy ra $t\in (-\frac{3\pi}{2};-\frac{\pi}{2})$; $\varphi \in (-\frac{\pi}{2};\frac{\pi}{2})$

Đồ thị hàm số $y = tant$ với $t\in(-\frac{3\pi}{2};-\frac{\pi}{2})\cup (-\frac{\pi}{2};\frac{\pi}{2})$ như sau:

Từ đồ thị hàm số trên, ta có:

$tant=-\frac{\sqrt{3}}{3}$ khi và chỉ khi $t=-\frac{7\pi}{6}$ hoặc $t=-\frac{\pi}{6}$

Do đó $x=-\frac{17\pi}{12}$ hoặc $x=-\frac{5\pi}{12}$

c) Đặt $t=2x+\frac{\pi}{6}$ Vì $-\frac{5\pi}{6} \leq x \leq \frac{\pi}{6}$ nên $-\frac{3\pi}{2} \leq t \leq \frac{\pi}{2}$, hay $t\in (-\frac{3\pi}{2};\frac{\pi}{2})$

Tương tự câu , từ đồ thị hàm số trên, ta có:

$tant \geq -\frac{\sqrt{3}}{3}$ khi và chỉ khi $-\frac{7\pi}{6}  \leq t < -\frac{\pi}{2}$ hoặc $-\frac{\pi}{6} \leq t < \frac{\pi}{2}$

Do đó $-\frac{2\pi}{3} \leq x <-\frac{\pi}{3}$ hoặc $-\frac{\pi}{6} \leq x < \frac{\pi}{6}$

Bài 6: Chứng minh rằng các hàm số dưới đây là hàm số tuần hoàn.

a) $y=sinx-3tan\frac{x}{2}$;

b) y = (cos2x ‒ 1)sinx.

Hướng dẫn trả lời:

a) Tập xác định của hàm số là D = $\mathbb{R}$∖{$\pi + k2\pi | k \in \mathbb{Z}$}.

Với mọi x $\in$ D, ta có:

$x \pm 2\pi \in$ D và $sin(x+2\pi)-3tan\frac{x+2\pi}{2}=sinx-3tan(\frac{x}{2}+\pi)=sinx-3tan\frac{x}{2}$ 

Do đó hàm số $y=sinx-3tan\frac{x}{2}$ là hàm số tuần hoàn.

b) Hàm số $y=(cos2x-1)sinx$ có tập xác định là $\mathbb{Z}$

Với mọi $x \in \mathbb{R}$, ta có: $x \pm 2\pm \in \mathbb{R}$;

$(cos2(x+2\pi)-1)sin(x+2\pi)=(cos(2x+4\pi)-1)sinx=(cos2x-1)sinx$

Do đó hàm số y = (cos2x ‒ 1)sinx là hàm số tuần hoàn.

Bài 7: Huyết áp là áp lực máu cần thiết tác động lên thành động mạch nhằm đưa máu đi nuôi dưỡng các mô trong cơ thế. Nhờ lực co bóp của tim và sức cản của động mạch mà huyết áp được tạo ra. Giả sử huyết áp của một người thay đổi theo thời gian được cho bởi công thức: $p(t) = 120 + 15cos150\pi t$, trong đó p(t) là huyết áp tính theo đơn vị mmHg (milimets thủy ngân) và thời gian t tính theo đơn vị phút.

a) Chứng minh p(t) là một phần hàm số tuần hoàn.

b) Huyết áp cao nhất và huyết áp thấp nhất lần lượt được gọi là huyết áp tâm thu và huyết áp tâm trương. Tìm chỉ số huyết áp của người đó, biết rằng chỉ số huyết áp được viết là huyết áp tâm thu/huyết áp tâm trương.

Hướng dẫn trả lời:

a) Hàm số p(t) có tập xác định là $\mathbb{R}$. Với mọi $t \in \mathbb{R}$, ta có $t \pm \frac{1}{75} \in \mathbb{R}$ và $p(t+\frac{1}{75})=120+15cos(150\pi t+2\pi)=120+15cos150\pi t=p(t)$

Do đó p(t) là một hàm số tuần hoàn.

b) Vì $-1\leq cos150\pi t \leq 1$ với mọi $t \in \mathbb{R}$ nên $105 \leq p(t) \leq 135$ với mọi $t\in \mathbb{R}$.

Vậy chỉ số huyết áp của người đó là 135/105.

Bài 8: Một chất điểm dao động điều hòa theo phương trình $s=3sin(\frac{\pi}{2}t)$ với s tính bằng cm và t tình bằng giây. Dựa vào đồ thị của hàm số sin, hãy xác định ở các thời điểm t nào trong 4 giây đầu thì $s \leq -\frac{3}{2}$

Hướng dẫn trả lời:

Trong 4 giây đầu, ta có $0 \leq t \leq 4$, suy ra $0 \leq \frac{\pi}{2} t \leq 2\pi$

Đặt $x=\frac{\pi}{2}t$, khi đó $x \in [0; 2\pi]$. Đồ thị của hàm số y = sinx trên đoạn $[0; 2\pi]$ như sau:

Dựa vào đồ thị trên đoạn $[0; 2\pi]$, ta có: $s \leq -\frac{3}{2}$ khi $3sinx \leq -\frac{3}{2}$ hay $sinx \leq -\frac{1}{2}$

Suy ra $\frac{7\pi}{6} \leq x \leq \frac{11\pi}{6}$. Do đó $\frac{7}{3} \leq t \leq \frac{11}{3}$