Giải sách bài tập Toán học 11 Tập 1 Chân trời bài: Bài tập cuối chương 4

A. TRẮC NGHIỆM

Bài 1: Các yếu tố nào sau đây xác định một mặt phẳng duy nhất?

A. Ba điểm.

B. Một điểm và một đường thẳng.

C. Hai đường thẳng cắt nhau.

D. Bốn điểm.

Hướng dẫn trả lời:

Đáp án đúng là: C

Yếu tố xác định một mặt phẳng duy nhất là hai đường thẳng cắt nhau.

Xét phương án A: Trường hợp ba điểm thẳng hàng không xác định được một mặt phẳng.

Xét phương án B: Trường hợp điểm nằm trên đường thẳng không xác định được một mặt phẳng.

Xét phương án D: Trường hợp bốn điểm không đồng phẳng không xác định được một mặt phẳng.

Bài 2: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang, đáy lớn AB và E là trung điểm của đoạn thẳng AB. Hình vẽ nào sau đây là hình biểu diễn của hình chóp S.ABCD ?

Hướng dẫn trả lời:

Đáp án đúng là: A

Bài 3: Cho hình chóp S.ABCD có AC cắt BD tại M, AB cắt CD tại N. Trong các đường thẳng sau đây, đường thẳng nào là giao tuyến của (SAC) và (SBD) ?

A. SM.

B. SN.

C. SB.

D. SC.

Hướng dẫn trả lời:

Đáp án đúng là: A

Bài 4: Cho hình chóp S.ABCD, đáy là hình bình hành có O là giao điểm của AC và BD. Gọi M, N lần lượt là các điểm nằm trên cạnh SC và SD. Đường thẳng SO cắt đường thẳng AM và BN lần lượt tại P và Q. Giao điểm của đường thẳng AM với mặt phẳng (SBD) là điểm nào sau đây?

A. Điểm P.

B. Điểm Q.

C. Điểm O.

D. Điểm M.

Hướng dẫn trả lời:

Đáp án đúng là: A

Ta có $AM \cap SO = P$, mà $SO \subset (SBD)$ nên $AM \cap (SBD) = P$

Bài 5: Trong không gian, hai đường thẳng không có điểm chung thì

A. cắt nhau.

B. chéo nhau hoặc song song.

C. chéo nhau.

D. song song.

Hướng dẫn trả lời:

Đáp án đúng là: B

Trong không gian, hai đường thẳng không có điểm chung và

- Cùng nằm trong một mặt phẳng thì chúng song song với nhau;

- Không cùng nằm trong một mặt phẳng thì chúng chéo nhau.

Bài 6: Cho hai đường thẳng song song a, b và mặt phẳng (P). Mệnh đề nào dưới đây đúng?

A. Nếu a // (P) thì b // (P).

B. Nếu a cắt (P) thì b cắt (P).

C. Nếu a nằm trên (P) thì b // (P).

D. Nếu a nằm trên (P) thì b nằm trên (P).

Hướng dẫn trả lời:

Đáp án đúng là: B

⦁ a // b, a // (P) thì b // (P) hoặc $b \subset (P)$;

⦁ a // b, a cắt (P) thì b cắt (P);

⦁ a // b, $a \subset (P)$ thì b // (P) hoặc $b \subset (P)$.

Vậy ta chọn phương án B.

Bài 7: Cho tứ diện ABCD có P, Q lần lượt là trọng tâm của tam giác ABC và BCD. Giao tuyến của mặt phẳng (ABQ) và mặt phẳng (DCP) là đường thẳng d. Khẳng định nào dưới đây đúng?

A. d đi qua trung điểm hai cạnh AB và CD.

B. d đi qua trung điểm hai cạnh AB và AD.

C. d là đường thẳng PQ.

D. d là đường thẳng QA.

Hướng dẫn trả lời:

Đáp án đúng là: A

Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AB, CD.

Ta có $M \in AB$ mà $AB \subset (ABQ)$, nên $M \in (ABQ)$ (1)

Khi đó đường trung tuyến CM đi qua trọng tâm P của $\Delta ABC$.

Do đó mặt phẳng (DCP) chính là mặt phẳng (DCM), nên $M \in (DCP)$ (2)

Từ (1) và (2) suy ra $M \in (ABQ) \cap (DCP)$.

Tương tự ta cũng có $N \in (ABQ) \cap (DCP)$.

Suy ra $(ABQ) \cap (DCP) = MN$.

Bài 8: Cho hình chóp tứ giác S.ABCD. Gọi M và N lần lượt là trung điểm của SA và SC. Khẳng định nào sau đây đúng?

A. MN // (ABCD).

B. MN // (SAB).

C. MN // (SAD).

D. MN // (SCD).

Hướng dẫn trả lời:

Đáp án đúng là: A

Xét $\Delta SAC$ có M và N lần lượt là trung điểm của SA và SC nên MN là đường trung bình của tam giác

Do đó MN // AC

Mà $AC \subset (ABCD)$ nên MN // (ABCD).

Bài 9: Cho đường thẳng a nằm trong mặt phẳng $(\alpha)$ và đường thẳng b nằm trong mặt phẳng $(\beta)$. Biết $(\alpha) // (\beta)$. Trong các khẳng định sau, khẳng định nào sai?

A. $a // (\beta)$.

B. $b // (\alpha)$.

C. a // b.

D. Nếu có một mặt phẳng $(\gamma)$ chứa a và b thì a // b.

Hướng dẫn trả lời:

Đáp án đúng là: C

$a \subset (\alpha); b \subset (\beta)$ và $(\alpha) // (\beta)$ nên a // b.

Bài 10: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành. Giao tuyến của hai mặt phẳng (SAB) và (SCD) là đường thẳng song song với đường thẳng nào sau đây?

A. BD.

B. SC.

C. AC.

D. AB.

Hướng dẫn trả lời:

Đáp án đúng là: D

Do ABCD là hình bình hành nên AB // CD.

Lại có $AB \subset (SAB), CD \subset (SCD)$ và $S\ in (SAB) \cap (SCD)$

Do đó $(SAB) \cap (SCD) = d$ với d là đường thẳng đi qua S và d // AB // CD.

B. TỰ LUẬN

Bài 1: Cho hình bình hành ABCD. Từ các đỉnh A, B, C và D lần lượt kẻ các tia Ax, By, Cz và Dt song song với nhau và không nằm trong mặt phẳng (ABCD). Chứng minh mặt phẳng (Ax, By) song song với mặt phẳng (Cz, Dt).

Hướng dẫn trả lời:

Ta có Cz // By nên Cz // (Ax, By).

Do tứ giác ABCD là hình bình hành nên CD // AB do đó CD // (Ax, By).

Khi đó Cz // (Ax, By);

CD // (Ax, By);

$Cz \subset (Cz, Dt), CD \subset (Cz, Dt)$ và $Cz \cap CD = C$.

Do đó (Cz, Dt) // (Ax, By).

Bài 2: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành và O là giao điểm của AC và BD. Gọi M, N, P lần lượt là ba điểm nằm trên các cạnh AB, BC, SO. Xác định giao tuyến của mặt phẳng (MNP) với các mặt của hình chóp S.ABCD (nếu có).

Hướng dẫn trả lời:

Do $M \in AB, N \in BC$ và $AB \subset (ABCD), BC \subset (ABCD)$ nên $MN \subset (ABCD)$

Mà $MN \subset (MNP)$

Suy ra $(MNP)\cap (ABCD) = MN$.

Trong mặt phẳng (ABCD), gọi H là giao điểm của MN và DC; K là giao điểm của MN và AD; I là giao điểm của NO và AD.

Trong mặt phẳng (SIO), gọi G là giao điểm của NP và SI.

Trong mặt phẳng (SAD), gọi T là giao điểm của KG và SA và R là giao điểm của KG và SD.

Trong mặt phẳng (SDC), gọi Q là giao điểm của RH và SC.

Khi đó, $(MNP) \cap (SAB) = TM$.

$(MNP) \cap (SBC) = NQ$;

$(MNP) \cap (SDC) = QR$;

$(MNP) \cap (SAD) = RT$.

Bài 3: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành và M là trung điểm của SA. Tìm giao tuyến của mặt phẳng (P) với các mặt của hình chóp S.ABCD, biết rằng (P) đi qua M, song song với SC và AD.

Hướng dẫn trả lời:

Gọi O là giao điểm của AC và BD, E là trung điểm của CD.

Xét $\Delta SAC$ có: M, O lần lượt là trung điểm của SA, AC nên MO là đường trung bình của $\Delta SAC$, suy ra SC // MO.

Mà $MO \subset (MOE)$, suy ra SC // (MOE).

Xét $\Delta ADC$ có: O, E lần lượt là trung điểm của AC, CD nên OE là đường trung bình của $\Delta ADC$, suy ra AD // OE.

Mà $OE \subset (MOE)$, suy ra AD // (MOE).

Khi đó, mặt phẳng (P) đã cho là (MOE).

Trong mặt phẳng (ABCD), gọi F là giao điểm của OE và AB.

Mà $OE \subset (MOE), AB \subset (ABCD)$

Suy ra $(MOE) \cap (ABCD) = EF, (MOE) \cap (SAB) = FM$.

Vì $M \in (MOE) \cap (SAD)$ và OE // AD

Nên $(MOE) \cap (SAD) = d$, với d là đường thẳng đi qua M và d // AD // OE.

Trong mặt phẳng (SAD), d cắt SD tại N.

Do đó, $(MOE) \cap (SAD) = MN$ và $(MOE) \cap (SDC) = NE$.

Vậy $(MOE) \cap (ABCD) = EF$;

$(MOE) \cap (SAB) = FM$;

$(MOE) \cap (SAD) = MN$;

$(MOE) \cap (SDC) = NE$.

Bài 4: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a và tam giác SAB đều. Gọi M là điểm thuộc cạnh BC sao cho BM = x (0 < x < a), mặt phẳng $(\alpha)$ đi qua M, song song với hai đường thẳng SA và AB.

a) Xác định giao tuyến của mặt phẳng $(\alpha)$ với các mặt của hình chóp.

b) Tính diện tích của hình tạo bởi các đoạn giao tuyến ở câu a theo a và x.

Hướng dẫn trả lời:

a) Trong mặt phẳng (ABCD), kẻ MN // AB // CD, $N \in AD$.

Trong mặt phẳng (SAD), kẻ đường thẳng d đi qua S và d // AD. Qua N vẽ đường thẳng song song với SA và cắt d tại O.

Nối NO cắt SD tại P và nối MO cắt SC tại Q.

Khi đó $(\alpha)$ chính là mặt phẳng (OMN).

Suy ra $(\alpha) \cap (ABCD) = MN$;

$(\alpha) \cap (SBC) = MQ$;

$(\alpha) \cap (SCD) = QP$;

$(\alpha) \cap (SAD) = NP$.

b) Các đoạn giao tuyến của mặt phẳng $(\alpha)$ với các mặt của hình chóp tạo thành tứ giác MNPQ.

Ta có CD // MN // PQ

Suy ra tứ giác MNPQ là hình thang với MN = AB = a và $\widehat{QMN}=\widehat{SBA}=60^{o}$

Trong $\Delta SBC$ có MQ // SB nên $\frac{MQ}{SB}=\frac{MC}{BC}$ (hệ quả định lí Thalès)

Mà SB = BC nên MQ = MC = a ‒ x.

Trong $\Delta SCD$ có PQ // CD nên $\frac{PQ}{CD}=\frac{SQ}{SC}$ (hệ quả định lí Thalès).

Trong $\Delta SBC$ có MQ // SB nên $\frac{SQ}{SC}=\frac{BM}{BC}$ (định lí Thalès)

Do đó $\frac{PQ}{CD}=\frac{BM}{BC}$, mà CD = BC nên PQ = BM = x.

Gọi H là chân đường cao kẻ từ Q đến MN.

Khi đó $QH = MQ.sin\widehat{QMH}= MQ.sin60^{o}=\frac{(a-x)\sqrt{3}}{2}$

Vậy $S_{MNPQ}=\frac{1}{2}.QH.(MN+PQ)\frac{1}{2}=\frac{1}{2}.\frac{(a-x)\sqrt{3}}{2}.(a+x)= \frac{(a^{2}-x^{2})\sqrt{3}}{4}$ (đvdt)

Bài 5: Cho hình chóp S.ABCD, đáy ABCD là hình bình hành có O là giao điểm của AC và BD, AC = 2a, BD = 2b; tam giác SBD là tam giác đều. Gọi I là điểm nằm trên đoạn thẳng AC sao cho AI = x (0 < x < a), (P) là mặt phẳng đi qua điểm I và song song với mặt phẳng (SBD).

a) Xác định giao tuyến của mặt phẳng (P) với các mặt của hình chóp S.ABCD.

b) Tính diện tích của hình tạo bởi các đoạn giao tuyến ở câu a theo a, b và x.

Hướng dẫn trả lời:

a) Trong mặt phẳng (ABCD), kẻ MN đi qua I và MN // BD $(M \in AB, N \in AD)$.

Trong mặt phẳng (SAD), kẻ NJ // SD $(J \in SA)$.

Trong mặt phẳng (SAB), nối JM.

Ta có MN // BD và $BD \subset (SBD)$ nên MN // (SBD). Do đó mặt phẳng (P) chính là mặt phẳng (MNJ)

Khi đó, $(P) \cap (SAB) = JM; (P) \cap (SAD) = JN; (P) \cap (ABCD) = MN$.

b) Các đoạn giao tuyến của mặt phẳng (P) với các mặt của hình chóp S.ABCD tạo thành tam giác MNJ.

Ta có $\Delta JMN \sim \Delta SBD$ nên $\Delta JMN$ là tam giác đều.

Ta có MN // BD, suy ra: $\frac{MN}{BD}=\frac{AI}{AO}=\frac{x}{a}\Rightarrow  MN =\frac{2bx}{a}$

$\Rightarrow S_{\Delta JMN} = \frac{1}{2}.MN.MJ.sin\widehat{NMJ}=\frac{1}{2}.MN^{2}sin60^{o}= \frac{1}{2}.(\frac{2bx}{a})^{2}.\frac{\sqrt{3}}{2}= \frac{b^{2}x^{2}.\sqrt{3}}{a^{2}}$

Bài 6: Cho hình chóp S.ABCD, đáy ABCD là hình thang có đáy lớn AB và AD = a. Mặt bên SAB là tam giác cân tại S, SA = a; mặt phẳng (R) song song với (SAB) và cắt các cạnh AD, BC, SC, SD theo thứ tự tại M, N, P, Q.

a) Chứng minh MNPQ là hình thang cân.

b) Đặt x = AM với 0 < x < a. Tính MQ theo a và x.

Hướng dẫn trả lời:

a) Ta có $(ABCD) \cap (R) = MN, (ABCD) \cap (SAB) = AB$

Mà (R) // (SAB) nên MN // AB.

Tương tự, các mặt phẳng (SAD), (SCB), (SDC) cắt hai mặt phẳng song song (R) và (SAB) theo các cặp giao tuyến song song.

Suy ra MQ // SA, NP // SB, QP // CD // AB.

Do đó QP // MN nên MNPQ là hình thang.

Ta có $\frac{MQ}{SA}=\frac{DM}{DA}=\frac{CN}{CB}=\frac{NP}{SB}$ (hệ quả định lí Thalès) và SA = SB, suy ra MQ = NP.

Vậy MNPQ là hình thang cân.

b) Ta có $\frac{MQ}{SA}=\frac{DM}{DA} \Rightarrow \frac{MQ}{a}=\frac{a-x}{a} \Rightarrow MQ = a-x$.