Giải sách bài tập Toán học 11 Tập 1 Chân trời Bài 3: Các công thức lượng giác

Bài 1: Không dùng máy tính cầm tay. Tính giá trị của các biểu thức sau:

a) $sin\frac{19\pi}{24}cos\frac{37\pi}{24}$;

b) $cos\frac{41\pi}{12}-cos\frac{13\pi}{12}$;

c) $\frac{tan\frac{\pi}{7}+tan\frac{3\pi}{28}}{1+tan\frac{6\pi}{7}tan\frac{3\pi}{28}}$;

Hướng dẫn trả lời:

a) $sin\frac{19\pi}{24}cos\frac{37\pi}{24} =\frac{1}{2}[sin(\frac{19\pi}{24}-\frac{37\pi}{24})+sin(\frac{19\pi}{24}+\frac{37\pi}{24})]$

$=\frac{1}{2}[sin(-\frac{3\pi}{4})+sin\frac{7\pi}{3}]=\frac{1}{2}(-sin\frac{3\pi}{4}+sin\frac{\pi}{3})$

$=\frac{1}{2}(-\frac{\sqrt{2}}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2})=\frac{\sqrt{3}-\sqrt{2}}{4}$

b) $cos\frac{41\pi}{12}-cos\frac{13\pi}{12}=-2sin\frac{\frac{41\pi}{12}+\frac{13\pi}{12}}{2}sin\frac{\frac{41\pi}{12}-\frac{13\pi}{12}}{2}=-2sin\frac{9\pi}{4}sin\frac{7\pi}{6}$

$=2sin\frac{\pi}{4}sin\frac{\pi}{6}=2.\frac{\sqrt{2}}{2}.\frac{1}{2}=\frac{\sqrt{2}}{2}$.

c) $\frac{tan\frac{\pi}{7}+tan\frac{3\pi}{28}}{1+tan\frac{6\pi}{7}tan\frac{3\pi}{28}}=\frac{tan\frac{\pi}{7}+tan\frac{3\pi}{28}}{1+tan(\pi-\frac{\pi}{7}).tan\frac{3\pi}{28}}=\frac{tan\frac{\pi}{7}+tan\frac{3\pi}{28}}{1-tan\frac{\pi}{7}.tan\frac{3\pi}{28}}$

$=tan(\frac{\pi}{7}+\frac{3\pi}{28})=tan\frac{\pi}{4}=1$.

Bài 2: Cho $cos\alpha =\frac{11}{61}$ và $-\frac{\pi}{2} < \alpha < 0$, tính giá trị của các biểu thức sau:

a) $sin(\frac{\pi}{6}-\alpha)$

b) $cot(\alpha+\frac{\pi}{4})$

c) $cos(2\alpha+\frac{\pi}{3})$

d) $tan(\frac{3\pi}{4}-2\alpha)$

Hướng dẫn trả lời:

a) Vì $-\frac{\pi}{2}<\alpha<0$ nên $sin\alpha < 0$.

Do đó, $sin\alpha=-\sqrt{1-cos^{2}\alpha}=-\sqrt{1-(\frac{11}{61})^{2}}=-\frac{60}{61}$

Suy ra

$sin(\frac{\pi}{6}-\alpha)=sin\frac{\pi}{6}cos\alpha-cos\frac{\pi}{6}sin\alpha=\frac{1}{2}.\frac{11}{61}-\frac{\sqrt{3}}{2}.(-\frac{60}{61})=\frac{11+60\sqrt{3}}{122}$ 

b) Ta có $tan\alpha=\frac{sin\alpha}{cos\alpha}=\frac{-\frac{60}{61}}{\frac{11}{61}}=-\frac{60}{11}$.

Do đó $cot(\alpha+\frac{\pi}{4})=\frac{1}{tan(\alpha+\frac{\pi}{4})}=\frac{1-tan\alpha.tan\frac{\pi}{4}}{tan\alpha+tan\frac{\pi}{4}}=\frac{1-(-\frac{60}{11}).1}{(-\frac{60}{11})+1}=-\frac{71}{49}$

c) Ta có: $cos2\alpha=2cos^{2}\alpha-1=2.(\frac{11}{61})^{2}-1=-\frac{3479}{3721}$

$sin2\alpha=2sin\alpha.cos\alpha=2.(-\frac{60}{61}).\frac{11}{61}=-\frac{1320}{3721}$

Suy ra: 

$cos(2\alpha+\frac{\pi}{3})=cos2\alpha.cos\frac{\pi}{3}-sin2\alpha.sin\frac{\pi}{3}=-\frac{3479}{3721}.\frac{1}{2}-(-\frac{1320}{3721}).\frac{\sqrt{3}}{2}$

$=\frac{-3479+1320\sqrt{3}}{7442}$

d) Ta có $tan2\alpha=\frac{sin2\alpha}{cos2\alpha}=\frac{-\frac{1320}{3721}}{-\frac{3479}{3721}}=\frac{1320}{3479}$

Suy ra: $tan(\frac{3\pi}{4}-2\alpha)=\frac{tan\frac{3\pi}{4}-tan2\alpha}{1+tan\frac{3\pi}{4}.tan2\alpha}=\frac{-1-\frac{1320}{3479}}{1+(-1).\frac{1320}{3479}}=-\frac{4799}{2159}$

Bài 3: Rút gọn các biểu thức sau:

a) $sinxcos^{5}x- cosxsin^{5}x$;

b) $\frac{sin3xcos2x+sinxcos6x}{sin4x}$;

c) $\frac{cosx-cos2x+cos3x}{sinx-sin2x+sin3x}$;

d) $\frac{2sin(x+y)}{cos(x+y)+cos(x-y)}-tany$

Hướng dẫn trả lời:

a) $sinxcos^{5}x -cosxsin^{5}x = sinxcosx(cos^{4}x-sin^{4}x)$

$=\frac{1}{2}sin2x(cos^{2}x-sin^{2}x)(cos^{2}x+sin^{2}x)$

$=\frac{1}{2}sin2xcos2x=\frac{1}{4}sin4x$

b) $\frac{sin3xcos2x+sinxcos6x}{sin4x}=\frac{\frac{1}{2}(sinx+sin5x)+\frac{1}{2}[sin(-5x)+sin7x]}{sin4x}$

$=\frac{sinx+sin5x-sin5x+sin7x}{2sin4x}=\frac{sinx+sin7x}{2sin4x}$

$=\frac{2sin4xcos3x}{2sin4x}=cos3x.$

c) $\frac{cosx-cos2x+cos3x}{sinx-sin2x+sin3x}=\frac{(cosx+cos3x)-cos2x}{(sinx+sin3x)-sin2x}$

$=\frac{2cos2xcosx-cos2x}{2sin2xcosx-sin2x}$

$=\frac{cos2x(2cosx-1)}{sin2x(2cosx-1)}=\frac{cos2x}{sin2x}=cot2x$

d) $\frac{2sin(x+y)}{cos(x+y)+cos(x-y)}-tany =\frac{2(sinxcosy+cosxsiny)}{2cosxcosy}-tany$

$=\frac{sinx}{cosx}+\frac{siny}{cosy}-tany=tanx+tany-tany=tanx$.

Bài 4: Chứng minh các đẳng thức lượng giác sau:

a) $4cosxcos(\frac{\pi}{3}-x)cos(\frac{\pi}{3}+x)=cos3x$;

b) $\frac{sin2xcosx}{(1+cosx)(1+cos2x)}=tan\frac{x}{2}$;

c) $sinx(1 + 2cos2x + 2cos4x + 2cos6x) = sin7x$;

d) $\frac{sin^{2}3x}{sin^{2}x}-\frac{cos^{2}3x}{cos^{2}x}=8cos2x$

Hướng dẫn trả lời:

a) $4cosxcos(\frac{\pi}{3}-x)cos(\frac{\pi}{3}+x) =2cosx(cos2x+cos\frac{2\pi}{3})$

$=2cosxcos2x+2cosxcos\frac{2\pi}{3}$

$=cosx+cos3x+2cosx.(-\frac{1}{2})$

$=cosx+cos3x+2cosx.(-\frac{1}{2})$

$=cosx+cos3x-cosx=cos3x$

b) $\frac{sin2xcosx}{(1+cosx)(1+cos2x)}=\frac{(2sinxcosx)cosx}{(1+2cos^{2}\frac{x}{2}-1)(1+2cos^{2}x-1)}$

$=\frac{2sinxcos^{2}x}{4cos^{2}\frac{x}{2}cos^{2}x}$

$=\frac{sinx}{2cos^{2}\frac{x}{2}}=\frac{2sin\frac{x}{2}cos\frac{x}{2}}{2cos^{2}\frac{x}{2}}=\frac{sin\frac{x}{2}}{cos\frac{x}{2}}=tan\frac{x}{2}$.

c) sinx(1 + 2cos2x + 2cos4x + 2cos6x)

= sinx + 2sinxcos2x + 2sinxcos4x + 2sinxcos6x

= sinx + [sin(‒x) + sin3x] + [sin(‒3x) + sin5x] + [sin(‒5x) + sin7x]

= sinx + (‒sinx + sin3x) + (‒sin3x + sin5x) + (‒sin5x + sin7x)

= sin7x.

d)

 $\frac{sin^{2}3x}{sin^{2}x}-\frac{cos^{2}3x}{cos^{2}x}=\frac{sin^{2}3xcos^{2}x-cos^{2}3xsin^{2}x}{sin^{2}xcos^{2}x}$

$=\frac{(sin3xcosx)^{2}-(cos3xsinx)^{2}}{sin^{2}xcos^{2}x}$

$=\frac{(sin3xcosx+cos3xsinx)(sin3xcosx-cos3xsinx)}{\frac{1}{4}sin^{2}2x}$

$=\frac{4sin4xsin2x}{sin^{2}2x}=\frac{4(2sin2xcos2x)sin2x}{sin^{2}2x}$

$=\frac{8sin^{2}2xcos2x}{sin^{2}2x}=8cos2x$.

Bài 5: Chứng minh rằng giá trị của biểu thức sau không phụ thuộc vào giá trị của biến x:

a) $sin^{2}x+cos(\frac{\pi}{3}+x)cos(\frac{\pi}{3}+x)$

b) $cos(x-\frac{\pi}{3})cos(x+\frac{\pi}{4})+cos(x+\frac{\pi}{6})cos(x+\frac{3\pi}{4})$.

Hướng dẫn trả lời:

a) 

$sin^{2}x+cos(\frac{\pi}{3}-x)cos(\frac{\pi}{3}+x)$

$=sin^{2}x+\frac{1}{2}(cos2x+cos\frac{2\pi}{3})$

$=sin^{2}x+\frac{1}{2}(1-2sin^{2}x-\frac{1}{2})=\frac{1}{4}$

Vậy giá trị của biểu thức $sin^{2}x+cos(\frac{\pi}{3}-x)cos(\frac{\pi}{3}+x)$ không phụ thuộc vào giá trị của x.

b) $cos(x-\frac{\pi}{3})cos(x+\frac{\pi}{4})+cos(x+\frac{\pi}{6})cos(x+\frac{3\pi}{4})$

$=\frac{1}{2}[cos\frac{7\pi}{12}+cos(2x-\frac{\pi}{12})]+\frac{1}{2}[cos\frac{7\pi}{12}+cos(2x+\frac{11\pi}{12})]$

$=\frac{1}{2}[cos(2x-\frac{\pi}{12})+cos(2x-\frac{\pi}{12}+π)]+cos\frac{7\pi}{12}$

$=\frac{1}{2}[cos(2x-\frac{\pi}{12})-cos(2x-\frac{\pi}{12})]+cos\frac{7\pi}{12}=cos\frac{7\pi}{12}$.

Vậy giá trị của biểu thức $cos(x-\frac{\pi}{3})cos(x+\frac{\pi}{4})+cos(x+\frac{\pi}{6})cos(x+\frac{3\pi}{4})$ không phụ thuộc vào giá trị của x.

Bài 6: Cho tam giác ABC, chứng minh rằng:

a) cosAcosB ‒ sinAsinB + cosC = 0;

b) $cos\frac{B}{2}sin\frac{C}{2}+sin\frac{B}{2}cos\frac{C}{2}=cos\frac{A}{2}$.

Hướng dẫn trả lời:

Vì tổng số đo ba góc của một tam giác bằng $180^{o}$ nên $\hat{A} + \hat{B} + \hat{C} = 180^{o}$.

Suy ra $\frac{\hat{A}+\hat{B}+\hat{C}}{2}=90^{o}$, hay $\frac{B}{2}+\frac{C}{2}=90^{o}-\frac{A}{2}$

a) cosAcosB ‒ sinAsinB + cosC

= cos(A + B) + cosC

= $cos(180^{o}- C) + cosC$

= ‒cosC + cosC = 0.

b) $cos\frac{B}{2}sin\frac{C}{2}+sin\frac{B}{2}cos\frac{C}{2}=sin(\frac{B}{2}+\frac{C}{2})=sin(90^{o}-\frac{A}{2})=cos\frac{A}{2}$.

Bài 7: Cho $sin\alpha + cos\alpha = m$. Tìm m để $sin2\alpha=-\frac{3}{4}$

Hướng dẫn trả lời:

Ta có $sin\alpha+cos\alpha=\sqrt{2}(\frac{\sqrt{2}}{2}sin\alpha+\frac{\sqrt{2}}{2}cos\alpha)=\sqrt{2}sin(\alpha+\frac{\pi}{4})$

Vì $-1\leq sin(\alpha+\frac{\pi}{4}) \leq 1$ nên $-\sqrt{2} \leq sin\alpha +cos\alpha \leq \sqrt{2}$. Suy ra $-\sqrt{2} \leq m \leq \sqrt{2}$

Ta lại có $(sin\alpha+cos\alpha)^{2}=sin^{2}\alpha+2sin\alpha.cos\alpha+cos^{2}\alpha=1+sin2\alpha$

Suy ra $sin2\alpha=(sin\alpha+cos\alpha)^{2}-1=m^{2}-1$

Khi đó, $sin2\alpha =-\frac{3}{4}$ hay $m^{2}-1=-\frac{3}{4}$, suy ra $m=\frac{1}{2}$ hoặc $m=-\frac{1}{2}$ (thoả mãn điều kiện).

Vậy $m=\frac{1}{2}$ hoặc $m=-\frac{1}{2}$

Bài 8: Cho $sin\alpha=\frac{3}{5}$, $cos\beta=\frac{12}{13}$ và $0^{o} < \alpha, \beta < 90^{o}$. Tính giá trị của biểu thức $sin(\alpha + \beta)$ và $cos(\alpha-\beta)$.

Hướng dẫn trả lời:

Vì $0^{o}<\alpha < 90^{o}$ nên $cos\alpha > 0$. Do đó, $cos\alpha=\sqrt{1-sin^{2}\alpha}=\sqrt{1-(\frac{3}{5})^{2}}=\frac{4}{5}$

Vì $0^{o}< \beta < 90^{o}$ nên $sin\beta > 0$. Do đó, $sin\beta=\sqrt{1-cos^{2}\beta}=\sqrt{1-(\frac{12}{13})^{2}}=\frac{5}{13}$.

Khi đó, $sin(\alpha+\beta)=sin\alpha.cos\beta+cos\alpha.sin\beta=\frac{3}{5}.\frac{12}{13}+\frac{4}{5}.\frac{5}{13}=\frac{56}{65}$

$cos(\alpha-\beta)=cos\alpha.cos\beta+sin\alpha.sin\beta=\frac{4}{5}.\frac{12}{13}+\frac{3}{5}.\frac{5}{13}=\frac{63}{65}$

Bài 9: Không sử dụng máy tính cầm tay, tính giá trị của các biểu thức sau:

a) $sin6^{o}cos12^{o}cos24^{o}cos48^{o}$;

b) $cos68^{o}cos78^{o}+ cos22^{o}cos12^{o}+ cos190^{o}$.

Hướng dẫn trả lời:

a) Đặt $A = sin6^{o}cos12^{o}cos24^{o}cos48^{o}$. Ta có:

$cos6^{o}.A = cos6^{o}.sin6^{o}.cos12^{o}.cos24^{o}.cos48^{o}$

$=\frac{1}{2}sin12^{o}.cos12^{o}.cos24^{o}.cos48^{o}$

$=\frac{1}{4}sin24^{o}.cos24^{o}.cos48^{o}$

$=\frac{1}{8}sin48^{o}.cos48^{o}$

$=\frac{1}{16}sin96^{o}=\frac{1}{16}cos6^{o}$

Suy ra $A=\frac{1}{16}$

b) $cos68^{o}.cos78^{o}+ cos22^{o}cos12^{o}+ cos190^{o}$

$= cos(90^{o}-22^{o})cos(90^{o}-12^{o}) + cos22^{o}.cos12^{o}+ cos(180^{o}+ 10^{o})$

$= sin22^{o}.sin12^{o}+ cos22^{o}.cos12^{o}+ cos10^{o}$

$= (sin22^{o}.sin12^{o}+ cos22^{o}.cos12^{o}) + cos10^{o}$

$= cos(22^{o}- 12^{o}) + cos10^{o}$

$= cos10^{o}- cos10^{o}= 0$.

Bài 10: Phương trình dao động điều hòa của một vật tại thời điểm t giây được cho bởi công thức $x(t) = Acos(\omega t + \varphi)$, trong đó x(t) (cm) là li độ của một vật tại thời điểm t giây, A là biên độ dao động (A > 0) và $\varphi \in [-\pi; \pi]$ là pha ban đầu của dao động.Xét hai dao động điều hòa có phương trình lần lượt là:

$x_{1}(t)=3cos(\frac{\pi}{4}t+\frac{\pi}{3})$ (cm) và $x_{2}(t)=3cos(\frac{\pi}{4}t-\frac{\pi}{6})$ (cm).

a) Xác định phương trình dao động tổng hợp $x(t) = x_{1}(t) + x_{2}(t)$.

b) Tìm biên độ và pha ban đầu của dao động tổng hợp trên.

Hướng dẫn trả lời:

a) Ta có $x(t)=x_{1}(t)+x_{2}(t)=3cos(\frac{\pi}{4}t+\frac{\pi}{3})+3cos(\frac{\pi}{4}t-\frac{\pi}{6})$

$=3.2cos\frac{(\frac{\pi}{4}t+\frac{\pi}{3})+(\frac{\pi}{4}t-\frac{\pi}{6})}{2}.cos\frac{(\frac{\pi}{4}t+\frac{\pi}{3})-(\frac{\pi}{4}t-\frac{\pi}{6})}{2}$

$=6cos\frac{\frac{\pi}{2}t+\frac{\pi}{6}}{2}cos\frac{\frac{\pi}{2}}{2}=3\sqrt{2}cos(\frac{\pi}{4}t+\frac{\pi}{12})$

Vậy phương trình của dao động tổng hợp là $x(t)=3\sqrt{2}cos(\frac{\pi}{4}t+\frac{\pi}{12})$

b) Dao động tổng hợp trên có biên độ là $A=3\sqrt{2}$ cm và pha ban đầu là $\varphi=\frac{\pi}{12}$