Giải sách bài tập Toán học 11 Tập 1 Chân trời Bài 2: Giá trị lượng giác của một góc lượng giác

Bài 1: Tính các giá trị lượng giác của góc $\alpha$ nếu:

a) $sin\alpha =-\frac{4}{5}$ và $\pi < \alpha <\frac{3\pi}{3}$

b) $cos\alpha =\frac{11}{61}$ và $0 < \alpha < \frac{\pi}{2}$

c) $tan\alpha =-\frac{15}{8}$ và $-90^{o} < \alpha < 90^{o}$

d) $cot\alpha =-2,4$ và $-180^{o} < \alpha < 0^{o}$

Hướng dẫn trả lời:

a) Ta có $cos^{2}\alpha=1-sin^{2}\alpha=1-(-\frac{4}{5})^{2}=\frac{9}{25}$. Vì $\pi < \alpha <\frac{3\pi}{2}$ nên $cos\alpha < 0.$

Do đó $cos\alpha=-\frac{3}{5}$

Suy ra $tan\alpha=\frac{sin\alpha}{cos\alpha}=\frac{-\frac{4}{5}}{-\frac{3}{5}}=\frac{4}{3}$ và $cot\alpha=\frac{1}{tan\alpha}=\frac{1}{\frac{4}{3}}=\frac{3}{4}$

b) Ta có $sin^{2}\alpha=1-cos^{2}\alpha=1-(\frac{11}{61})^{2}=(\frac{60}{61})^{2}$. Vì $0<\alpha<\frac{\pi}{2}$ nên $sin\alpha > 0$.

Do đó $sin\alpha=\frac{60}{61}$

Suy ra $tan\alpha=\frac{sin\alpha}{cos\alpha}=\frac{\frac{60}{61}}{\frac{11}{61}}=\frac{60}{11}$

c) Ta có $cot\alpha=\frac{1}{tan\alpha}=\frac{1}{-\frac{15}{8}}=-\frac{8}{15}$; $\frac{1}{cos^{2}\alpha}=1+tan^{2}\alpha=1+(-\frac{15}{8})^{2}=\frac{289}{64}$

Suy ra $cos^{2}\alpha=\frac{64}{289}$ Vì $-90^{o}<\alpha<90^{o}$ nên $cos\alpha>0$. Do đó $cos\alpha=\frac{8}{17}$.

Suy ra $sin\alpha=tan\alpha cos\alpha =-\frac{15}{8}.\frac{8}{17}=-\frac{15}{17}$

d) $tan\alpha=-\frac{5}{12},sin\alpha=-\frac{5}{13},cos\alpha=\frac{12}{13}$

Ta có $tan\alpha=\frac{1}{cot\alpha}=\frac{1}{-2,4}=-\frac{5}{12};\frac{1}{sin^{2}\alpha}=1+cot^{2}\alpha=1+(-2,4)^{2}=\frac{676}{100}$

Suy ra $sin^{2}\alpha=\frac{100}{676}$. Vì $-180^{o}< \alpha < 0^{o}$ nên $sin\alpha <0$. Do đó $sin\alpha=-\frac{5}{13}$

Suy ra $cos\alpha=cot\alpha sin\alpha=-2,4.(-\frac{5}{13})=\frac{12}{13}$

Bài 2: Biểu diễn các giá trị lượng giác sau qua các giá trị lượng giác của góc có số đo từ 0 đến $\frac{\pi}{4}$ (hoặc từ $0^{o}$ đến $45^{o}$).

a) $sin(-1693^{o})$;

b) $cos\frac{1003\pi}{3}$;

c) $tan885^{o}$;

d) $cot(-\frac{53\pi}{10})$.

Hướng dẫn trả lời:

a) $sin(-1693^{o}) = -sin(1693^{°})$

$=-sin(4.360^{o}+ 180^{o}+ 73^{o})$

$= sin73^{o}$

$= cos(90^{o}- 73^{o}) = cos17^{o}$.

b) $cos\frac{1003\pi}{3}=cos(334\pi+\frac{\pi}{3})=cos\frac{\pi}{3}=sin\frac{\pi}{6}$

c) $tan885^{o}= tan(180^{o}.4 + 165^{o}) = tan165^{o}= tan(180^{o}-15^{o})= -tan15^{o}$

d) $cot(-\frac{53\pi}{10})=-cot(\frac{53\pi}{10})=-cot(\frac{50\pi}{10}+\frac{3\pi}{10})$

$=-cot(5\pi+\frac{3\pi}{10})=-cot(\frac{3\pi}{10})$

$=-cot(\frac{\pi}{2}-\frac{\pi}{5})=-tan(\frac{\pi}{5})$

Bài 3: Cho $\pi<\alpha<\frac{3\pi}{2}$. Xác định dấu của các giá trị lượng giác sau:

a) $cos(\alpha + \pi)$;

b) $sin(\frac{\pi}{2}-\alpha)$

c) $tan(\alpha+\frac{3\pi}{2})$;

d) $cot(\alpha−\frac{\pi}{2})$;

e) $cos(2\alpha+\frac{\pi}{2})$;

g) $sin(\pi -2\alpha)$.

Hướng dẫn trả lời:

a) $cos(\alpha +\pi) = -cos\alpha> 0$ vì $\pi<\alpha<\frac{3\pi}{2}$

b) $sin(\frac{\pi}{2}-\alpha)=cos\alpha<0$ vì $\pi<\alpha<\frac{3\pi}{2}$

c) $tan(\alpha+\frac{3\pi}{2})=-cot\alpha<0$ vì $\pi<\alpha<\frac{3\pi}{2}$

d) $cot(\alpha -\frac{\pi}{2})=-tan\alpha < 0$ vì $\pi <2\alpha < \frac{3\pi}{2}$

e) $cos(2\alpha +\frac{\pi}{2})=-sin2\alpha <0$ vì $2\pi <2\alpha <3\pi$

g) $sin(\pi -2\alpha)=sin2\alpha > 0$ vì $2\pi <2\alpha <3\pi$

Bài 4: Biết $sin\alpha=\frac{3}{5}$ và $\frac{\pi}{2}<\alpha<\pi$. Tính giá trị của các biểu thức sau:

a) $A=\frac{3sin\alpha}{2cos\alpha-tan\alpha}$

b) $B=\frac{cot^{2}\alpha-sin\alpha}{tan\alpha+2cos\alpha}$

Hướng dẫn trả lời:

Vì $sin\alpha=\frac{3}{5}$ và $\frac{\pi}{2}<\alpha<\pi$ nên $cos\alpha =-\frac{4}{5}, tan\alpha=-\frac{3}{4}$ và $cot\alpha=-\frac{4}{3}$

a) $A=\frac{3.\frac{3}{5}}{2.(-\frac{4}{5})-(-\frac{3}{4})}=\frac{\frac{9}{5}}{-\frac{8}{5}+\frac{3}{4}}=\frac{\frac{9}{5}}{-\frac{17}{20}}=-\frac{36}{17}$

b) $B=\frac{(-\frac{4}{3})^{2}-\frac{3}{5}}{-\frac{3}{4}+2.(-\frac{4}{5})}=\frac{\frac{16}{9}-\frac{3}{5}}{-\frac{3}{4}-\frac{8}{5}}=\frac{\frac{53}{45}}{-\frac{47}{20}}=-\frac{212}{423}$

Bài 5: Chứng minh các đẳng thức lượng giác sau:

a) $sin^{4}x+cos^{4}x=1-2sin^{2}xcos^{2}x$

b) $\frac{1+cotx}{1-cotx}=\frac{tanx+1}{tanx-1}$

c) $\frac{sin\alpha +cos\alpha}{sin^{3}\alpha}=\frac{1-cot^{4}\alpha}{1-cot\alpha}$

d) $\frac{tan^{2}\alpha+cos^{2}\alpha-1}{cot^{2}\alpha+sin^{2}\alpha - 1}=tan^{6}\alpha$

Hướng dẫn trả lời:

a) $sin^{4}x+cos^{4}x$

$=(sin^{2}x+cos^{2}x)^{2}-2sin^{2}xcos^{2}$

$=1-2sin^{2}xcos^{2}x$

b) $\frac{1+cotx}{1-cotx}=\frac{1+\frac{1}{tanx}}{1-\frac{1}{tanx}}=\frac{\frac{tanx+1}{tanx}}{\frac{tanx-1}{tanx}}=\frac{tanx+1}{tanx-1}$

c) $\frac{sin\alpha +cos\alpha}{sin^{3}\alpha}$

$=\frac{1}{sin^{2}\alpha}+\frac{cos\alpha}{sin\alpha}.\frac{1}{sin^{2}\alpha}$

$=(1+cot^{2}\alpha)+cot\alpha(1+cot^{2}\alpha)$

$=(1+cot\alpha)(1+cot^{2}\alpha$

$=\frac{(1-cot^{2}\alpha)(1+cot^{2}\alpha)}{1-cot\alpha}$

$=\frac{1-cot^{4}\alpha}{1-cot\alpha}$

d) $\frac{tan^{2}\alpha+cos^{2}\alpha-1}{cot^{2}\alpha+sin^{2}\alpha - 1}$

$=\frac{tan^{2}\alpha-sin^{2}\alpha}{cot^{2}\alpha-cos^{2}\alpha}$

$=\frac{\frac{sin^{2}\alpha}{cos^{2}\alpha}-sin^{2}\alpha}{\frac{cos^{2}\alpha}{sin^{2}\alpha}-cos^{2}\alpha}$

$=\frac{sin^{2}\alpha(\frac{1}{cos^{2}\alpha}-1)}{cos^{2}\alpha(\frac{1}{sin^{2}\alpha}-1)}$

$=tan^{2}\alpha.\frac{tan^{2}\alpha}{cot^{2}\alpha}$

$=tan^{6}\alpha$

Bài 6: Chứng minh các đẳng thức sau:

a) $sin^{2}605^{o}+sin^{2}1645^{o}+cot^{2}25^{o}=\frac{1}{cos^{2}65^{o}}$

b) $\frac{sin530^{o}}{1+sin640^{o}}=\frac{1}{sin10^{o}}+cot10^{o}$

Hướng dẫn trả lời:

a) $sin605^{o} = sin(3.180^{o}+ 65^{o}) = -sin65^{o}$.

$sin1645^{o}= sin(9.180^{o}+ 25^{o}) = -sin25^{o}= -sin(90^{o}-65^{o})=-cos65^{o}$.

$cot25^{o}= cot(90^{o}- 65^{o}) = tan65^{o}$.

$sin^{2}605^{o}+ sin^{2}1645^{o}+ cot^{2}25^{o}$

$= (-sin65^{o})^{2} + (-cos65^{o})^{2} + (tan65^{o})^{2}$

$= 1 + tan^{2}65^{o}$

$=\frac{1}{cos^{2}65^{o}}$

b) $sin530^{o}= sin(3.180^{o}-10^{o}) = sin10^{o}$.

$sin640^{o}= sin(4.180^{o}- 80^{o}) = -sin80^{o}= -sin(90^{o}-10^{o}) = -cos10^{o}$.

$\frac{sin530^{o}}{1+sin640^{o}}=\frac{sin10^{o}}{1-cos10^{o}}=\frac{sin^{2}10^{o}}{sin10^{o}(1-cos10^{o})}$

$=\frac{1-cos^{2}10^{o}}{sin10^{o}(1-cos10^{o})}=\frac{(1+cos10^{o})(1-cos10^{o})}{sin10^{o}(1-cos10^{o})}$

$=\frac{1+cos10^{o}}{sin10^{o}}=\frac{1}{sin10^{o}}+cot10^{o}$

Bài 7: Rút gọn các biểu thức sau:

a) $cos(\alpha+\pi)+sin(\alpha+\frac{5\pi}{2}-tan(\alpha+\frac{\pi}{2})tan(\pi-\alpha)$

b) $cos(\frac{\pi}{2}-\alpha)sin(\beta+\pi)-sin(2\pi-\alpha)cos(\beta-\frac{\pi}{2})$.

Hướng dẫn trả lời:

a) $cos(\alpha+\pi)+sin(\alpha+\frac{5\pi}{2})-tan(\alpha+\frac{\pi}{2})tan(\pi-\alpha)$

$=-cos\alpha+sin(\alpha+\frac{\pi}{2})-tan[\pi-(\alpha+\frac{\pi}{2})]tan\alpha$

$=-cos\alpha+sin[\pi-(\alpha+\frac{\pi}{2})]-tan(\frac{\pi}{2}-\alpha)tan\alpha$

$=-cos\alpha+sin(\frac{\pi}{2}-\alpha)-cot\alpha tan\alpha$

$=-cos\alpha +cos\alpha-1=-1$

b) $cos(\frac{\pi}{2}-\alpha)sin(\beta+\pi)-sin(2\pi-\alpha)cos(\beta-\frac{\pi}{2})$

$=sin\alpha(-sin\beta)-sin(-\alpha)cos(\frac{\pi}{2}-\beta)$

$=-sin\alpha sin\beta+sin\alpha sin\beta=0$.

Bài 8: Tính giá trị của các biểu thức sau:

a) $sin17^{o}.sin197^{o}+sin73^{o}cos163^{o}$

b) $\frac{1}{1-tan145^{o}}+\frac{1}{1+tan55^{o}}$

Hướng dẫn trả lời:

a) Ta có:

$sin197^{o}= sin(180^{o}+ 17^{o}) = -sin17^{o}$.

$sin73^{o}= sin(90^{o}-17^{o}) = cos17^{o}$

$cos163^{o}= cos(180^{o}-17^{o}) = -cos17^{o}$.

Suy ra:

$sin 17^{o}.sin197^{o}+ sin73^{o}.cos163^{o}$

$= sin 17^{o}.(-sin17^{o}) + cos17^{o}.(-cos17^{o})$

$=-(sin217^{o}+ cos217^{o}) = -1$.

b) $\frac{1}{1-tan145^{o}}+\frac{1}{1+tan55^{o}}$

$=\frac{1}{1+cot55^{o}}+\frac{1}{1+tan55^{o}}$

$=\frac{1}{1+\frac{1}{tan55^{o}}}+\frac{1}{1+tan55^{o}}$

$=\frac{tan55^{o}}{1+tan55^{o}}+\frac{1}{1+tan55^{o}}$

$=\frac{tan55^{o}+1}{1+tan55^{o}}=1$

Bài 9: 

a) Cho $tan\alpha + cot\alpha = 2$. Tính giá trị của biểu thức $tan3\alpha +cot3\alpha$.

b) Cho $sin\alpha+cos\alpha=\frac{1}{4}$. Tính giá trị của $sin\alpha cos\alpha$.

c) Cho $sin\alpha+cos\alpha=\frac{1}{2}$. Tính giá trị của biểu thức $sin3\alpha + cos3\alpha$.

Hướng dẫn trả lời:

a) $tan^{3}\alpha + cot^{3}\alpha = (tan\alpha + cot\alpha)^{3}-3tan\alpha cot\alpha (tan\alpha + cot\alpha)$

$= (tan\alpha + cot\alpha)^{3}-3 (tan\alpha + cot\alpha)$ (*)

Thay $tan\alpha + cot\alpha = 2$ vào biểu thức (*) ta có: $2^{3}-3.2 = 2$.

b) $(sin\alpha + cos\alpha)^{2} = sin^{2}\alpha + cos^{2}\alpha + 2 sin\alpha cos\alpha= 1 + 2 sin\alpha cos\alpha$.

Do đó $sin\alpha cos\alpha=\frac{1}{2}[(sin\alpha +cos\alpha)^{2}-1]=\frac{1}{2}[(\frac{1}{4})^{2}-1]=-\frac{15}{32}$

c) $sin^{3}\alpha + cos^{3}\alpha$

$= (sin\alpha + cos\alpha)(sin^{2}\alpha- sin\alpha cos\alpha + cos^{2}\alpha)$

$= (sin\alpha + cos\alpha)(1- sin\alpha cos\alpha)$

Mà $sin\alpha cos\alpha =\frac{1}{2}[(sin\alpha +cos\alpha)^{2}-1]=\frac{1}{2}[(\frac{1}{2})^{2}-1]=-\frac{3}{8}$, nên

$sin^{3}\alpha+cos^{3}\alpha=\frac{1}{2}.[1-(-\frac{3}{8})]=\frac{1}{2}.\frac{11}{8}=\frac{11}{16}$

Bài 10: Cho tanx = 2. Tính giá trị của các biểu thức sau:

a) $\frac{3sinx-4cosx}{5sinx+2cosx}$;

b) $\frac{sin^{3}x-2cos^{3}x}{2sinx+3cosx}$.

Hướng dẫn trả lời:

Vì tanx xác định nên $cosx \neq 0$. Chia tử và mẫu của phân thức cho luỹ thừa thích hợp của cosx để biểu diễn biểu thức theo tanx.

a) $\frac{3sinx-4cosx}{5sinx+2cosx}=\frac{3.\frac{sinx}{cosx}-4}{5.\frac{sinx}{cosx}+2}=\frac{3.2-4}{5.2+2}=\frac{1}{6}$

b) $\frac{sin^{3}x+2cos^{3}x}{2sinx+3cosx}=\frac{\frac{sin^{3}x}{cos^{3}x}+2}{(2\frac{sinx}{cosx}+3).\frac{1}{cos^{2}x}}=\frac{tan^{3}x+2}{(2tanx+3)(tan^{2}x+1)}$

$=\frac{2^{3}+2}{(2.2+3)(2^{2}+1)}=\frac{2}{7}$

Bài 11: Độ dài của ngày từ lúc Mặt Trời mọc đến lúc Mặt Trời mọc ở một thành phố X trong ngày thứ t của năm được tính xấp xỉ bởi công thức:

$d(t)=4sin[\frac{2\pi}{365}(t-80)]+12$ với $t \in \mathbb{Z}$ và $1\leq t \leq 365$.

Thành phố X vào  ngày 31 tháng 1 có bao nhiêu giờ có Mặt Trời chiếu sáng? Làm tròn kết quả đến hàng phần mười.

Hướng dẫn trả lời:

Thay t = 31 vào công thức trên ta có:

$d(31)=4sin[\frac{2\pi}{365}(31-80)]+12 \approx 9,01$ (giờ)

Vậy thành phố X vào  ngày 31 tháng 1 có 9,01 giờ có Mặt Trời chiếu sáng.