Giải sách bài tập Vật lí 11 cánh diều bài 2: Một số dao động điều hoà thường gặp

1.15. Con lắc lò xo gồm lò xo khối lượng không đáng kể, một đầu cố định và đầu kia gắn với một viên bi nhỏ. Con lắc này đang dao động điều hoà theo phương nằm ngang. Lực đàn hồi của lò xo tác dụng lên viên bi luôn hướng

A. theo chiều chuyển động của viên bi. 

B. về vị trí cân bằng của viên bi. 

C. ngược chiều chuyển động của viên bi. 

D. về vị trí biên.

Hướng dẫn trả lời:

Đáp án đúng: B

Đối với con lắc lò xo dao động điều hòa theo phương ngang, lực đàn hồi cũng chính là lực hồi phục. Do đó lực đàn hồi của lò xo tác dụng lên viên bi luôn hướng về vị trí cân bằng.

1.16. Tại một nơi xác định, chu kì của con lắc đơn tỉ lệ thuận với

A. căn bậc hai gia tốc trọng trường.

B. gia tốc trọng trường.

C. căn bậc hai chiều dài con lắc.

D. chiều dài con lắc.

Hướng dẫn trả lời:

Đáp án đúng: C

Chu kì của con lắc đơn là: $T=2\pi\sqrt{\frac{l}{g}}$

Từ công thức ta thấy chu kì con lắc đơn tỉ lệ thuận với căn bậc hai của chiều dài con lắc và tỉ lệ nghịch với căn bậc hai của gia tốc trọng trường.

1.17. Một con lắc lò xo gồm vật có khối lượng m và lò xo có độ cứng k không đổi, dao động điều hoà. Nếu khối lượng m = 200g thì chu kì dao động của con lắc là 2 s. Để chu kì con lắc là 1 s thì khối lượng m bằng

A. 200 g.

B. 100 g.

C. 50 g.

D. 800 g.

Hướng dẫn trả lời:

Đáp án đúng: C

Ta có: Chu kì của con lắc lò xo là: $T=2\pi\sqrt{\frac{m}{k}}$

Với T = 2s thì $2=2\pi\sqrt{\frac{0,2}{k}}\Rightarrow k = \frac{\pi^{2}}{5}$

Để T= 1s thì $1=2\pi\sqrt{\frac{m}{\frac{\pi^{2}}{5}}}\Rightarrow m = 0,05 kg=50g$

1.18. Trong thực hành, để đo gia tốc trọng trường, một học sinh dùng con lắc đơn có chiều dài dây treo 80,00 cm. Khi cho con lắc dao động điều hoà, học sinh này thấy con lắc thực hiện được 20,00 dao động trong thời gian 36,00 s. Theo kết quả thí nghiệm trên, gia tốc trọng trường tại nơi học sinh làm thí nghiệm bằng

A. 9,847 m/s². 

B. 9,874 m/s². 

C. 9,748 m/s².

D. 9,783 m/s².

Hướng dẫn trả lời:

Đáp án đúng: C

Chu kì của con lắc là: $T = \sqrt{36}{20}=1,8$ s

Gia tốc trọng trường là: $g=\frac{l.4\pi^{2}}{T^{2}}=\frac{0.8.4\pi^{2}}{1,8^{2}}=9,748 m/s^{2}$

1.19. Thú nhún lò xo (Hình 1.12) là một loại đồ chơi của các em nhỏ. So sánh chu kì dao động của thú nhún nếu hai em bé có khối lượng khác nhau m1 > m2 lần lượt ngồi lên con thú nhún này.

Hướng dẫn trả lời:

Ta có chu kì dao động của thú nhún là chu kì dao động của con lắc lò xo:

$T=2\pi\sqrt{\frac{m}{k}}$ 

Ta thấy chu kì dao động tỉ lệ thuận với căn bậc hai của khối lượng mà m1 > m2 nên T1 > T2

Vậy em bé có khối lượng lớn hơn thì sẽ làm cho thú nhún có chu kì dao động dài hơn.

1.20. Các nhạc sĩ sử dụng máy gõ nhịp như trong Hình 1.13 để rèn luyện khả năng chơi nhạc theo một nhịp độ nhất định. Thanh gõ nhịp của máy có thể coi gần đúng là một con lắc đơn. Nếu muốn máy gõ nhịp nhanh hơn thì cần điều chỉnh đầu trượt của thanh lên cao hay xuống thấp? Giải thích vì sao.

Hướng dẫn trả lời:

Coi gần đúng thanh gõ nhịp là con lắc đơn thì chu kì dao động của nó tính bằng công thức: $T==2\pi\sqrt{\frac{l}{g}}$

Do đó, để máy gõ nhịp nhanh hơn thì tức là chu kì dao động cần ngắn lại thì cần điều chỉnh cho đầu trượt trượt xuống dưới để chiều dài $l$ của thanh gỗ ngắn lại.

1.21. Một con lắc lò xo treo thẳng đứng ở nơi có gia tốc trọng trường 9,8 m/s2. Khi vật ở vị trí cân bằng, lò xo giãn một đoạn 2,5 cm. Tính chu kì dao động của con lắc lò xo này.

Hướng dẫn trả lời:

Con lắc lò xo treo thẳng đứng, ở vị trí cân bằng, trọng lực tác dụng lên vật cân bằng với lực đàn hồi của lò xo: $P=F_{đh}\Leftrightarrow mg=k|\Delta l_{o}|\Leftrightarrow\frac{m}{k}=\frac{|\Delta l_{o}|}{g}$

Chu kì của con lắc lò xo là: $T=2\pi\sqrt{\frac{m}{k}}=2\pi\sqrt{\frac{|\Delta l_{o}|}{g}}=0,32 s$

1.22. Một con lắc lò xo gồm vật có khối lượng 0,500 kg mắc với lò xo nhẹ có độ cứng 70,0 N/m. Con lắc dao động với biên độ 4,00 cm. Tính tốc độ của vật khi qua vị trí cân bằng.

Hướng dẫn trả lời:

Tần số góc của con lắc lò xo là: $\omega=\sqrt{\frac{k}{m}}$

Tốc độ của vật khi đi qua vị trí cân bằng là tốc độ cực đại của vật: $v_{max}=\omega.A=47,3 cm/s$

1.23. Một con lắc đơn có chiều dài dây treo 1,2 m dao động điều hoà với biên độ 5,0 cm tại nơi có gia tốc trọng trường 9,8 m/s2. Tính tốc độ và gia tốc của con lắc khi qua vị trí có li độ 2,5 cm.

Hướng dẫn trả lời:

Tần số góc của con lắc đơn là: $\omega =\sqrt{\frac{g}{l}}=\sqrt{\frac{9,8}{1,2}}=2,9 rad/s$

Vật có li độ x = 2,5 cm thì gia tốc của con lắc là: $a = -\omega^{2} x= -21 cm/s^{2}$

Tốc độ của con lắc là: $|v|=\sqrt{\omega^{2}(A^{2}-x^{2})}=\sqrt{2,9^{2}(5^{2}-2,5^{2})}=12,56 cm/s$

1.24. Trong các máy đo gia tốc thường có một con lắc lò xo gồm vật có khối lượng m gắn với một cặp lò xo. Vật sẽ dao động điều hoà khi máy chuyển động có gia tốc. Một máy đo gia tốc gồm vật khối lượng 0,080 kg, gắn với cặp lò xo có độ cứng 4,0.103 N/m. Biên độ của vật khi dao động là 2,0 cm. Xác định:

a) Chu kì dao động của con lắc lò xo. 

b) Gia tốc cực đại của vật.

Hướng dẫn trả lời:

a) Chu kì dao động của con lắc lò xo là: $T=2\pi\sqrt{\frac{m}{k}}=2\pi\sqrt{\frac{0,080}{4,0.10^{3}}}=0,028 s$

b) Gia tốc cực đại của vật là: $a=\omega ^{2}A=(\frac{2\pi}{T})^{2}A=(\frac{2\pi}{0,028})^{2}.2=100,71.10^{3} (cm/s^{2})$

1.25. Một vật có khối lượng 0,250 kg được gắn vào lò xo nhẹ để dao động với biên độ 0,125 m trên mặt bàn nằm ngang không ma sát. Khi vật đi qua vị trí cân bằng, tốc độ của nó là 3,00 m/s.

a) Tìm độ cứng của lò xo.

b) Tìm tốc độ của vật khi nó ở vị trí có li độ x = A/2.

Hướng dẫn trả lời:

Khi vật đi qua vị trí cân bằng có tốc độ là 3,00 m/s tức là vận tốc cực đại của vật là 3,00 m/s

Tần số góc của lò xo là: $\omega=\frac{v_{max}}{A}=\frac{3,00}{0,125}=24,0 rad/s$

a) Độ cứng của lò xo là: $k=m\omega ^{2}=0,250.(24,0)^{2}=144 N/m$

b) Tốc độ của vật là: $|v|=\sqrt{\omega^{2}(A^{2}-x^{2})}=\sqrt{\omega^{2}(A^{2}-(\frac{A}{2})^{2})} =\sqrt{24,0^{2}(0,125^{2}-0,0625^{2})}=2,6 m/s$ 

1.26. Một con lắc đơn gồm vật nhỏ treo vào sợi dây có chiều dài / và dao động điều hoà tại nơi có gia tốc trọng trường 9,81 m/s2. Đồ thị li độ – thời gian của vật được cho trong Hình 1.14. Xác định: 

a) Biên độ và chu kì của dao động.

b) Chiều dài 1 của dây treo.

c) Vận tốc của vật tại thời điểm t = 2,00 s.

d) Gia tốc của vật tại thời điểm t = 3,00 s.

Hướng dẫn trả lời:

Từ đồ thị ta thấy:

a) Biên độ của dao động A= 2,00 cm; chu kì dao động T= 4,00s

b) Chiều dài của dây treo là: $l=\frac{gT^{2}}{4\pi^{2}}=\frac{9,8.4^{2}}{4\pi^{2}}=3,97 m$

c) Tại thời điểm t = 2,00s, vật ở vị trí cân bằng và đang di chuyển theo chiều âm nên

$v=-\omega A=-\pi$ cm/s

d) Tại thời điểm t = 3,00s, vật đang ở vị trí biên âm nên ta có:

$a=\omega^{2}A=4,93 cm/s^{2}$

1.27. Một con lắc lò xo treo thẳng đứng gồm vật có khối lượng m=0,20 kg gắn vào lò xo nhẹ có độ cứng k. Trong quá trình vật dao động với chu kì 0,40 s, chiều dài của lò xo thay đổi trong khoảng $l_{min}$ = 0,20 m đến $l_{max}$ = 0,24 m. Gia tốc trọng trường tại nơi treo con lắc là 9,8 m/s2. Xác định:

a) Biên độ của dao động.

b) Tốc độ cực đại và gia tốc cực đại của vật.

c) Chiều dài của lò xo khi chưa biến dạng.

d) Độ lớn lực đàn hồi của lò xo khi nó có chiều dài lớn nhất.

Hướng dẫn trả lời:

a) Biên độ của dao động là: $A=\frac{l_{max}-l_{min}}{2}=\frac{0,24-0,20}{2}=0,02 m$

b) Tốc độ cực đại của dao động là: $v_{max}=\omega. A=0,3 m/s$

Gia tốc cực đại của dao động là: $a_{max}=\omega^{2}.A= 5m/s^{2}$

c) Độ cứng của lò xo là: $k=\frac{4\pi^{2}m}{T^{2}}=\frac{4\pi^{2}.0,2}{0,4^{2}}=49,35 N/m$

Độ dãn của lò xo khi vật ở vị trí cân bằng là: $|Delta l_{o}=\frac{mg}{k}=0,040m$

Chiều dài của lò xo khi chưa biến dạng: $l_{o}=l_{max}-A-\Delta l_{o}=0,24 - 0,02 -0,040=0,18$(m)

d) Khi lò xo có chiều dài lớn nhất, độ biến dạng của nó là: 

$\Delta l_{max}=A+\Delta l_{o}=0,02+0,040=0,06 m$

Độ lớn lực đàn hồi lúc đó là: $F_{đh}=k.\Delta l_{max}=3 N$

1.28. Một con lắc đơn gồm vật nhỏ treo vào sợi dây có chiều dài 2,23 m tại nơi có gia tốc trọng trường g. Đồ thị vận tốc – thời gian của vật nhỏ khi con lắc dao động như ở Hình 1.15. Xác định:

a) Gia tốc trọng trường tại nơi treo con lắc

b) Gia tốc cực đại của vật

c) Li độ của vật tại thời điểm t = 2, 0 s.

Hướng dẫn trả lời:

Từ đồ thị ta thấy chu kì dao động T = 3s $\Rightarrow\omega=\frac{2\pi}{T}=\frac{2\pi}{3}$ (rad/s)

a) Gia tốc trọng trường tại nơi treo con lắc là: $g=\frac{l.(2\pi)^{2}}{T^{2}}=\frac{2,23.(2\pi)^{2}}{3^{2}}= 9,78m/s^{2}$

b) Vận tốc cực đại của vật là: $v_{max}=4 cm/s \Rightarrow A=\frac{v_{max}}{\omega}=\frac{4}{\frac{2\pi}{3}}=\frac{6}{\pi}\approx 1,91 m$

Gia tốc cực đại của vật là: $a_{max}=\omega^{2}.A=(\frac{2\pi}{3})^{2}.\frac{6}{\pi}=\frac{8\pi}{3}\approx 8,38(cm/s^{2})$

c) Tại thời điểm t = 2s ta có v = -3,50 cm/s

Li độ của vật tại thời điểm này là: $x=\pm\sqrt{A^{2}-\frac{v^{2}}{\omega^{2}}}=\pm 0,925 cm$

Lấy kết quả x=0,925 cm vì theo đồ thị, tại thời điểm t = 2,00s, vật đang chuyển động nhanh dần theo chiều âm của trục toạ độ. Tức là nó đang đi từ phía biên dương về vị trí cân bằng. Do đó, li độ dương.

1.29. Một đồng hồ quả lắc chạy đúng giờ nếu con lắc đơn của nó có chu kì 1,000 s, khi treo ở nơi có gia tốc trọng trường 9, 800 m/s2

a) Xác định chiều dài dây treo con lắc đơn của đồng hồ.

b) Khi được vận chuyển tới một địa phương khác, đồng hồ này chạy chậm 90,00 s mỗi ngày. Xác định gia tốc trọng trường tại nơi đó.

c) Để đồng hồ chạy đúng giờ tại địa phương mới này, người ta cần điều chỉnh lại chiều dài dây treo con lắc như thế nào?

Hướng dẫn trả lời:

a) Chiều dài dây treo con lắc đơn của đồng hồ là: $l=\frac{gT^{2}}{4\pi^{2}}=0,2482 m$

b) Khi đến địa phương mới, đồng hồ chạy chậm lại chứng tỏ chu kì T' mới của nó thoả mãn T' > T

Thời gian chậm trong mỗi chu kì là: $\Delta T  = T’ - T$

Số chu kì con lắc thực hiện trong một ngày ở địa phương mới là: $N = \frac{86400s}{T'}$

Do đó: $\frac{86400 s}{T’}. (T' - T) = 90,00 s$

Với $T' = 2\pi\sqrt{\frac{l}{g'}}$ và $T = 2\pi\sqrt{\frac{l}{g}}$

Thay số ta tính được g' = 9,780 m/s2

c) Để đồng hồ chạy đúng giờ ở địa phương mới, cần điều chỉnh dây treo con lắc thành $l’$ sao cho:

$2\pi\sqrt{\frac{l’}{g’}}=1,000s$

thay g’=9,780 m/s2 vào ta được: l’=0,2477 m

1.30. Một con lắc đơn gồm sợi dây có chiều dài 1,20 m và vật có khối lượng 0,500 kg. Treo con lắc tại nơi có gia tốc trọng trường 9.81 m/s2. Kéo vật ra khỏi vị trí cân bằng sao cho sợi dây tạo với phương thẳng đứng một góc $\alpha_{0}$ rồi thả tay cho vật dao động không vận tốc đầu. Bỏ qua mọi lực cản. Tính tốc độ của vật khi nó qua vị trí cân bằng và độ lớn lực căng của dây treo khi đó trong trường hợp:

a) $\alpha_{0} = 8,00^{o}$

b) $\alpha_{0} = 30,0^{o}$

Hướng dẫn trả lời:

a) Khi góc $\alpha_{0} = 8 ,00^{o} =0,140$ rad con lắc dao động với biên độ nhỏ nên được coi là dao động điều hoà với tần số góc: $\omega = \sqrt\frac{g}{l} = 2, 86 rad / s$

Biên độ của con lắc: $A=l. \alpha_{0} = 0 ,168 m$. 

Tốc độ của vật khi qua vị trí cân bằng O: v=\omega A=0,480 m/s$

Ở vị trí cân bằng, tổng hợp trọng lực và lực căng dây treo tác dụng lên vật đóng vai trò là lực hướng tâm:

$T - P =F_{ht} = \frac{mv^{2}_{max}}{l}\Rightarrow T=P+ \frac{mv^{2}_{max}}{l}$

Thay số:

T = 5,00N

b) Khi góc $\alpha_{0} = 30,0^{o}$ dao động của con lắc đơn không phải là dao động điều hoà. Chọn gốc thế năng hấp dẫn tại điểm O, áp dụng định luật bảo toàn cơ năng cho chuyển động của con lắc đơn ở môi trường không có lực cản.

$W_{o}=W_{A} \Leftrightarrow \frac{1}{2}mv^{2}_{max} =mgl(l-cos\alpha_{0})$

$\Leftrightarrow v_{max} = \sqrt{2gl(l-cos \alpha_{0})} =1,78 m/s $

Lực căng dây: $T=P+ \frac{mv^{2}_{max}}{l}$

Thay số: T = 6,23N