Giải sách bài tập Vật lí 11 cánh diều bài 3: Năng lượng trong dao động điều hòa

1.31. Một con lắc lò xo gồm lò xo khối lượng không đáng kể, độ cứng k, một đầu cố định và một đầu gắn với viên bi nhỏ khối lượng m. Con lắc này đang dao động điều hoà có cơ năng

A. tỉ lệ nghịch với độ cứng k của lò xo.

B. tỉ lệ với bình phương biên độ dao động.

C. tỉ lệ với bình phương chu kì dao động.

D. tỉ lệ nghịch với khối lượng m của viên bi.

Hướng dẫn trả lời:

Đáp án đúng: B

Cơ năng của con lắc lò xo là: $W=\frac{1}{2}m\omega^{2}A^{2}=\frac{1}{2}m(\frac{2\pi}{T})^{2}A^{2}=\frac{1}{2}k.A^{2}$

Từ công thức ta thấy cơ năng của con lắc lò xo tỉ lệ thuận với độ cứng của lò xo và khối lượng của con lắc, tỉ lệ thuận với bình phương biên độ dao động.

1.32. Phát biểu nào sau đây sai? Cơ năng của vật dao động điều hoà

A. bằng thế năng khi vật ở vị trí biên.

B. bằng động năng khi vật ở vị trí cân bằng. 

C. bằng động năng khi vật ở vị trí biên.

D. bằng tổng động năng và thế năng tại mọi vị trí.

Hướng dẫn trả lời:

Đáp án đúng: C

Cơ năng của vật dao động điều hoà bằng tổng của động năng và thế năng ở mọi vị trí và cơ năng bằng thế năng khi vật ở vị trí biên, bằng động năng khi vật ở vị trí cân bằng.

1.33. Treo quả cầu vào sợi dây mảnh không co giãn để tạo thành một con lắc đơn. Trong quá trình dao động điều hoà của con lắc đơn đó, có sự biến đổi qua lại giữa

A. động năng và thế năng đàn hồi.

B. thế năng đàn hồi và thế năng hấp dẫn.

C. thế năng đàn hồi và cơ năng. 

D. động năng và thế năng hấp dẫn.

Hướng dẫn trả lời:

Đáp án đúng: D

Trong quá trình dao động, tốc độ và độ cao của con lắc thay đổi liên tục theo thời gian, do đó động năng và thế năng hấp dẫn của con lắc đơn cũng thay đổi liên tục.

1.34. Một vật nhỏ khối lượng 0,10 kg dao động điều hoà theo phương trình x=8,0cos10,0t (x tính bằng cm; t tính bằng s). Động năng cực đại của vật là

A. 32 mJ.

B. 16 mJ.

C. 64 ml

D. 28 mJ.

Hướng dẫn trả lời:

Đáp án đúng: A

Động năng cực đại của vật là: $W=\frac{1}{2}m.v^{2}_{max}=\frac{1}{2}m.(\omega .A)^{2}=\frac{1}{2}. 0,1.(10.0,08)^{2}=0,032 J= 32 mJ$

1.35. Một con lắc lò xo gồm vật có khối lượng 0,20 kg gắn vào lò xo nhẹ có độ cứng 50,0 N/m. Tính cơ năng của con lắc khi nó dao động điều hoà với biên độ 4,0 cm.

Hướng dẫn trả lời:

Cơ năng của con lắc là: $W=\frac{1}{2}m\omega^{2}A^{2}=\frac{1}{2}m(\sqrt{\frac{k}{m}})^{2}A^{2}=\frac{1}{2}kA^{2}=\frac{1}{2}.50.0,04^{2}=0,040 J$

1.36. Đồ thị Hình 1.16 biểu diễn sự thay đổi động năng theo li độ của một vật dao động điều hoà có chu kì 0,12 s. Xác định:

a) Khối lượng của vật.

b) Thế năng khi vật ở vị trí có li độ 1,0 cm.

c) Vị trí tại đó vật có động năng bằng thế năng.

Hướng dẫn trả lời:

a) Tần số góc của vật là: $\omega=\frac{2\pi}{T}=\frac{2\pi}{0,12}=\frac{50\pi}{3}$ (rad/s)

Tốc độ cực đại của vật là: $v_{max}=\omega.A=\frac{50\pi}{3}.0,02=\frac{\pi}{3}$ (m/s)

Từ đồ thị ta thấy động năng cực đại của vật là 0,08 J nên ta có: 

$W_{đmax}=\frac{1}{2}mv_{max}^{2}\Rightarrow m=\frac{2W_{đmax}}{v_{max}^{2}}=\frac{2.0,08}{\frac{\pi}{3}}=0,15(kg)$

b) Khi vật ở vị trí có li độ x = 1,0 cm theo đồ thị ta thấy 

$W_{đ}=0,06 J \Rightarrow W_{t}=W-W_{đ}=0,08-0,06=0,02(J)$

c) Khi vật có $W_{đ}=nW_{t}$ thì $W_{t}=\frac{W}{n+1}$

$\frac{1}{2}m\omega^{2}x^{2}=\frac{1}{n+1}.\frac{1}{2}m\omega^{2}A^{2}\Leftrightarrow x=\pm\frac{A}{\sqrt{n+1}}$

Khi động năng bằng thế năng thì n=1 nên ta có:  $x=\pm\frac{A}{\sqrt{2}}=\pm 1,4 cm$

1.37. Một con lắc lò xo dao động điều hoà với cơ năng 1,0 J. Biết rằng biên độ của vật dao động là 10,0 cm và tốc độ cực đại của vật là 1,2 m/s. Hãy xác định: 

a) Khối lượng của vật gắn với lò xo.

b) Độ cứng của lò xo.

Hướng dẫn trả lời:

a) Cơ năng của con lắc là: $W=W_{đmax}=\frac{1}{2}mv^{2}_{max}$

$\Rightarrow m=\frac{2W}{v^{2}_{max}}=\frac{2.1,0}{1,2^{2}}=1,4 kg$

b) Với con lắc lò xo ta có: $W=W_{tmax}=\frac{1}{2}kA^{2}$

$\Rightarrow$ Độ cứng của lò xo là: $k=\frac{2W}{A^{2}}=2,0.10^{2} N/m$

1.38. Đồ thị Hình 1.17 mô tả sự thay đổi động năng của một vật dao động điều hoà có khối lượng 0,40 kg theo thời gian. Xác định:

a) Chu kì của dao động.

b) Tốc độ cực đại của vật.

c) Biên độ của dao động.

d) Gia tốc cực đại của vật dao động.

Hướng dẫn trả lời:

a) Từ đồ thị ta thấy chu kì của dao động là: T=0,4 s 

$\Rightarrow$ tần số góc của dao động là: $\omega =\frac{2\pi}{T}=\frac{2\pi}{0,4}=5\pi$ (rad/s)

b) Từ đồ thị ta thấy động năng cực đại của vật là: $W_{đ}=0,016 J$

Từ đó tốc độ cực đại của vật là: $v_{max}=\sqrt{\frac{2W_{đmax}}{m}}=0,28 m/s$

c) Biên độ của dao động là: $A=\frac{v_{max}}{\omega}=\frac{0,28}{5\pi}=0,018 m$

d) Gia tốc cực đại của vật là: $a_{max}=\omega^{2}A=4,4 m/s^{2}$

1.39. Một con lắc lò xo dao động điều hoà trên mặt bàn nằm ngang không ma sát với tần số 2,0 Hz. Khối lượng của vật gắn với lò xo là 0,20 kg. Tại thời điểm ban đầu, vật ở vị trí có li độ 5,0 cm và vận tốc – 0,30 m/s.

a) Viết phương trình li độ của vật.

b) Xác định tốc độ cực đại và gia tốc cực đại của vật.

c) Tìm vị trí của vật tại thời điểm 0,40 s. 

d) Tìm cơ năng dao động của con lắc.

e) Tìm các vị trí mà tại đó con lắc có động năng gấp 3 lần thế năng.

Hướng dẫn trả lời:

a) Tần số góc của vật là: $\omega=2\pi f=2\pi 2=4\pi (rad/s)$

Phương trình li độ và vận tốc của vật có dạng là:

$x=Acos(\omega t+\varphi)$ và $v=-\omega Asin(\omega t+\varphi)$

Tại t = 0,x = 0,050 m; v = -0,30 m/s nên ta có:

$cos\varphi=\frac{0,050 m}{A}$ (1)

$sin\varphi=\frac{0,30m/s}{(4,0\pi rad/s).A}$ (2)

Giải hệ phương trình (1) và (2) ta được: A=0,055m và $\varphi$=0,45 rad

Vậy phương trình li độ của vật là: $x=0,055 cos(4,0\pi t +0,45)$ m

b) Tốc độ cực đại của vật là: $v_{max}=\omega A=0,69 m/s$

Gia tốc cực đại của vật là: $a_{max}=\omega^{2}A=8,7 m/s^{2}$

c) Tại t=0,40s thì li độ của vật là: $x=0,055 cos(4,0\pi .0,40+0,45)=0,038 m$

d) Cơ năng của vật là: $W=\frac{1}{2}mv^{2}_max=\frac{1}{2}.0,02.0,69^{2}=0,048 J$

e) Ta có: Khi vật có $W_{đ}=nW_{t}$ thì $W_{t}=\frac{W}{n+1}$

$\frac{1}{2}m\omega^{2}x^{2}=\frac{1}{n+1}.\frac{1}{2}m\omega^{2}A^{2}\Leftrightarrow x=\pm\frac{A}{\sqrt{n+1}}$

Khi động năng gấp 3 lần thế năng nên n=3

Li độ $x=\pm\frac{A}{2}=\pm0,028 m$

1.40. Trong phân tử hydrochloric acid (HCl), nguyên tử chlorine (Cl) và nguyên tử hydrogen (H) có thể được coi là kết nối với nhau giống như có một lò xo nối giữa chúng. Vì khối lượng của nguyên tử chlorine lớn hơn nhiều so với khối lượng của nguyên tử hydrogen nên có thể coi gần đúng là nguyên tử chlorine đứng yên còn nguyên tử hydrogen dao động điều hòa quanh một vị trí cân bằng.

Hình 1.18 biểu diễn thế năng tương tác giữa hai nguyên tử trong phân tử HCl. Dựa vào đồ thị hãy xác định tần số dao động của nguyên tử hydrogen. Biết rằng khối lượng của nguyên tử hydrogen là 1,67.10-27 kg.

Hướng dẫn trả lời:

Từ đồ thị ta thấy biên độ dao động của nguyên tử là: A=0,04 nm

Thế năng cực đại của dao động là: $W_{tmax}=\frac{1}{2}kA^{2}=4.10^{-19}(J)$

$\Rightarrow k=\frac{2W_{tmax}}{A^{2}}=\frac{2.4.10^{-19}}{(0,04.10^{-9})^{2}}=500 N/m$.

Tần số dao động của nguyên tử hydrogen là: $f=\frac{1}{2\pi}\sqrt{\frac{k}{m}}=\frac{1}{2\pi}\sqrt{\frac{500}{1,67.10^{-27}}}=8,7.10^{13} Hz$

1.41. Một con lắc lò xo gồm vật có khối lượng 0,500 kg gắn vào đầu tự do của một lò xo nhẹ có độ cứng 20,0 N/m. Con lắc dao động theo phương nằm ngang với biên độ 4,00 cm.

a) Tính tốc độ cực đại của vật dao động.

b) Tính cơ năng dao động của con lắc.

c) Tính động năng và tốc độ của vật khi nó ở vị trí có li độ 2,00 cm.

Hướng dẫn trả lời:

Tần số góc của con lắc là: $\omega=6,32 rad/s$

a) Tốc độ cực đại của vật dao động là: $v_{max}=\omega A=6,32.0,04=0,253 m/s$

b) Cơ năng dao động của con lắc là: $W=\frac{1}{2}kA^{2}=\frac{1}{2}.20.0,04^{2}=0,016 J$

c) Khi x = 0,02 m thì:

$W_{đ}=W-W_{t}=0,016-\frac{1}{2}.20.0,02^{2}=0,012J$

$v=\sqrt{\frac{2W_{đ}}{m}}=0,219 m/s$

1.42. Hình 1.19 là đồ thị vận tốc – thời gian của một con lắc đơn dao động điều hoà với cơ năng 9,6 mJ. Hãy xác định:

a) Khối lượng của vật nhỏ.

b) Biên độ của dao động.

c) Li độ của con lắc tại thời điểm 1,5 s.

Hướng dẫn trả lời:

a) Từ đồ thị ta thấy tốc độ cực đại của vật là: $v_{max}=0,40 m/s$

Vì cơ năng W = 9,6 mJ = 9,6.10^{-3}J

$\Rightarrow m=\frac{2W}{v^{2}}=\frac{2.9,6.10^{-3}}{0,4^{2}}=0,12 kg$

b) Từ đồ thị ta thấy chu kì của dao động là: T = 4s 

$\Rightarrow \omega=\frac{2\pi}{T}=\frac{2\pi}{4}=0,5\pi (rad/s)$

Biên độ của dao động là: $A=\frac{v_{max}}{\omega}=\frac{0,40}{0,5\pi}=0,255 m/s$

c) Tại thời điểm t = 1,5s tốc độ của vật v = $0,4sin(0,5\pi.1,5-\frac{pi}{2})= 0,282 m/s$

$x=\pm\sqrt{A^{2}-\frac{v^{2}}{\omega^{2}}}=\pm\sqrt{0,255^{2}-\frac{0,282^{2}}{(0.5\pi)^{2}}}=\pm 0,18 m$

Ta thấy tại thời điểm t = 1,5s vật có vận tốc dương và đang đi dần về vị trí cân bằng theo chiều dương nên x = -0,18 m.

1.43. Hình 1.20 là đồ thị gia tốc – thời gian của một vật có khối lượng 0,15 kg đang dao động điều hoà. Hãy xác định:

a) Biên độ của dao động.

b) Vận tốc của vật tại thời điểm t = 1,0s.

c) Động năng cực đại của vật.

d) Thế năng và vị trí của vật tại thời điểm t = 2,0 s.

Hướng dẫn trả lời:

Từ đồ thị ta thấy gia tốc cực đại của dao động là: $a_{max}=0,48 m/s^{2}$

Chu kì dao động của vật là: $T = 2s \Rightarrow \omega=\frac{2\pi}{T}=\frac{2\pi}{2}=\pi$ (rad/s)

a) Biên độ của dao động là: $A=\frac{a_{max}}{\omega^{2}}=\frac{0,48}{\pi^{2}}=0,049 m$

b) Tại thời điểm t=1,0 s, vật có gia tốc cực đại $\Rightarrow$ vật ở vị trí biên dương nên vận tốc của vật v = 0

c) Vận tốc cực đại của vật là: $v_{max}=\frac{a_{max}}{\omega}=\frac{0,48}{\pi}=0,153 m/s$

Động năng cực đại của vật là: $W_{đmax}=\frac{1}{2}mv^{2}=\frac{1}{2}.0,15.0,153^{2}=1,8.10^{-3} J$

d) Tại thời điểm t = 2,0s vật có gia tốc a = -amax do đó vật đang ở vị trí biên dương x = A = 0,049 m

Thế năng của vật tại thời điểm đó là: $W_{t}=W_{tmax}=W_{đmax}=1,8.10^{-3} J$