TH1: AD $\perp $ BC
Khi đó: AC là cạnh huyền, AD là cạnh góc vuông
Nên: AD < AC.
TH2: AD không vuông góc với BC.
Trong 2 góc bù nhau ADB và ADC có 1 góc tù (Hình 9.12): Tam giác ADB là tam giác tù
Cạnh AB đối diện với góc tù ADB nên AD < AB = AC (mối liên hệ giữa cạnh và góc trong tam giác)
Ngược lại, chứng minh tương tự khi tam giác ADC là tam giác tù: AD < AC
Vậy ta luôn có AD < AC (1)
Xét tam giác ACE có góc ACE là góc tù (bù với góc nhọn ACB)
Nên AE > AC (mối liên hệ giữa cạnh và góc trong tam giác) (2)
Từ (1) và (2) suy ra AD < AC < AE.