Giải sách bài tập Toán học 11 Tập 1 Chân trời Bài 1: Giá trị của góc lượng giác

Bài 1: Đổi số đo của các góc sau đây sang radian:

a) $15^{o}$

b) $65^{o}$

c) $-105^{o}$

d) $(\frac{-5}{\pi})^{o}$

Hướng dẫn trả lời:

a) $15^{o}=\frac{15\pi}{180}=\frac{\pi}{12}$

b) $65^{o}=\frac{65\pi}{180}=\frac{13\pi}{36}$

c) $-105^{o}=-\frac{105\pi}{180}=-\frac{7\pi}{12}$

d) $(-\frac{5}{\pi})=\frac{(-\frac{5}{\pi})\pi}{180}=-\frac{5}{180}=-\frac{1}{36}$

Bài 2: Đổi số đo của các góc sau đây sang độ:

a) 6

b) $\frac{4\pi}{15}$

c) $\frac{-19\pi}{8}$
d) $\frac{5}{3}$

Hướng dẫn trả lời:

a) 6 rad = $(6.\frac{180}{\pi})^{o}=343,77^{o}$
b) $\frac{4\pi}{15}$ rad = $(\frac{4\pi}{15}.\frac{180}{\pi})^{o}=48^{o}$

c) $\frac{-19\pi}{8}$ rad = $(-\frac{19\pi}{8}.\frac{180}{\pi})^{o}=-427,5^{o}$

d) $\frac{5}{3}$ rad = $(\frac{5}{3}.\frac{180}{\pi})^{o}=95,49^{o}$
Bài 3: Xác định số đo của các góc lượng giác được biểu diễn trong mỗi hình dưới đây. Biết trong các Hình 4a, b, c có $\widehat{AOB}=\frac{\pi}{4}$; trong các hình 4d, e, g có $\widehat{CID}=82^{o}$

Hướng dẫn trả lời:

a) Số đo góc lượng giác (OA, OB) trong Hình 4a là: $\frac{\pi}{4}+2\pi=\frac{9\pi}{4}$

b) Số đo góc lượng giác (OA, OB) trong Hình 4b là: $\frac{\pi}{4}-2\pi=-\frac{7\pi}{4}$

c) Số đo góc lượng giác (OA, OB) trong Hình 4c là: $\frac{\pi}{4}-2.2\pi=-\frac{15\pi}{4}$

d) Số đo góc lượng giác (IC, ID) trong Hình 4d là: $82^{o}$

e) Số đo góc lượng giác (IC, ID) trong Hình 4e là: $-82^{o}-360^{o}=-442^{o}$

g) Số đo góc lượng giác (IC, ID) trong Hình 4g là: $-82^{o}+360^{o}.3=998^{o}$

Bài 4: Hãy tìm số đo $\alpha$ của góc lượng giác (Om, On), với $\pi \leq \alpha < \pi$, biết một góc lượng giác cùng tia đầu Om và tia cuối On có số đo là:

a) $\frac{36\pi}{5}$
b) $\frac{-75\pi}{14}$

c) $\frac{39\pi}{8}$
d) $2023\pi$

Hướng dẫn trả lời:

a) Số đo $\alpha$ của các góc lượng giác bất kì có cùng tia đầu Om và tia cuối On sai khác nhau một bội nguyên của $2\pi$ nên có dạng là $\alpha =\frac{36\pi}{5}+k2\pi (k \in \mathbb{Z})$

Ta có  $-\pi \leq \alpha < \pi$, suy ra $-\frac{41\pi}{5} \leq k2\pi < \pi-\frac{36\pi}{5}$, suy ra $-\frac{41}{10} \leq k < -\frac{31}{10}$

Vì $k \in \mathbb{Z}$ nên k = ‒4.

Vậy $\alpha =\frac{36\pi}{5}+(-4).2\pi =-\frac{-4\pi}{5}$

b) Số đo $\alpha$ của các góc lượng giác bất kì có cùng tia đầu Om và tia cuối On sai khác nhau một bội nguyên của $2\pi$ nên có dạng là $\alpha =-\frac{75\pi}{14}+k2\pi (k \in \mathbb{Z})$

Ta có  $-\pi \leq \alpha < \pi$, suy ra $-\pi +\frac{75\pi}{14} \leq k2\pi < \pi +\frac{75\pi}{14}$, suy ra $\frac{61}{28} \leq k <\frac{89}{28}$

Vì $k \in \mathbb{Z}$ nên k = 3.

Vậy $\alpha =-\frac{75\pi}{14}+3.2\pi=\frac{9\pi}{14}$

c) Số đo $\alpha$ của các góc lượng giác bất kì có cùng tia đầu Om và tia cuối On sai khác nhau một bội nguyên của $2\pi$ nên có dạng là $\alpha =\frac{39\pi}{8}+k2\pi (k \in \mathbb{Z})$

Ta có  $-\pi \leq \alpha < \pi$, suy ra $-\frac{47\pi}{8} \leq k2\pi < \pi-\frac{31\pi}{8}$, suy ra $-\frac{47}{16} \leq k < -\frac{31}{16}$

Vì $k\in \mathbb{Z}$ nên k = ‒2.

Vậy $\alpha =\frac{39\pi}{8} + (-2).2\pi =\frac{7\pi}{8}$

d) Số đo $\alpha$ của các góc lượng giác bất kì có cùng tia đầu Om và tia cuối On sai khác nhau một bội nguyên của $2\pi$ nên có dạng là $\alpha =2023\pi + k2\pi (k \in \mathbb{Z})$

Ta có  $\pi \leq \alpha < \pi$, suy ra $-2024\pi \leq k2\pi < -2022\pi$, suy ra $-1012\pi \leq k < -1011$

$k \in \mathbb{Z}$ nên k = ‒1012.

Vậy $\alpha =2023\pi + (-1012).2\pi =-\pi$

Bài 5: Cho một góc lượng giác có số đo là $375^{o}$

a) Tìm số lớn nhất trong các số đo của góc lượng giác cùng tia đầu, tia cuối với góc đó mà có số đo âm;

b) Tìm số nhỏ nhất trong các số đo của góc lượng giác cùng tia đầu, tia cuối với góc đó mà có số đo dương.

Hướng dẫn trả lời:

Góc lượng giác cùng tia đầu, tia cuối với góc có số đo là $375^{o}$ là $375^{o}+ k360^{o} (k \in \mathbb{Z})$

a) Góc này có số đo âm nên $375^{o}+k360^{o} < 0^{o}$ do đó $k<\frac{-375}{360}=-\frac{25}{24}$

Mà $k\in \mathbb{Z}$ và góc này có số đo âm lớn nhất nên k = −2

Khi đó góc cần tìm có số đo là $375^{o}+(-2).360^{o}=345^{o}$

b) Góc này có số đo dương nên $375^{o}+k360^{o}>0^{o}$, do đó $k <\frac{-375}{360}=\frac{-25}{24}$

Mà $k\in \mathbb{Z}$ và góc này có số đo dương nhỏ nhất nên k = −1

Khi đó góc cần tìm có số đo là $375^{o}+(-1).360^{o}=15^{o}$

Bài 6: Viết công thức tổng quát của số đo góc lượng giác (Om, On) dưới dạng $a^{o} + k360^{o} (k \in \mathbb{Z})$, với $0 \leq a < 360^{o}$, biết một góc lượng giác với tia đầu Om, tia cuối On có số đo:

a) $1935^{o}$

b) $-450^{o}$
c) $-1440^{o}$
d) $754,5^{o}$

Hướng dẫn trả lời:

a) Ta có $1935^{o}=135^{o}+5.360^{o}$ nên công thức tồng quát của số đo góc lượng giác (Om, On) là $(Om, On) = 135^{o} + k360^{o} (k \in \mathbb{Z})$.

b) Ta có $-450^{o} = 270^{o}- 2.360^{o}$ nên công thức tồng quát của số đo góc lượng giác (Om, On) là $(Om, On) = 270^{o} +k360^{o} (k \in \mathbb{Z})$.

c) Ta có $-1440^{o}= -4.360^{o}$ nên công thức tổng quát của số đo góc lượng giác (Om, On) là $(Om, On) =k360^{o} (k \in \mathbb{Z})$.

d) Ta có $754,5^{o}= 34,5^{o}+ 2.360^{o}$ nên công thức tổng quát của số đo góc lượng giác (Om, On) là $(Om, On) = 34,5^{o}+k360^{o}(k\in \mathbb{Z})$.

Bài 7: Biểu diễn các góc sau trên đường tròn lượng giác:

a) $-1965^{o}$

b) $\frac{48\pi}{5}$

Hướng dẫn trả lời:

a) Ta có $-1965^{o}=-165^{o} + (-5).360^{o}$. Vậy điểm biểu diễn góc lượng giác có số đo $-1965^{o}$ là điểm M trên đường tròn lượng giác thuộc góc phần tư thứ III sao cho $\widehat{AOM}=165^{o}$ như Hình 1.

b) Ta có $\frac{48\pi}{5}=-\frac{2\pi}{5}+10\pi$. Vậy điểm biểu diễn góc lượng giác có số đo $\frac{48\pi}{5}$ là điểm N trên đường tròn lượng giác thuộc góc phần tư thứ III sao cho $\widehat{AON}=\frac{2\pi}{5}$ như Hình 2

Bài 8: 

a) Góc lượng giác $-245^{o}$ có cùng điểm biểu diễn trên đường tròn lượng giác với góc lượng giác nào sau đây?

$-605^{o}; -65^{o}; 115^{o}; 205^{o}; 475^{o}$.

b) Góc lượng giác $\frac{24\pi}{5}$ có cùng điểm biểu diễn trên đường tròn lượng giác với góc lượng giác nào sau đây?

$-\frac{16\pi}{5};\frac{-\pi}{5};\frac{14\pi}{5};\frac{29\pi}{5};\frac{53\pi}{10}$

Hướng dẫn trả lời:

a) Hiệu số đo của góc lượng giác $-245^{o}$ với góc lượng giác $-605^{o};-65^{o};115^{o};205^{o};475^{o}$ là:

$-245^{o} -(-605^{o}) = 360^{o}$;

$-245^{o}- (-65^{o}) = -180^{o}$;

$-245^{o}-115^{o}=-360^{o}$;

$245^{o}- 205^{o}= -450^{o}$;

$-245^{o}-475^{o}=-720^{o}= 2.360^{o}$

Vậy góc lượng giác $-245^{o}$ có cùng điểm biểu diễn trên đường tròn lượng giác với góc lượng giác là: $-605^{o}; 115^{o}; 475^{o}$

b) Hiệu số đo của góc lượng giác $\frac{24\pi}{5}$ với góc lượng giác $\frac{-16\pi}{5};\frac{-\pi}{5};\frac{14\pi}{5}; \frac{29\pi}{5}; \frac{53\pi}{10}$ là:

$\frac{24\pi}{5}-(-\frac{16\pi}{5})=\frac{24\pi}{5}+\frac{16\pi}{5}=8\pi=4.2\pi$

$\frac{24\pi}{5}-(-\frac{\pi}{5})=\frac{24\pi}{5}+\frac{\pi}{5}=5\pi=2.2\pi+\pi$

$\frac{24\pi}{5}-\frac{14\pi}{5}=2\pi$;

$\frac{24\pi}{5}-(\frac{29\pi}{5})=−\pi$;

$\frac{24\pi}{5}-\frac{53\pi}{10}=\frac{48\pi}{10}-\frac{53\pi}{10}=-\frac{\pi}{2}$

Vậy góc lượng giác $\frac{24\pi}{5}$ có cùng điểm biểu diễn trên đường tròn lượng giác với góc lượng giác là: $-\frac{16\pi}{5};\frac{14\pi}{5}$.

Bài 9: Trên đường tròn lượng giác, hãy biểu diễn các góc lượng giác có số đo có dạng là:

a) $\frac{\pi}{6}+k\pi (k \in \mathbb{Z})$

b) $\frac{\pi}{4} +k\frac{\pi}{2} (k \in \mathbb{Z})$

Hướng dẫn trả lời:

a) Trên đường tròn lượng giác, các góc có số đo $\frac{\pi}{6}+k\pi (k\in\mathbb{Z})$ được biểu diễn bới hai điểm M và N như Hình 3.

b) Trên đường tròn lượng giác, các góc có số đo $\frac{\pi}{4}+k\frac{\pi}{2} (k \in \mathbb{Z})$ được biễu diễn bởi bốn điểm M, N, P, Q như Hình 4.

Bài 10: Trong hình bên, các điểm M, A’, N tạo thành ba đỉnh của một tam giác đều. Vị trí các điểm M, A’, N trên đường tròn lượng giác có thể được biểu diễn cho góc lượng giác nào sau đây?

$\frac{\pi}{3}+k\frac{2\pi}{3} (k \in \mathbb{Z});-\pi +k\frac{2\pi}{3} (k \in \mathbb{Z}) ;-\frac{\pi}{3}+k\frac{\pi}{3} (k \in \mathbb{Z})$

Hướng dẫn trả lời:

Điểm M trên đường tròn lượng giác biểu diễn cho góc lượng giác có số đo: $\frac{\pi}{3}+k\frac{2\pi}{3} (k \in \mathbb{Z})$

Điểm A’ trên đường tròn lượng giác biểu diễn cho góc lượng giác có số đo: $-\pi+k\frac{2\pi}{3} (k \in \mathbb{Z})$

Điểm N trên đường tròn lượng giác biểu diễn cho góc lượng giác có số đo: $-\frac{\pi}{3}+k\frac{\pi}{3} (k \in \mathbb{Z})$

Câu 11: Cho ba điểm M, N, P lần lượt là các điểm biểu diễn trên đường tròn lượng giác của các góc lượng giác có số đo $k2\pi; \frac{\pi}{2}+k2\pi; \pi +k2\pi (k \in \mathbb{Z})$. Tam giác MNP là tam giác gì?

Hướng dẫn trả lời:

Dễ thấy M(1; 0), N(0; 1) và P(-1; 0).

Suy ra MN = NP = $\sqrt{2}$, MP = 2.

Do đó MNP là tam giác vuông cân tại N.

Câu 12: Một chiếc quạt trần năm cánh quay với tốc độ 175 vòng trong một phút. Chọn chiều quay của quạt là chiều dương.

a) Sau 5 giây cánh quạt quay được một góc có số đo bao nhiêu radian?

b) Sau thời gian bao lâu cánh quạt quay được một góc có số đo $42\pi$?

Hướng dẫn trả lời:

a) Sau 1 giây, cánh quạt quay được $\frac{175}{60}=\frac{35}{12}$ (vòng) theo chiều dương. Suy ra sau 1 giây, cánh quạt quay được một góc có số đo là $\frac{35}{12}.2\pi=\frac{35\pi}{6}$

Vậy sau 5 giây, cánh quạt quay được một góc có số đo là $\frac{35\pi}{6}.5=\frac{175\pi}{6}$

b) Thời gian để cánh quạt quay được một góc có số đo $42\pi$ là:

$42\pi : \frac{35\pi}{6}=7,2$ (giây).

Câu 13: Trong chặng đua nước rút, bánh xe của một vận động viên đua xe đạp quay được 30 vòng trong 8 giây. Chọn chiều quay của bánh xe là chiều dương. Xét van V của bánh xe.

a) Sau 1 phút, van V đó quay được một góc có số đo là bao nhiêu radian?

b) Biết rằng bán kính của bánh xe là 35 cm. Độ dài quãng đường mà vận động viên đua xe đạp đã đi được trong một phút là bao nhiêu mét?

Hướng dẫn trả lời:

a) Sau 1 giây, van V của bánh xe quay được $\frac{30}{8}=3,75$ (vòng).

Sau 1 phút, van V của bánh xe quay được 3,75.60 = 225 (vòng).

Suy ra sau 1 phút, van V của bánh xe quay được một góc có số đo là $225.2\pi = 450\pi$.

b) Mỗi góc ở tâm với số đo I rad chắn một cung có độ dài bằng bán kính bánh xe r = 0,35m. Do đó độ dài quãng đường mà vận động viên đua xe đạp đã đi được trong 1 phút là: $450\pi .0,35 \approx 494,8$ (m).