Giải sách bài tập Toán học 11 Tập 1 Chân trời Bài 2: Cấp số cộng

Bài 1: Trong các dãy số $(u_{n})$ cho bởi số hạng tổng quát un sau, dãy số nào là cấp số cộng? Tìm số hạng đầu và công sai của nó.

a) $u_{n} = 2n + 3$;

b) $u_{n} = -3n + 1$;

c) $u_{n} = n^{2} + 1$;

d) $u_{n}=\frac{2}{n}$

Hướng dẫn trả lời:

a) Ta có: $u_{1} = 2.1 + 3 = 5; u_{n} = 2n + 3$ và $u_{n+1} = 2(n + 1) +3 = 2n + 5$

Do đó $u_{n+1}- u_{n} = 2n + 5 - (2n + 3) = 2$.

Vậy $u_{n} = 2n + 3$ là cấp số cộng với số hạng đầu $u_{1} = 5$ và công sai d = 2.

b) Ta có: $u_{1} = -3.1 + 1 = -2; u_{n} = -3n + 1$ và $u_{n+1} = -3(n+1)+1=-3n- 2$.

Do đó $u_{n+1}- u_{n} = -3n - 2 - (-3n + 1) = -3$.

Vậy $u_{n}=-3n+1$ là cấp số cộng với số hạng đầu $u_{1} = -2$ và công sai $d=-3$.

c) Xét $u_{n} = n^{2} + 1$ có:

$u_{1} = 1^{2} + 1 = 2$;

$u_{2} = 2^{2} + 1 = 5$;

$u_{3} = 3^{2} + 1 = 10$

Ta thấy: $u_{2}- u_{1} \neq u_{3}- u_{2}$

Vậy $u_{n} = n^{2} + 1$ không phải là cấp số cộng.

d) Xét $u_{n}=\frac{2}{n}$ có:

$u_{1}=\frac{2}{1}=2; u_{2}=\frac{2}{2}=1;u_{3}=\frac{2}{3}$

Ta thấy: $u_{2}-u_{1} \neq  u_{3}- u_{2}$

Vậy $u_{n}=\frac{2}{n}$ không phải là cấp số cộng

Bài 2: Trong các dãy số $(u_{n})$ cho bởi số hạng tổng quát $u_{n}$ sau, dãy số nào là cấp số cộng? Tìm số hạng đầu và công sai của nó.

a) $u_{n} = 3n + 1$;

b) $u_{n} = 4- 5n$;

c) $u_{n}=\frac{2n+3}{5}$;

d) $u_{n}=\frac{n+1}{n}$;

e) $u_{n}=\frac{n}{2^{n}}$;

g) $u_{n} = n^{2} + 1$.

Hướng dẫn trả lời:

a) Ta có: $u_{1} = 3.1 + 1 = 4; u_{n} = 3n + 1$ và $u_{n+1} = 3(n + 1) + 1 = 3n + 4$.

Do đó $u_{n+1}-u_{n} = 3n + 4 - (3n + 1) = 3$.

Vậy $u_{n} = 3n + 1$ là cấp số cộng với số hạng đầu $u_{1} = 4$ và công sai d = 3.

b) Ta có: $u_{1} = 4-5.1 = -1; u_{n} = 4-5n$ và $u_{n+1}=4-5(n + 1) = -1- 5n$.

Do đó $u_{n+1}- u_{n} =-1 - 5n - (4 - 5n) = -5$.

Vậy $u_{n} = 4 - 5n$ là cấp số cộng với số hạng đầu $u_{1} = -1$ và công sai d = ‒5.

c) Ta có $u_{1}=\frac{2.1+3}{5}=1; u_{n}=\frac{2n+3}{5}$ và $u_{n+1}=\frac{2(n+1)+3}{5}=\frac{2n+5}{5}$

Do đó $u_{n+1}-u_{n}=\frac{2n+5}{5}-\frac{2n+3}{5}=\frac{2}{5}$

Vậy $u_{n}=\frac{2n+3}{5}$ là cấp số cộng với số hạng đầu $u_{1}= 1$ và công sai $d=\frac{2}{5}$

d) Xét $u_{n}=\frac{n+1}{n}$ có: $u_{1}=\frac{1+1}{1}=2; u_{2}=\frac{2+1}{2}=\frac{3}{2}; u_{3}=\frac{3+1}{3}=\frac{4}{3}$;

Ta thấy: $u_{2}-u_{1} \neq u_{3}- u_{2}$

Vậy $u_{n}=\frac{n+1}{n}$ không phải là cấp số cộng.

e) Xét $u_{n}=\frac{n}{2^{n}}$ có: $u_{1}=\frac{1}{2^{1}}=\frac{1}{2}; u_{2}=\frac{2}{2^{2}}=\frac{1}{2}; u_{3}=\frac{3}{2^{3}}=\frac{1}{8}$

Ta thấy: $u_{2}-u_{1} \neq u_{3}-u_{2}$

Vậy $u_{n}=\frac{n}{2^{n}}$ không phải là cấp số cộng.

g) Xét $u_{n} = n^{2} + 1$ có $u_{1} = 1^{2} + 1 =2; u_{2} = 2^{2} + 1 = 5; u_{3} = 3^{2} + 1 = 10$.

Ta thấy: $u_{2}-u_{1}\neq u_{3}- u_{2}$

Vậy $u_{n} = n^{2} + 1$ không phải là cấp số cộng.

Bài 3: Cho cấp số cộng $(u_{n})$ có số hạng tổng quát: $u_{n} = 7n – 3$.

a) Tìm số hạng đầu và công sai của cấp số cộng $(u_{n})$.

b) Tìm $u_{2012}$.

c) Tính tổng của 100 số hạng đầu tiên của cấp số cộng $(u_{n})$.

d) Số 1208 là số hạng thứ bao nhiêu của cấp số cộng $(u_{n})$?

Hướng dẫn trả lời:

a) Ta có: $u_{1} = 7.1 - 3 = 4; u_{2}= 7.2 - 3 = 11$.

Vậy cấp số cộng $(u_{n})$ có số hạng đầu $u_{1}=4$ và công sai $d=u_{2}-u_{1}= 11 - 4 = 7$.

b) $u_{2012}=7.2012-3 = 14081$.

c) $u_{100}= 7.100 - 3 = 697$.

$S_{100}=\frac{100(u_{1}+u_{100})}{2}=\frac{100(4+697)}{2}=35050$

d) Ta có $u_{n} = 1208$

Do đó 7n ‒ 3 = 1208

Suy ra n = 173

Vậy số 1208 là số hạng thứ 173

Bài 4: Cho cấp số cộng $(u_{n})$, biết $u_{1} = 5$ và d = 3.

a) Tìm số hạng tổng quát của cấp số cộng $(u_{n})$.

b) Tìm $u_{99}$.

c) Số 1502 là số hạng thứ bao nhiêu của cấp số cộng $(u_{n})$?

d) Cho biết $S_{n} = 34275$. Tìm n.

Hướng dẫn trả lời:

a) Số hạng tổng quát của cấp số cộng $(u_{n})$ là:

$u_{n} = u_{1} + (n-1)d = 5 + (n-1).3 = 3n + 2$.

b) Ta có $u_{99} = 3.99 + 2 = 299$.

c) Ta có: $u_{n} = 1 502$ nên 3n + 2 = 1502, suy ra n = 500.

Vậy số 1502 là số hạng thứ 500 .

d) $S_{n}=34275=\frac{n[2u_{1}+(n-1)d]}{2}=\frac{n[2.5+(n-1)3]}{2}$

Suy ra $n(10 + 3n - 3) = 2.34 275$

Hay $3n^{2} + 7n - 68 550 = 0$

Suy ra $n=150$ hoặc $n=-\frac{457}{2}$

Mà $n \geq 2$ nên n = 150.

Bài 5: Cho cấp số cộng $(u_{n})$ có $u_{18}-u_{3} = 75$. Tìm công sai d.

Hướng dẫn trả lời:

Ta có:

$u_{18} = u_{1} + 17d$;

$u_{3} = u_{1}+ 2d$.

Do đó:

$u_{18}-u_{3} = 75$

$\Leftrightarrow  u_{1} + 17d-(u_{1} + 2d) = 75$

$\Leftrightarrow 15d = 75$

$\Leftrightarrow d = 5.$

Vậy cấp số cộng $(u_{n})$ có công sai d = 5.

Bài 6: Cho cấp số cộng $(u_{n})$ có $u_{4} + u_{12} = 90$. Tìm $S_{15}$.

Hướng dẫn trả lời:

Gọi số hạng đầu của cấp số nhân là $u_{1}$ và công sai là d.

Ta có:

$u_{4} = u_{1} + 3d$;

$u_{12} = u_{1} + 11d$.

Do đó: $u_{4} + u_{12}= 90$

$\Leftrightarrow u_{1} + 3d + u_{1} + 11d = 90$

$\Leftrightarrow 2u_{1} + 14d = 90$.

Khi đó $S_{15}=\frac{15[2u_{1}+(15-1)d]}{2}=\frac{15(2u_{1}+14d)}{2}=\frac{15.90}{2}=675$.

Bài 7: Xác định số hạng đầu và công sai của cấp số cộng $(u_{n})$, biết:

a) $\left\{\begin{matrix}u_{1}+u_{6}=18\\u_{3}+u_{7}=22\end{matrix}\right.$.

b) $\left\{\begin{matrix}u_{9}-u_{4}=15\\u_{3}.u_{8}=184\end{matrix}\right.$.

c) $\left\{\begin{matrix}u_{6}=8\\u_{2}^{2}+u_{4}^{2}=16\end{matrix}\right.$.

Hướng dẫn trả lời:

Gọi số hạng đầu của cấp số nhân là $u_{1}$ và công sai là d.

a) $\left\{\begin{matrix}u_{1}+u_{6}=18\\u_{3}+u_{7}=22\end{matrix}\right.$.

$\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}u_{1}+u_{1}+5d=18\\u_{1}+2d+u_{1}+6d=22\end{matrix}\right.$

$\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}2u_{1}+5d=18\\2u_{1}+8d=22\end{matrix}\right.$

$\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}u_{1}=\frac{17}{3}\\d=\frac{4}{3}\end{matrix}\right.$

Vậy $u_{1}=\frac{17}{3}$ và $d=\frac{4}{3}$

b) $ \left\{\begin{matrix}u_{9}-u_{4}=15\\u_{3}.u_{8}=184\end{matrix}\right.$

$\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}u_{1}+8d-(u_{1}+3d)=15\\(u_{1}+2d)(u_{1}+7d)=184\end{matrix}\right.$

$\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}5d=15\\(u_{1}+2d)(u_{1}+7d)=184\end{matrix}\right.$

$\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}d=3\\(u_{1}+2d)(u_{1}+7d)=184\end{matrix}\right.$

Với d = 3 ta có: $(u_{1} + 2.3)(u_{1} + 7.3) = 184$

$\Leftrightarrow u^{2}_{1}+27u_{1}-58=0$

$\Leftrightarrow u_{1}=2$ hoặc $u_{1}=-29$

Vậy $d=3,u_{1}=2$ hoặc $d=3,u_{1}=-29$

c) $\left\{\begin{matrix}u_{6}=8\\u_{2}^{2}+u_{4}^{2}=16\end{matrix}\right.$.

$\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}u_{1}+5d=8\\(u_{1}+d)^{2}+(u_{1}+3d)^{2}=16\end{matrix}\right.$ (*)

Từ $u_{1} + 5d = 8$ suy ra $u_{1} = 8 - 5d$, thay vào biểu thức (*) ta có:

$(8-5d + d)^{2} + (8-5d + 3d)^{2} = 16$

$\Leftrightarrow (8 - 4d)^{2} + (8 - 2d)^{2} = 16$

$\Leftrightarrow (64 - 64d + 16d^{2}) + (64-32d + 4d^{2}) = 16$

$\Leftrightarrow 20d^{2}-96d + 112 = 0$

$\Leftrightarrow d=2$ hoặc $d=\frac{14}{5}$

Với d = 2 thì $u_{1} = 8-5.2 = -2$

Với $d=\frac{14}{5}$ thì $u_{1}=8-5.\frac{14}{5}=-6$

Vậy $u_{1}=-2, d=2$ hoặc $u_{1}=-6;d=\frac{14}{5}$.

Bài 8: Bác Tư vào làm cho một công ty với hợp đồng về tiền lương mỗi năm như sau:

⦁ Năm thứ nhất: 240 triệu;

⦁ Từ năm thứ hai trở đi: Mỗi năm tăng thêm 12 triệu.

Tính số tiền lương một năm của bác Tư vào năm thứ 11 .

Hướng dẫn trả lời:

Gọi $u_{n}$ là số tiền lương của bác Tư nhận được vào năm thứ n.

Khi đó, dãy số $(u_{n})$ tạo thành cấp số cộng có $u_{1} = 240$ và d = 12.

Ta có $u_{11} = u_{1} + 10d = 240 + 10.12 = 360$.

Vậy vào năm thứ 11, số tiền lương một năm của bác Tư là 360 triệu đồng.

Bài 9: Một rạp hát có 20 hàng ghế. Hàng thứ nhất có 20 ghế, số ghế ở các hàng sau đều hơn số ghế hàng ngay trước đó một ghế. Cho biết rạp hát đã bán hết vé với giá mỗi vé là 60 nghìn đồng. Tính tổng số tiền vé thu được của rạp hát.

Hướng dẫn trả lời:

Gọi $u_{n}$ là số ghế ở hàng thứ n.

Khi đó, dãy số $(u_{n})$ tạo thành cấp số cộng với $u_{1} = 20$ và d = 1.

Tổng số ghế có trong rạp hát là: $S_{20}=\frac{20.[2.20+(20-1).1]}{2}=590$ (ghế).

Tổng số tiền vé thu được là: $590 . 60 000 = 35 400 000$ (đồng).