a) Thay tọa độ điểm A và B vào hàm số ta có hệ phương trình:
$\left\{\begin{matrix}0=a.1^{2}+b.1+1\\ 4=a.2^{2}+b.2+1\end{matrix}\right.\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}a=\frac{5}{2}\\b=\frac{-7}{2}\end{matrix}\right.$
Vậy parabol $y=\frac{5}{2}x^{2}+\frac{-7}{2}x+1$
b) đồ thị có trục đối xứng x = 1
=> $\frac{-b}{2a}=1$
thay tọa độ của A vào hàm số: $0=a.1^{2}+b.1+1$
Ta có hệ phương trình:
$\left\{\begin{matrix}0=a.1^{2}+b.1+1\\ 0=2.a +b\end{matrix}\right.\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}a=1\\ b=-2\end{matrix}\right.$
c) Có đỉnh I(1; 2) => $\frac{-b}{2a}=1$
Thay tọa độ của I vào hàm số: $2=a.1^{2}+b.1+1$
Ta có hệ phương trình:
$\left\{\begin{matrix}2=a.1^{2}+b.1+1\\ 0=2.a +b\end{matrix}\right.\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}a=-1\\ b=2\end{matrix}\right.$
d) Điểm đỉnh của parabol có tọa độ $I(\frac{-b}{2a};-0,25)$, thay tọa độ vào hàm số có:
$-0,25=a.\left ( \frac{-b}{2a} \right )^{2}+b.\left ( \frac{-b}{2a} \right )+1\\\Leftrightarrow -0,25=\frac{b^{2}}{4a}-\frac{b^{2}}{2a}+1\\\Leftrightarrow \frac{b^{2}}{a}=5\\\Leftrightarrow b^{2}=5a$
Thay tọa độ của A vào hàm số: $6=a.1^{2}-b.1+1$
Ta có hệ phương trình:
$\left\{\begin{matrix}6=a.1^{2}-b.1+1\\ b^{2}=5a\end{matrix}\right.$
Suy ra: $b=\frac{5\sqrt{5}+5}{2}, a = \frac{25\sqrt{5}+75}{10}$
Hoặc $b=\frac{-5\sqrt{5}+5}{2}, a = \frac{-25\sqrt{5}+75}{10}$