Giải chi tiết chuyên đề Toán 11 chân trời mới bài 1 Đồ thị

1. ĐỒ THỊ 

Khám phá 1: Sử dụng sơ đồ ở Hình 1 để trả lời các câu hỏi dưới đây:

a) Từ thành phố A, hãng X có bao nhiêu đường bay đến năm thành phố còn lại?

b) Giữa sáu thành phố trên, có tất cả bao nhiêu đường bay của hãng X?

c) Có thể giải đáp thắc mắc ở Hoạt động khởi động không?

Hướng dẫn trả lời:

a) Từ thành phố A, hãng X có 5 đường bay đến năm thành phố còn lại.

b) Giữa sáu thành phố trên, có tất cả 12 đường bay của hãng X.

c) Từ thành phố A, có thể đến thăm năm thành phố B, C, D, E và F bằng các chuyến bay của hãng X sao cho mỗi thành phố chỉ đi qua đúng một lần, rồi quay trở về A. Nên dùng sơ đồ ở Hình 1 thay vì Bảng 1 vì Hình 1 có đường bay của hãng X dễ nhìn hơn.

Thực hành 1: Cho đồ thị G như Hình 5.

a) Chỉ ra các đỉnh, các cạnh, số đỉnh, số cạnh của G.

b) Chỉ ra các đỉnh kề đỉnh D, các đỉnh kề đỉnh B.

c) Đồ thị G có đỉnh cô lập không?

Hướng dẫn trả lời:

a) Các đỉnh: A, B, C, D, E, F; các cạnh: AC, AD, AE, $BC_{1},BC_{2},BC_{3}$, BD, CF, CD, DE; 5 đỉnh và 10 cạnh.

b) Các đỉnh kề đỉnh D là A, D, C, E; các đỉnh kề đỉnh B là đỉnh D. 

c) Đồ thị G không có đỉnh cô lập.

Vận dụng 1: Một mạng cục bộ có bảy máy tính 1; 2; 3; 4; 5; 6 và 7. Bảng 2 cho biết giữa mỗi cặp máy tính có kết nối trực tiếp với nhau hay không (dấu V là có kết nối, dấu X là không kết nối). Hãy vẽ đồ thị biểu diễn sự kết nối giữa các máy tính của mạng này.

Hướng dẫn trả lời:

2. BẬC CỦA ĐỈNH

Khám phá 2: Đồ thị ở Hình 6 biểu diễn năm ngôi làng A, B, C, D và E cùng các con đường giữa chúng (mỗi cạnh biểu diễn một con đường giữa hai ngôi làng). Biết rằng mỗi con đường ra, vào làng đều phải đi qua một cổng chào; hai con đường khác nhau thì ra, vào làng qua hai cổng chào khác nhau. Ngoài ra, các ngôi làng không còn cổng chào nào khác.

a) Ngôi làng nào có ít cổng chào nhất? Ngôi làng nào có nhiều cổng chào nhất?

b) Năm ngôi làng có tất cả bao nhiêu cổng chào?

Hướng dẫn trả lời:

a) Ngôi làng có ít cổng chào nhất là làng C; ngôi làng có nhiều cổng chào nhất là làng B.

b) Năm ngôi làng có tất cả 8 cổng chào.

Thực hành 2: Cho đồ thị như Hình 11.

a) Hãy chỉ ra bậc của tất cả các đỉnh và tìm tổng của chúng.

b) Tìm tất cả các đỉnh kề với đỉnh B. Số đỉnh này có bằng bậc của đỉnh B không?

Hướng dẫn trả lời:

a) d(A) = 4, d(B) = 4, d(C) = 5, d(D) = 4, d(E) = 2, d(F) = 1

Tổng bậc của các đỉnh bằng: 4 + 4 + 5 + 4 + 2 + 1 = 20

b) Các đỉnh kề đỉnh B là A, D. Số đỉnh này nhỏ hơn bậc của đỉnh B.

Vận dụng 2: Có hay không một đồ thị có ba đỉnh, trong đó hai đỉnh có bậc bằng 2 và một đỉnh có bậc bằng 3?

Hướng dẫn trả lời:

Không có đồ thị có ba đỉnh, trong đó hai đỉnh có bậc bằng 2 và một đỉnh có bậc bằng 3.

BÀI TẬP

1. Hãy chỉ ra các đỉnh, các cạnh, số đỉnh, số cạnh của mỗi đồ thị như Hình 12.

Hướng dẫn trả lời:

Hình 12a) có:

- Các đỉnh: A, B, C, D; số đỉnh: 4

- Các cạnh: AB, AC, AD, BC, BD, CD; số cạnh: 6

Hình 12b) có:

- Các đỉnh: A, B, C, D, E, F; số đỉnh: 6

- Các cạnh: m, n, AC, AD, BC, CD, CE, DF, EF; số cạnh: 9

2. Cho đồ thị như Hình 13.

a) Chỉ ra bậc của các đỉnh của đồ thị.

b) Chỉ ra các đỉnh bậc lẻ của đồ thị.

c) Tính tổng tất cả các bậc của các đỉnh của đồ thị.

Hướng dẫn trả lời:

a) d(A) = 2, d(B) = 3, d(C) = 5, d(D) = 5, d(E) = 1, d(F) = 0

b) Các đỉnh bậc lẻ là đỉnh B, C, D, E

c) Tổng các bậc của các đỉnh của đồ thị bằng: 2 + 3 + 5 + 5 + 1 + 0 = 16

3. Một đồ thị có bốn đỉnh có bậc lần lượt là 2; 3; 4; 3. Tính số cạnh của đồ thị và vẽ đồ thị này.

Hướng dẫn trả lời:

Ta có: Tổng các bậc của bốn đỉnh bằng 2 + 3 + 4 + 3 = 12

Suy ra: Số cạnh của đồ thị là 12 : 2 = 6

4. Biết rằng G là đồ thị có 6 đỉnh, 8 cạnh và các đỉnh của nó có bậc 2 hoặc 4. Đồ thị có bao nhiêu đỉnh bậc 4? Hãy vẽ một đồ thị như vậy.

Hướng dẫn trả lời:

Đồ thị có hai đỉnh bậc 4.

5. Có năm học sinh An, Bình, Mai, Quang, Xuân. Biết rằng An quen Bình, Bình quen Quang, An quen Mai, Mai quen Xuân, Xuân quen Quang. Các cặp không được liệt kê ở trên thì không quen nhau. Hãy vẽ đồ thị để thể hiện mối quan hệ quen nhau giữa các học sinh trên.

Hướng dẫn trả lời:

6. Cho tập hợp số V = {2;3;4;5;6;7;11;12}. Hãy vẽ đồ thị có các đỉnh biểu diễn các phần tử của V, hai đỉnh kề nhau nếu hai số mà chúng biểu diễn nguyên tố cùng nhau (tức có ước chung lớn nhất bằng 1).

Hướng dẫn trả lời: