Giải chi tiết chuyên đề Toán 11 chân trời mới bài 6 Phép vị tự

Ta có: $\vec{M'N'}=\vec{ON'}-\vec{OM'}$ mà $\vec{OM'}=k\vec{OM},\vec{ON'}=k\vec{ON}$

Suy ra: $\vec{M'N'}=k\vec{ON}-k\vec{OM}=k(\vec{ON}-\vec{OM})=k\vec{MN}$

Khám phá 3: Gọi A', B' và C' lần lượt là ảnh của ba điểm thẳng hàng A, B, C qua phép vị tự $V_{(0,k)}$ Cho biết $\vec{BA}=m\vec{BC}$, hai vectơ $\vec{B'A'}$ và $m\vec{B'C'}$ có bằng nhau không?

Hướng dẫn trả lời:

Ta có: A', B' và C' lần lượt là ảnh của ba điểm thẳng hàng A, B, C qua phép vị tự $V_{(0,k)}$

Nên $\vec{BA}=k\vec{B'A'}$ và $\vec{BC}=k\vec{B'C'}$

Mà $\vec{BA}=m\vec{BC}$

Suy ra: $k\vec{B'A'}=mk\vec{B'C'}$ ⇒ $\vec{B'A'}=m\vec{B'C'}$

Thực hành 2: Cho tam giác ABC có G, H, O lần lượt là trọng tâm, trực tâm, tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác. Gọi A', B', C' lần lượt là trung điểm các cạnh BC, CA, AB. 

a) Tìm phép vị tự biến tam giác ABC thành tam giác A'B'C'.  

b) Chứng minh ba điểm H, G, O thẳng hàng.

Hướng dẫn trả lời:

a) Ta có: G là trọng tâm tam giác ABC 

Nên: $\vec{GA'}=-\frac{1}{2}\vec{GA},\vec{GB'}=-\frac{1}{2}\vec{GB},\vec{GC'}=-\frac{1}{2}\vec{GC}$

Do đó: Phép vị tự tâm G, tỉ số $k=-\frac{1}{2}$ biến tam giác ABC thành tam giác A'B'C'.

b) Gọi AD là đường kính của đường tròn tâm O

Ta có: $\widehat{DBA}=\widehat{DCA}=90^{o}$ (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)

Tứ giác BHCD có: BH // CD (BH ⊥ AC, CD ⊥ AC)

                              CH // BD (CH ⊥ AB, BD ⊥ AB)

Do đó: BHCD là hình bình hành. Suy ra H, A', D thẳng hàng (giao điểm hai đường chéo hình bình hành là trung điểm mỗi đường)

Ta có: $OA'=\frac{1}{2}AH$ (O là trung điểm AD, A' là trung điểm HD)

Mà $GA'=\frac{1}{2}GA$ (G là trọng tâm tam giác ABC)

      $\widehat{HAG}=\widehat{GA'O}$ (OA' // AH)

Suy ra: Tam giác AHG đồng dạng với tam giác A'OG

Do đó: $widehat{HGA}=\widehat{OGA'}$

Suy ra: H, G, O thẳng hàng.

Khám phá 4: Cho phép vị tự $V_{(0,k)}$ và đường tròn (C) tâm I bán kính r. Xét điểm M thuộc (C), gọi I' và M' là ảnh của I và M qua phép vị tự $V_{(0,k)}$

a) Tính I'M' theo r và k.

b) Khi cho điểm M chạy trên đường tròn (C) thì M' chạy trên đường nào?

Hướng dẫn trả lời:

a) Do IM // I'M' nên $\frac{IM}{I'M'}=\frac{OI}{OI'}$

Suy ra: $I'M'=\frac{IM.OI'}{OI}=\frac{rkOI}{OI}=kr$

b) Khi cho điểm M chạy trên đường tròn (C) thì M' chạy trên đường tròn (I', kr)

Thực hành 3: Vẽ Hình 11 ra giấy kẻ ô li và tìm ảnh của tứ giác ABCD qua phép vị tự $V_{(0,\frac{1}{2})}$

Hướng dẫn trả lời:

A'(-2; -5) là ảnh của A qua phép vị tự $V_{(0,\frac{1}{2})}$

$B'(-\frac{1}{2};-\frac{1}{2})$ là ảnh của B qua phép vị tự $V_{(0,\frac{1}{2})}$

$C'(-5;-\frac{1}{2})$ là ảnh của C qua phép vị tự $V_{(0,\frac{1}{2})}$

$D'(-\frac{13}{2};-2)$ là ảnh của D qua phép vị tự $V_{(0,\frac{1}{2})}$

BÀI TẬP

1. Các phép biến hình sau có phải là phép vị tự không: phép đối xứng tâm, phép đối xứng trục, phép đồng nhất, phép tịnh tiến theo vectơ khác $\vec{0}$?

Hướng dẫn trả lời:

Phép đối xứng tâm là phép vị tự tỉ số k = -1.

Phép đối xứng trục không phải phép vị tự vì các đường thẳng tương ứng không đồng quy tại một điểm.

Phép đồng nhất là phép vị tự với tâm bất kì, tỉ số k = 1.

Phép tịnh tiến theo vectơ khác $\vec{0}$ không phải phép vị tự vì các đường thẳng song song mà không đồng quy, do đó không có tâm vị tự.  

2. Các khẳng định sau đúng hay sai?

a) Phép vị tự luôn có điểm bất động.

b) Phép vị tự không thể có quá một điểm bất động.

c) Nếu phép vị tự có hai điểm bất động phân biệt thì mọi điểm đều bất động

Hướng dẫn trả lời:

a) Đúng. Tâm vị tự là điểm bất động.

b) Sai. Nếu vị tự tỉ số k = 1 thì có mọi điểm đều là điểm bất động.

c) Đúng. Phép vị tự tâm O luôn có một điểm bất động, nếu nó còn điểm bất động nữa là M (tức là ảnh của M' của M trùng với M) thì vì: $\vec{OM}=\vec{OM'}=k\vec{OM}$ nên k = 1.

Vậy phép vị tự đó là phép đồng nhất nên mọi điểm đều bất động. 

3. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho đường tròn (C) có phương trình:

(C): $x^{2}+y^{2}+4x-2y-4=0$

Viết phương trình ảnh của (C)

a) qua phép vị tự tâm O, tỉ số k = 2;

b) qua phép vị tự tâm I(1; 1), tỉ số k = -2.

Hướng dẫn trả lời:

Đường tròn (C) có tâm A(-2; 1), bán kính R = 3

a) Gọi A' là ảnh của A qua phép vị tự tâm O, tỉ số k = 2

Do đó: $\vec{OA'}=2\vec{OA}$

Suy ra: $\left\{\begin{matrix}x_{A'}=2.(-2-0)=-4\\y_{A'} =2.(1-0)=2\end{matrix}\right.\Rightarrow A'(-4;2)$

Vậy đường tròn tâm A'(-4; 2), R = 6 là ảnh của (C) qua phép vị tự tâm O, tỉ số k = 2.

b) Gọi B' là ảnh của A qua phép vị tự tâm I(1; 1), tỉ số k = -2

Do đó: $\vec{IB'}=-2\vec{IA}$

Suy ra: $\left\{\begin{matrix}x_{B'}=-2.(-2-1)=6\\y_{B'} =-2.(1-1)=0\end{matrix}\right.\Rightarrow B'(6;0)$

Vậy đường tròn tâm B'(6; 0), R = 6 là ảnh của (C) qua phép vị tự tâm I(1; 1), tỉ số k = -2.

4. Hãy xác định phép vị tự biến đường tròn (O; R) thành đường tròn (O'; R') (R≠R') trong các trường hợp sau:

a) Hai đường tròn cắt nhau.

b) Hai đường tròn tiếp xúc ngoài.

c) Hai đường tròn tiếp xúc trong.

d) Hai đường tròn đựng nhau.

e) Hai đường tròn ở ngoài nhau.

Hướng dẫn trả lời:

Gọi hai đường tròn lần lượt là (I; R) và (I'; R')

a) Phép vị tự $V_{(O_{1},\frac{R}{R'}}$ biến (I'; R') thành (I; R)

Phép vị tự $V_{(O_{2},-\frac{R}{R'}}$ biến (I'; R') thành (I; R)

b) Phép vị tự $V_{(O_{1},\frac{R}{R'}}$ biến (I'; R') thành (I; R)

Phép vị tự $V_{(O_{2},-\frac{R}{R'}}$ biến (I'; R') thành (I; R)

c) Phép vị tự $V_{(O_{1},\frac{R}{R'}}$ biến (I'; R') thành (I; R)

Phép vị tự $V_{(O_{2},-\frac{R}{R'}}$ biến (I'; R') thành (I; R)

d) Tương tự câu b và c

e) Tương tự các câu trên

5. Cho hai đường tròn (I; R) và (I'; R') (Hình 12) có tâm phân biệt và bán kính khác nhau. Hãy chứng minh có hai phép vị tự biến đường tròn (I; R) thành đường tròn (I'; R').

Hướng dẫn trả lời:

Do $IM//I'M'_{1}$ nên $\frac{IM}{I'M'_{1}}=\frac{O_{1}I}{O_{1}I'}=\frac{R}{R'}$

Suy ra: $\vec{O_{1}I'}=\frac{R'}{R}\vec{O_{1}I}$

Do đó: I' là ảnh của I qua phép vị tự $V_{(O_{1},\frac{R'}{R})}$ (1)

Do $IM//I'M'_{2}$ nên $\frac{IM}{I'M'_{2}}=\frac{O_{2}I}{O_{2}I'}=\frac{R}{R'}$

Suy ra: $\vec{O_{2}I'}=-\frac{R'}{R}\vec{O_{2}I}$

Do đó: I' là ảnh của I qua phép vị tự $V_{(O_{2},-\frac{R'}{R})}$ (2)

(1)(2) suy ra có hai phép vị tự biến đường tròn (I; R) thành đường tròn (I'; R')

6. Cho hình thang ABCD có hai đáy là AB và CD với $CD=\frac{1}{2}AB$ Gọi I là giao điểm của hai đường chéo AC và BD. Tìm phép vị tự biến $\vec{AB}$ thành $\vec{CD}$

Hướng dẫn trả lời:

Ta có: $\vec{DC}=\frac{1}{2}\vec{AB}$

Suy ra: $\vec{IC}=-\frac{1}{2}\vec{IA}$ và $\vec{ID}=-\frac{1}{2}\vec{IB}$

Vậy phép vị tự $V_{(I,-\frac{1}{2})}$ biến $\vec{AB}$ thành $\vec{CD}$

7. Tìm các tỉ số vị tự của phép biến hình được thực hiện trên cây thước vẽ truyền trong Hình 13.

Hướng dẫn trả lời:

Phép vị tự $V_{(O,2)}$ biến tam giác nhỏ thành tam giác lớn hoặc phép vị tự $V_{(O,\frac{1}{2})}$ biến tam giác lớn thành tam giác nhỏ.

8. Trong Hình 14, tìm phép vị tự được dùng để biến bốn tam giác nhỏ thành bốn tam giác lớn.

Hướng dẫn trả lời:

Gọi giao điểm của tất cả các tam giác là O

Ta có: Cạnh tam giác nhỏ = $\frac{2}{3}$ cạnh tam giác lớn.

Suy ra: Phép vị tự $V_{(O;\frac{2}{3})}$ biến tam giác nhỏ thành tam giác lớn.