Giải chi tiết chuyên đề Toán 11 chân trời mới bài 7 Phép đồng dạng

1. ĐỊNH NGHĨA

Khám phá 1: Trong Hình 1, tìm hai phép biến hình để biến tam giác ABC thành tam giác A'B'C'.

Hướng dẫn trả lời:

Phép vị tự $V_{(O,2)}$ biến tam giác ABC thành tam giác $A_{1}B_{1}C_{1}$

Phép đối xứng trục d biến tam giác $A_{1}B_{1}C_{1}$ thành tam giác A'B'C'.

Thực hành 1: Cho trước ba số thực a, b, k. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, xét phép biến hình g biến điểm M(x; y) thành điểm M'(x'; y') thỏa mãn: $\left\{\begin{matrix}x'=kx+a\\y'=ky+b\end{matrix}\right.$. Hãy chứng minh g là một phép đồng dạng. 

Hướng dẫn trả lời:

Gọi M', N' lần lượt là ảnh của M, N qua phép biến hình g

Ta có: $\vec{MN}=(x_{N}-x_{M};y_{N}-y_{M})$

$\vec{M'N'}=(kx_{N}+a-kx_{M}-a;ky_{N}+b-ky_{M}-b)=(k(x_{N}-x_{M});k(y_{N}-y_{M}))$

Do đó: $\vec{M'N'}=k\vec{MN}$ hay M'N' = kMN.

Suy ra: g là một phép đồng dạng. 

Vận dụng 1: Tìm phép đồng dạng biến hình (A) thành hình (C).

Hướng dẫn trả lời:

Phép vị tự $V_{(I,1)}$ biến hình (A) thành hình (B).

Phép quay $Q_{(O,90^{o})}$ biến hình (B) thành hình (C).

Do đó: Có phép đồng dạng biến hình (A) thành hình (B).

2. HAI HÌNH ĐỒNG DẠNG

Thực hành 2: Cho hai hình vuông tùy ý ABCD và A'B'C'D' có giao điểm hai đường chéo lần lượt là O và O' (Hình 4).

a) Gọi $A_{1}B_{1}C_{1}D_{1}$ là ảnh của hình vuông ABCD qua phép tịnh tiến theo vectơ $\vec{OO'}$. Gọi $\varphi$ là góc lượng giác $(O'A_{1},O'A')$. Tìm ảnh $A_{2}B_{2}C_{2}D_{2}$ của hình vuông $A_{1}B_{1}C_{1}D_{1}$ qua phép quay $Q_{(O',\varphi)}$

b) Cho biết $\vec{OA'}=k\vec{OA_{2}}$. Tìm ảnh của hình vuông $A_{2}B_{2}C_{2}D_{2}$ qua phép vị tự $V_{(O,k)}$

c) Từ kết quả của câu a) và b), hãy cho biết ta có thể kết luận là hai hình vuông tùy ý luôn đồng dạng với nhau được không. Giải thích.

Hướng dẫn trả lời:

a) Gọi $A_{2},B_{2},C_{2},D_{2}$ lần lượt là trung điểm của O'A', O'B', O'C', O'D'

Ta có: $\widehat{A_{1}O'A'}=\widehat{B_{1}O'B'}=\widehat{C_{1}O'C'}=\widehat{D_{1}O'D'}=\varphi$

Hay $\widehat{A_{1}O'A_{2}}=\widehat{B_{1}O'B_{2}}=\widehat{C_{1}O'C_{2}}=\widehat{D_{1}O'D_{2}}=\varphi$

Suy ra: $A_{2}B_{2}C_{2}D_{2}$ là ảnh của hình vuông $A_{1}B_{1}C_{1}D_{1}$ qua phép quay $Q_{(O',\varphi)}$

b) Ta có: $\vec{OA'}=k\vec{OA_{2}}$

Do đó: $\vec{OB'}=k\vec{OB_{2}}.\vec{OC'}=k\vec{OC_{2}}.\vec{OD'}=k\vec{OD_{2}}$

Vậy A'B'C'D' là ảnh của $A_{2}B_{2}C_{2}D_{2}$ qua phép vị tự $V_{(O,k)}$

c) Ta có thể kết luận là hai hình vuông tùy ý luôn đồng dạng với nhau được vì một hình vuông luôn có các cạnh bằng nhau nên tỉ số giữa các cạnh tương ứng của hai hình vuông luôn bằng nhau và bằng một số k nào đó; do đó, luôn có phép đồng dạng giữa hai hình vuông bất kì.

Vận dụng 2: Tìm các cặp hình đồng dạng với nhau có trong Hình 5.

Hướng dẫn trả lời:

Hình a) đồng dạng với hình (b) với tỉ số k = 2

Hình (b) đồng dạng với hình (c) với tỉ số k = 1

BÀI TẬP

1. Cho hình chữ nhật ABCD có AC cắt BD tại I. Gọi H, K, L và J lần lượt là trung điểm của AD, BC, KC và IC. Chứng minh hình thang JLKI và hình thang IHDC đồng dạng với nhau. 

Hướng dẫn trả lời:

Ta có: $\vec{CJ}=\frac{1}{2}\vec{CI},\vec{CL}=\frac{1}{2}\vec{CK}$

Suy ra: JL là ảnh của IK qua phép vị tự $V_{(C,\frac{1}{2})}$ (1)

Ta có: $\vec{CI}=\frac{1}{2}\vec{CA},\vec{CK}=\frac{1}{2}\vec{CB}$

Suy ra: IK là ảnh của AB qua phép vị tự $V_{(C,\frac{1}{2})}$ (2)

(1)(2) suy ra: JLKI là ảnh của IKBA qua phép vị tự $V_{(C,\frac{1}{2})}$ (3)

Ta có: Phép đối xứng tâm I biến IKBA thành IHDC (4)

(3)(4) suy ra: Có phép đồng dạng biến JLKI thành IHDC.

Do đó: Hình thang JLKI và hình thang IHDC đồng dạng với nhau.

2. Cho △ABC đều có cạnh bằng 2. Qua ba phép biến hình liên tiếp: Phép tịnh tiến $T_{\vec{BC}}$, phép quay $Q_{(B,60^{o})}$, phép vị tự $V_{(A,3)}$, △ABC biến thành $\Delta A_{1}B_{1}C_{1}$. Tìm diện tích $\Delta A_{1}B_{1}C_{1}$

Hướng dẫn trả lời:

Phép tịnh tiến vectơ $\vec{BC}$ biến tam giác ABC thành tam giác A'B'C' nên △ABC = △A'B'C' (1)

Phép quay $Q_{(B,60^{o})}$ biến tam giác A'B'C' thành tam giác $A_{0}B_{0}C_{0}$ nên △A'B'C' = $\Delta A_{0}B_{0}C_{0}$ (2)

Phép vị tự $V_{(A,3)}$ biến tam giác $A_{0}B_{0}C_{0}$ thành tam giác $A_{1}B_{1}C_{1}$

Suy ra: Các cạnh của tam giác $A_{1}B_{1}C_{1}$ bằng ba lần các cạnh của tam giác $A_{0}B_{0}C_{0}$(3)

(1)(2)(3) suy ra: Cạnh của tam giác $\Delta A_{1}B_{1}C_{1}$ bằng 6

Do đó: Diện tích tam giác $\Delta A_{1}B_{1}C_{1}$ bằng $9\sqrt{3}$

3. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho đường tròn (C) tâm O bán kính R = 9 và cho điểm A khác O. Gọi (C') là ảnh của (C) qua phép đồng dạng có được bằng cách thực hiện liên tiếp phép tịnh tiến theo vectơ $\vec{OA}$  và phép vị tự $V_{(O,-\frac{1}{3})}$. Tìm diện tích hình tròn (C').

Hướng dẫn trả lời:

Phép tịnh tiến theo vectơ $\vec{OA}$ biến đường tròn (C) thành đường tròn $(C_{1})$ có bán kính $R_{1}=9$

Phép vị tự $V_{(O,-\frac{1}{3})}$ biến đường tròn (C1) thành đường tròn (C') có bán kính $R'=(-\frac{1}{3}).9=-3$

Do đó: Diện tích đường tròn (C') bằng 9π.

4. Tìm các hình đồng dạng với nhau trong Hình 6.

Hướng dẫn trả lời:

Các hình bên ngoài và lồng bên trong của bốn hình dưới đây đồng dạng với nhau:

Hai hình ngôi nhà đồng dạng với nhau; hai hình điện thoại đồng dạng với nhau: