Giải chi tiết chuyên đề Toán 11 chân trời mới Bài tập cuối chuyên đề 1

CÂU HỎI TRẮC NGHIỆM

1. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho điểm M(2; 5). Phép tịnh tiến theo vectơ v⃗  = (1; 2) biến A thành điểm có tọa độ là:

A. (3; 1).

B. (1; 6)

C. (3; 7).

D. (4; 7).

Hướng dẫn trả lời: 

Chọn phương án C

2. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, qua phép đối xứng trục Oy, điểm A(3; 5) biến thành điểm nào trong các điểm sau?

A. (3; 5).

B. (-3; 5)

C. (3; -5).

D. (-3; -5).

Hướng dẫn trả lời: 

Chọn phương án B 

3. Cho ba đường tròn có bán kính bằng nhau và đôi một tiếp xúc ngoài với nhau tạo thành hình H. Hỏi H có mấy trục đối xứng?

A. 0

B. 1

C. 2

D. 3

Hướng dẫn trả lời: 

Chọn phương án D

4. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho đường thẳng d: x = 2. Trong các đường thẳng sau đường thẳng nào là ảnh của d qua phép đối xứng tâm O?

A. x = 2

B. y = 2

C. x = -2

D. y = -2

Hướng dẫn trả lời: 

Chọn phương án C

5. Hình gồm hai đường tròn phân biệt có cùng bán kính có bao nhiêu tâm đối xứng?

A. Không có.

B. Một 

C. Hai 

D. Vô số

Hướng dẫn trả lời: 

Chọn phương án B

6. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho điểm M(1; 1). Hỏi các điểm sau điểm nào là ảnh của M qua phép quay tâm O với góc quay $45^{\circ  }$?

A. M'(1; 1)

B. M'(1; 0)

C. $M'(\sqrt{2};0)$

D. $M'(0;\sqrt{2})$

Hướng dẫn trả lời: 

Chọn phương án D

7. Cho tam giác đều tâm O. Hỏi có bao nhiêu phép quay tâm O với góc quay α, 0<α≤2π, biến tam giác trên thành chính nó?

A. Một 

B. Hai 

C. Ba 

D. Bốn

Hướng dẫn trả lời: 

Chọn phương án A

8. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho điểm M(-2; 4). Phép vị tự tâm O tỉ số k = -2 biến điểm M thành điểm nào trong các điểm sau?

A. (-3; 4)

B. (-4; -8)

C. (4; -8)

D. (4; 8)

Hướng dẫn trả lời: 

Chọn phương án C

BÀI TẬP TỰ LUẬN

9. Cho tam giác ABC. Vẽ về phía ngoài của tam giác các hình vuông ABEF, ACMN. Chứng minh BN bằng và vuông góc với FC. 

Hướng dẫn trả lời:

Ta có: Phép quay tâm A, góc $90^{\circ  }$ biến F thành B, biến C thành N

Do đó: FC bằng BN và góc giữa FC và BN bằng $90^{\circ  }$ hay FC vuông góc với BN.

10. Cho đường tròn (O; R) và điểm I cố định khác O. Vẽ điểm M tùy ý trên (O). Tia phân giác của góc MOI cắt IM tại N. Điểm N di động trên đường nào khi M di động trên (O)?

Hướng dẫn trả lời:

Đặt IO = d (d≠0).

Tam giác MOI có: $\frac{IN}{NM}=\frac{IO}{OM}=\frac{d}{R}$

Suy ra: $\frac{IN}{IN+NM}=\frac{d}{d+R}$ ⇔ $\frac{IN}{IM}=\frac{d}{d+R}$

Vì $\vec{IN}$ và $\vec{IM}$ cùng hướng

Do đó: $\vec{IN}=\frac{d}{d+R}\vec{IM}$

Nếu gọi V là phép vị tự tâm I tỉ số $k=\frac{d}{d+R}$ thì V biến điểm M thành N.

Khi M ở vị trí M0 trên đường tròn (O; R) sao cho $\widehat{IOM_{0}}=0^{o}$ thì tia phân giác của góc $\widehat{IOM_{0}}=0^{o}$ không cắt IM. Điểm N không tồn tại.

Vậy khi M chạy trên (O; R) (M khác hẳn $M_{0}$) thì quỹ tích của điểm N là ảnh của (O; R) qua phép vị tự V bỏ đi ảnh của điểm $M_{0}$.

11. Cho điểm A chạy trên nửa đường tròn đường kính BC cố định. Vẽ về phía ngoài tam giác ABC hình vuông ABEF. Chứng minh rằng điểm E chạy trên một nửa đường tròn cố định.

Hướng dẫn trả lời:

Do A chạy trên nửa đường tròn đường kính BC nên tam giác ABC vuông tại A.

Ta có: E là ảnh của A qua phép quay tâm B, góc quay $90^{\circ }$

Khi A chạy trên nửa đường tròn (O) thì E sẽ chạy trên nửa đường tròn (O') là ảnh của nửa đường tròn (O) qua phép quay tâm B, góc quay $90^{\circ }$

12. Cho đường thẳng d: x + y + 2 = 0, đường tròn (C): $x^{2}+y^{2}-4x+8y-5=0$

a) Tìm ảnh của d qua phép đối xứng trục Ox.

b) Tìm ảnh của (C) qua phép đối xứng trục Oy.

Hướng dẫn trả lời:

Đường thẳng d: y = -x -2, đường tròn (C) có tâm I(2; -4), bán kính R = 5

a) Gọi A(0; -2) và B(-2; 0) là hai điểm thuộc đường thẳng d.

Ta có: A'(0; 2) là ảnh của A qua phép đối xứng trục Ox

B là ảnh của chính nó qua phép đối xứng trục Ox

Do đó: Hai điểm A' và B thuộc đường thẳng d' là ảnh của đường thẳng d qua phép đối xứng trục Ox.

Suy ra: Phương trình đường thẳng d': y = x + 2

b) Ta có: I'(-2; -4) là ảnh của I qua phép đối xứng trục Oy

Do đó: Đường tròn (C') có tâm I'(-2; -4), R = 5 là ảnh của đường tròn (C) qua phép đối xứng trục Oy.

13. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho đường thẳng d: x + 6y - 5 = 0.

a) Tìm ảnh của đường thẳng d qua phép đối xứng tâm O.

b) Tìm ảnh của đường thẳng d qua phép đối xứng tâm M(4; 6).

Hướng dẫn trả lời:

Gọi $A(0;\frac{5}{6})$ và B(5; 0) là hai điểm thuộc đường thẳng d

a) Ta có: $A')0;-\frac{5}{6})$ là ảnh của A qua phép đối xứng tâm O

 B'(-5; 0) là ảnh của B qua phép đối xứng tâm O

Do đó: Đường thẳng d' đi qua hai điểm A' và B' là ảnh của đường thẳng d qua phép đối xứng tâm O.

Suy ra: Phương trình đường thẳng d': $y=-\frac{1}{6}x-\frac{5}{6}$

b) Gọi $A_{1},B_{1}$ là ảnh của A, B qua phép đối xứng tâm M(4; 6)

Ta có: $\vec{MA}=-\vec{MA_{1}}\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}x_{A_{1}}=8\\y_{A_{1}}=\frac{67}{6}\end{matrix}\right.\Leftrightarrow A_{1}(8;\frac{67}{6})$

$\vec{MB}=-\vec{MB_{1}}\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}x_{B_{1}}=3\\y_{B_{1}}=12\end{matrix}\right.\Leftrightarrow B_{1}(3;12)$

Do đó: Đường thẳng $d_{1}$ đi qua hai điểm $A_{1},B_{1}$ là ảnh của đường thẳng d qua phép đối xứng tâm M(4; 6)

Phương trình đường thẳng $d_{1}$: $y=-\frac{1}{6}x+\frac{25}{2}$

14. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho M(3; 2), N(2; 0).

a) Tìm ảnh của các điểm M, N qua phép vị tự tâm I(-1; -1) tỉ số k = -2.

b) Tìm ảnh của các điểm M, N qua phép vị tự tâm O tỉ số k = 3.

Hướng dẫn trả lời:

a) Gọi M', N' lần lượt là ảnh của M, N qua phép vị tự tâm I(-1; -1) tỉ số k = -2.

Ta có: $\vec{IM'}=-2\vec{IM}\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}x_{M'}=-9\\y_{M'}=-7\end{matrix}\right.\Leftrightarrow M'(-9;-7)$

$\vec{IN'}=-2\vec{IN}\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}x_{N'}=-7\\y_{N'}=-3\end{matrix}\right.\Leftrightarrow N'(-7;-3)$

b) Gọi $M_{1},N_{1}$ là ảnh của M, N qua phép vị tự tâm O tỉ số k = 3.

Ta có: $\vec{OM_{1}}=3\vec{OM} \Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}x_{M_{1}}=9\\y_{M_{1}}=6\end{matrix}\right.\Leftrightarrow M_{1}(9;6)$

$\vec{ON_{1}}=3\vec{ON}\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}x_{N_{1}}=6\\y_{N_{1}}=0\end{matrix}\right.\Leftrightarrow N_{1}(6;0)$

15. Cho Hình 1.

a) Tìm phép biến hình f biến hình (A) thành hình (B).

b) Tìm phép biến hình g biến hình (A) thành hình (C).

c) Tìm các phép biến hình biến hình (D) thành lần lượt các hình (E), (F), (G).

Hướng dẫn trả lời:

a) Phép tịnh tiến mũi tên đỏ biến hình (A) thành hình (B)

b) Phép đối xứng qua chấm đỏ biến hình (A) thành hình (C)

c) Phép đối xứng tâm giao điểm các đường kẻ tím biến hình (D) thành hình (E)

Phép đối xứng tâm giao điểm các đường kẻ xanh lá biến hình (D) thành hình (F)

Phép tịnh tiến mũi tên xanh dương biến hình (D) thành hình (G).

16. Điểm O được gọi là tâm đối xứng quay bậc n $(n \in \mathbb{N}^{*})$ của hình H nếu sau khi thực hiện phép quay $Q_{(O,\frac{360^{\circ }}{n})}$ ta lại được chính hình H. Hình có tâm đối xứng quay bậc n gọi là hình đối xứng quay bậc n. Tìm các hình đối xứng quay trong Hình 2.

Hướng dẫn trả lời:

Tất cả các hình trong Hình 2 đều là hình đối xứng quay.

17. Thấu kính hội tụ có thể cho ảnh thật hoặc ảnh ảo A'B' của vật AB. Tìm phép vị tự biến AB thành A'B' trong Hình 3 và Hình 4.

Hướng dẫn trả lời:

Phép vị tự tâm O, tỉ số $k=\frac{OA}{OA'}$ biến AB thành A'B' trong Hình 4a.

Phép vị tự tâm O, tỉ số $k=-\frac{OA}{OA'}$ biến AB thành A'B' trong Hình 4b.

18. Cho tam giác ABC có góc B, góc C đều là góc nhọn. Nêu cách vẽ hình chữ nhật DEFG có đỉnh D, đỉnh E thuộc cạnh BC, đỉnh F, đỉnh G thuộc cạnh AC, AB và có EF = 2DE.

Hướng dẫn trả lời:

- Lấy điểm G' tùy ý trên AB, sau đó dựng hình chữ nhật G'F'E'D' có E'F' = 2D'E', hai đỉnh D', E' nằm trên BC.

- Nối BF' cắt AC tại F, đường thẳng qua F song song với BC cắt AB tại G. 

Gọi D và E là hình chiếu của G và F trên BC. Suy ra hình chữ nhật DEFG là hình chữ nhật cần dựng.

Chứng minh:  

Vì GF // G'F', GD // G'D' nên: $\frac{GF}{G'F'}=\frac{BG}{B'G'}=\frac{GD}{G'D'}$. Suy ra: $\frac{GD}{GF}=\frac{G'D'}{G'F'}=2$

Vậy hình chữ nhật đã dựng thỏa mãn yêu cầu bài toán