Giải chi tiết chuyên đề Toán 11 chân trời mới bài 3 Phép đối xứng trục

1. ĐỊNH NGHĨA 

Khám phá 1: Cho đường thẳng d. Gọi f là quy tắc xác định như sau: 

a) Với điểm M không thuộc d, xác định điểm M' sao cho d là đường trung trực của MM' (Hình 1).

b) Với điểm M thuộc d thì f biến điểm M thành chính nó. Hỏi f có phải là phép biến hình hay không?

Hướng dẫn trả lời:

a) O là giao điểm của MM' và d

Ta có: d là trung trực của MM' nên O là trung điểm của MM'

Do đó M' thuộc đoạn thẳng MM' sao cho MM' vuông góc với d tại trung điểm O của MM'.

b) Với điểm M thuộc d thì f biến điểm M thành chính nó. Suy ra, f là phép đồng nhất.

Do đó: f là phép biến hình.

2. TÍNH CHẤT

Khám phá 2: Giả sử Đa là phép đối xứng trục qua đường thẳng a. Ta chọn hệ tọa độ Oxy sao cho trục Ox trùng với a. Lấy hai điểm tùy ý $A(x_{A};y_{A})$ và $B(x_{B};y_{B})$. Gọi A', B' lần lượt là ảnh của A, B qua phép đối xứng trục a (Hình 3). Xác định tọa độ của A' và B' rồi dùng công thức tính khoảng cách để so sánh A'B' và AB. 

Hướng dẫn trả lời:

Do A', B' lần lượt là ảnh của A, B qua phép đối xứng trục a 

Suy ra: $A'(x_{A};-y_{A})$ và $B('x_{B};-y_{B})$

Do đó: $AB=\sqrt{(x_{B}-x_{A})^{2}+(y_{B}-y_{A})^{2}}$

$A'B'=\sqrt{(x_{B}-x_{A})^{2}+(-y_{B}+y_{A})^{2}}=\sqrt{(x_{B}-x_{A})^{2}+(y_{B}-y_{A})^{2}}$

Suy ra: AB = A'B'.

Thực hành 1: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho đường thẳng d: x - y + 3 = 0 và đường tròn (C): $(x+1)^{2}+(y+2)^{2}=9$

a) Tìm ảnh của đường thẳng d qua $Đ_{Oy}$

b) Tìm ảnh của đường tròn (C) qua $Đ_{Ox}$

Hướng dẫn trả lời:

a) Gọi A(-3, 0) và B(0, 3) là hai điểm thuộc đường thẳng d

Ta có: d' là ảnh của đường thẳng d qua $Đ_{Oy}$ và d' đi qua A'(3, 0) và B(0, 3)

b) Ta có: Đường tròn (C) có tâm I(-1, -2) và R = 3

Mà đường tròn (C') là ảnh của đường tròn (C) qua $Đ_{Ox}$

Suy ra (C') có tâm I'(-1, 2) và R = 3. 

Vận dụng 1: Cho hai điểm A, B là vị trí của hai nhà máy nằm cùng một phía bờ sông là đường thẳng d. Tìm trên bờ sông một địa điểm M để xây dựng một trạm bơm sao cho tổng chiều dài đường ống dẫn nước từ trạm bơm về hai nhà máy là ngắn nhất (Hình 7). 

Hướng dẫn trả lời:

Gọi A' là điểm đối xứng của A qua đường thẳng d

Suy ra: MA = MA'

Do đó: MA + MB = MA' + MB

△MA'B có: MA' + MB ≥ A'B (bất đẳng thức tam giác)

Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi: MA' + MB = A'B ⇔ A', M, B thẳng hàng ⇔ M là giao điểm của A'B với đường thẳng d.

Vậy M là giao điểm của A'B với đường thẳng d thì MA + MB ngắn nhất. 

3. TRỤC ĐỐI XỨNG CỦA MỘT HÌNH 

Khám phá 3: Cho tam giác ABC cân tại A và M là trung điểm của BC. Tìm ảnh của tam giác ABC qua phép đối xứng trục AM.

Hướng dẫn trả lời:

Ta có: A là ảnh của A qua phép đối xứng trục AM

Vì M là trung điểm của BC nên C là ảnh của B qua phép đối xứng trục AM; B là ảnh của C qua phép đối xứng trục AM.

Do đó: Tam giác ACB là ảnh của tam giác ABC qua phép đối xứng trục AM.

Thực hành 2: Tìm trục đối xứng của một hình thang cân ABCD có hai đáy là AB và CD. 

Hướng dẫn trả lời:

Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AB, CD

Ta có: B là ảnh của A qua trục MN

A là ảnh của B qua trục MN

D là ảnh của C qua trục MN

C là ảnh của D qua trục MN

Do đó: MN là trục đối xứng của hình thang cân ABCD.

Vận dụng 2: Tìm trục đối xứng trong các hình ở Hình 10.

Hướng dẫn trả lời:

Đường màu đỏ là trục đối xứng của các hình

BÀI TẬP 

1. Vẽ các hình sau đây vào giấy kẻ ô vuông và tìm ảnh của các hình đã cho qua phép đối xứng trục d. 

Hướng dẫn trả lời:

Hướng dẫn trả lời:

Gọi O(0, 0) và A (x, y=x) thuộc đường thẳng d: x - y = 0

Gọi M' là ảnh của M qua phép đối xứng trục d và phương trình đường thẳng MM': y = ax + b

Ta có: MM' vuông góc với d

Nên a.1 = -1, suy ra a = -1. Phương trình đường thẳng MM': y = -x + b

Do $M(x_{0},y_{0})$ thuộc MM' 

Ta có: $y_{0}=-x_{0}+b$ ⇒ $b=x_{0}+y_{0}$ Suy ra phương trình đường thẳng MM': $y=-x+(x_{0}+y_{0})$

Vì M' thuộc MM' nên $M'(x_{M'}; -x_{M'}+(x_{0}+y_{0}))$

Gọi I là giao điểm của MM' và đường thẳng d nên I là trung điểm của MM'

Ta tính được tọa độ điểm $I(\frac{x_{0}+y_{0}}{2};\frac{x_{0}+y_{0}}{2})$

Ta có: IM = IM'. Tính độ dài IM và IM' ta sẽ tính được $x_{M'}$ theo $x_{0}$ và $y_{0}$. Từ đó suy ra tọa độ của điểm M'.

3. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho ba điểm A(3; 2), B(4; -3) và M(-8; 5).

a) Tìm ảnh của A qua $Đ_{Ox}$ và ảnh của B qua $Đ_{Oy}$

b) Biết M là ảnh của N qua $Đ_{Oy}$. Xác định tọa độ của N.

Hướng dẫn trả lời:

a) A'(3; -2) là ảnh của A qua $Đ_{Ox}$ và B'(-4; -3) là ảnh của B qua $Đ_{Oy}$

b) M là ảnh của N qua $Đ_{Oy}$ nên tọa độ điểm N là (8; 5)

4. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho đường tròn (C): (x−3)2+(y−4)2=25 và đường thẳng Δ: 2x + 3y + 4 = 0.

a) Tìm ảnh của (C) và Δ qua phép đối xứng trục Ox.

b) Tìm ảnh của (C) và Δ qua phép đối xứng trục Oy.

c) Tìm ảnh của (C) và Δ qua phép đối xứng trục d: x - y - 3 = 0.

Hướng dẫn trả lời:

Đường tròn (C) có tâm I(3; 4) và bán kính R = 5

Đường thẳng  Δ: 2x + 3y + 4 = 0 đi qua A(0; −43) và B(-2; 0)

a) Ảnh của đường tròn (C) qua phép đối xứng Ox là đường tròn (C') tâm I'(3; -4), bán kính R = 5

Ảnh của Δ qua phép đối xứng trục Ox là Δ′ đi qua A'(0, 43) và B(-2, 0)

b) Ảnh của đường tròn (C) qua phép đối xứng Ox là đường tròn (C') tâm I'(-3; 4), bán kính R = 5

Ảnh của Δ qua phép đối xứng trục Ox là Δ′ đi qua A(0; −43) và B'(2, 0)

c) Ảnh của đường tròn (C) qua phép đối xứng Ox là đường tròn (C') tâm I'(7, 0), bán kính R = 5

Ảnh của Δ qua phép đối xứng trục Ox là Δ′ đi qua A'(53; -3) và B'(3; -5)

5. Cho tam giác ABC với B và C cố định. Vẽ hai đường tròn có tâm lần lượt là B, C và đi qua A. Gọi D là giao điểm thứ hai của hai đường tròn nói trên (Hình 12). Khi A di động trên một đường tròn cố định (O) thì điểm D di động trên đường nào?

Hướng dẫn trả lời:

Theo lí thuyết vị trí tương đối của hai đường tròn ta có: Nếu hai đường tròn cắt nhau thì hai giao điểm đối xứng với nhau qua đường nối tâm.

Do đó: A đối xứng với D qua BC.

Vậy D thuộc đường tròn (O') là ảnh của đường tròn (O) chứa A qua phép đối xứng trục BC. 

6. Hai thành phố A, B nằm ở hai bên bờ của một con sông (Hình 13). Giả sử hai bờ sông là hai đường thẳng song song a, b. Tìm vị trí điểm M bên bờ a và N bên bờ b để xây dựng một chiếc cầu MN sao cho MN vuông góc với a, b và tổng khoảng cách AM + NB ngắn nhất.

Hướng dẫn trả lời:

Gọi A' là ảnh của A qua phép tịnh tiến vectơ $\vec{MN}$ (do hai bờ a, b cố định nên khoảng cách MN không đổi)

Do đó: AA'NM là hình bình hành (AA' // MN, AA' = MN)

Suy ra: AM = A'N nên AM + NB = A'N + NB

Tam giác A'NB: A'N + NB ≥ A'B

Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi A', N, B thẳng hàng hay N là giao điểm của A'B và b.

Vậy AM + NB ngắn nhất khi N là giao điểm của A'B và b.

7. Vận dụng phép đối xứng trục để vẽ nhanh bình hoa theo hướng dẫn trong Hình 14. 

- Gấp đôi một tờ giấy trắng A4 theo nếp gấp d. 

- Mở tờ giấy ra, ở một phía của nếp gấp d, nhỏ vài giọt màu nước có màu khác nhau làm hoa và một giọt màu đen làm bình hoa. 

- Gấp lại tờ giấy theo nếp gấp d, chà nhẹ để màu thấm đều sang hai bên.

- Mở tờ giấy ra, ta có một bình hoa đẹp.

Tìm trục đối xứng của hình vừa vẽ. 

Hướng dẫn trả lời:

Trục đối xứng của hình vừa vẽ là nếp gấp d.