Giải chi tiết chuyên đề Toán 11 chân trời mới bài 1 Phép biến hình và phép dời hình

1. PHÉP BIẾN HÌNH 

Khám phá 1: Trong mặt phẳng, cho đường thẳng d và điểm M. Gọi M' là hình chiếu vuông góc của M trên đường thẳng d.

Vẽ ba điểm A, B, C tùy ý và tìm hình chiếu vuông góc A', B', C' của chúng trên d. 

Hướng dẫn trả lời:

Thực hành 1: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, ứng mỗi điểm M(x; y) quy tắc f xác định điểm M'(3x; 3y). Hãy cho biết f có phải là phép biến hình không. Nếu có, tìm ảnh của điểm A(-1; 2) qua f. 

Hướng dẫn trả lời:

Ta thấy qua quy tắc f ứng với mỗi điểm M(x; y) xác định được duy nhất điểm M'(-3x; 3y).

Do đó: Ảnh của M qua f là M' nên f là một phép biến hình.

Ta có hình vẽ dưới đây. Ảnh của A(-1; 2) qua f là A'.

2. Phép dời hình 

Khám phá 2: Khi một ô tô dời chỗ đậu từ vị trí M đến M', khoảng cách giữa hai trục bánh xe có thay đổi không?

Hướng dẫn trả lời:

Khi một ô tô dời chỗ đậu từ vị trí M đến M', khoảng cách giữa hai trục bánh xe không thay đổi. 

Thực hành 2: Cho điểm O trong mặt phẳng. Ta định nghĩa một phép biến hình h như sau: Với mỗi điểm M khác O chọn M' = h(M) sao cho O là trung điểm của đoạn thẳng MM' (Hình 6), còn với M trùng với O thì ta chọn O = h(M). Chứng minh h là một phép dời hình.

Hướng dẫn trả lời:

- Trường hợp 1: M khác O 

Vì O là trung điểm của đoạn thẳng MM' nên OM = OM'.

Mà M' = h(M)

Nên phép biến hình h là một phép dời hình.

- Trường hợp 2: M trùng với O

Mà O = h(M) 

Suy ra phép biến hình h là phép đồng nhất và khoảng cách từ M đến O là không đổi.

Do đó: Phép biến hình h là một phép dời hình.

Vận dụng: Một người đã vẽ xong bức tranh một con thiên nga đang bơi trên mặt hồ (đường thẳng d) (Hình 7a). Người đó muốn vẽ bóng của con thiên nga đó xuống mặt nước (như Hình 7b) bằng cách gấp tờ giấy theo đường thẳng d và đồ theo hình con thiên nga trên nửa tờ giấy còn lại. Chứng tỏ rằng đây là một phép dời hình.

Hướng dẫn trả lời:

Gọi O là giao điểm của MM' và đường thẳng d

Ta có: M' là ảnh của M do gấp tờ giấy theo đường thẳng d nên M' = h(M).

Vì O là trung điểm của MM' nên OM = OM'

Do đó: h là một phép dời hình. 

Thực hành 1: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, ứng mỗi điểm M(x; y) quy tắc f xác định điểm M'(3x; 3y). Hãy cho biết f có phải là phép biến hình không. Nếu có, tìm ảnh của điểm A(-1; 2) qua f. 

Hướng dẫn trả lời:

Ta thấy qua quy tắc f ứng với mỗi điểm M(x; y) xác định được duy nhất điểm M'(-3x; 3y).

Do đó: Ảnh của M qua f là M' nên f là một phép biến hình.

Ta có hình vẽ dưới đây. Ảnh của A(-1; 2) qua f là A'.

2. Phép dời hình 

Khám phá 2: Khi một ô tô dời chỗ đậu từ vị trí M đến M', khoảng cách giữa hai trục bánh xe có thay đổi không?

Hướng dẫn trả lời:

Khi một ô tô dời chỗ đậu từ vị trí M đến M', khoảng cách giữa hai trục bánh xe không thay đổi. 

Thực hành 2: Cho điểm O trong mặt phẳng. Ta định nghĩa một phép biến hình h như sau: Với mỗi điểm M khác O chọn M' = h(M) sao cho O là trung điểm của đoạn thẳng MM' (Hình 6), còn với M trùng với O thì ta chọn O = h(M). Chứng minh h là một phép dời hình.

Hướng dẫn trả lời:

- Trường hợp 1: M khác O 

Vì O là trung điểm của đoạn thẳng MM' nên OM = OM'.

Mà M' = h(M)

Nên phép biến hình h là một phép dời hình.

- Trường hợp 2: M trùng với O

Mà O = h(M) 

Suy ra phép biến hình h là phép đồng nhất và khoảng cách từ M đến O là không đổi.

Do đó: Phép biến hình h là một phép dời hình.

Vận dụng: Một người đã vẽ xong bức tranh một con thiên nga đang bơi trên mặt hồ (đường thẳng d) (Hình 7a). Người đó muốn vẽ bóng của con thiên nga đó xuống mặt nước (như Hình 7b) bằng cách gấp tờ giấy theo đường thẳng d và đồ theo hình con thiên nga trên nửa tờ giấy còn lại. Chứng tỏ rằng đây là một phép dời hình.

Hướng dẫn trả lời: 

Gọi O là giao điểm của MM' và đường thẳng d

Ta có: M' là ảnh của M do gấp tờ giấy theo đường thẳng d nên M' = h(M).

Vì O là trung điểm của MM' nên OM = OM'

Do đó: h là một phép dời hình. 

3. Tính chất của phép dời hình

Khám phá 3: Trong mỗi trường hợp dưới đây, cho f là một phép dời hình.

a) Cho ba điểm A, B, C thẳng hàng theo thứ tự (B nằm giữa A và C). Gọi A', B', C' lần lượt là ảnh của A, B, C qua f (Hình 8a). Có nhận xét gì về vị trí tương đối của ba điểm A', B', C'?

b) Cho hai đường thẳng song song $d_{1}$ và $d_{2}$, lấy hai đoạn thẳng bằng nhau AB và DC lần lượt trên $d_{1}$ và $d_{2}$. Gọi $d'_{1}$, $d'_{2}$ lần lượt là ảnh của $d_{1}$,$d_{2}$ và A', B', C', D' lần lượt là ảnh của A, B, C, D qua f (Hình 8b). Tứ giác A'B'C'D' là hình gì? Nêu nhận xét về vị trí tương đối của hai đường thẳng $d'_{1}$,$d'_{2}$. 

c) Cho A'B'C' là ảnh của tam giác ABC qua f (Hình 8c). So sánh △A'B'C' và △ABC. So sánh số đo hai góc $\widehat{BAC}$ và $\widehat{B'A'C'}$

Hướng dẫn trả lời:

a) A', B', C' thẳng hàng.

b) Tứ giác A'B'C'D' là hình bình hành và đường thẳng $d'_{1}$ song song với đường thẳng $d'_{2}$

c) △A'B'C' = △ABC; $\widehat{BAC}=\widehat{B'A'C'}$

Thực hành 3: Gọi A'B'C'D' là ảnh của hình chữ nhật ABCD qua phép biến hình được diễn tả trong Vận dụng. Hãy cho biết A'B'C'D' là hình gì. Giải thích.

Hướng dẫn trả lời:

Ta có: Phép biến hình trong Vận dụng là một phép dời hình.

Do phép dời hình bảo toàn khoảng cách giữa hai điểm, tính song song và độ lớn của góc

Mà trong hình chữ nhật ABCD, AB = CD, AD = BC; AB // CD, AD // BC; $\widehat{DAB}=\widehat{ABC}=\widehat{BCD}=\widehat{CDA}=90^{o}$

Nên A'B' = C'D', A'D' = B'C'; A'B' // C'D', A'D' // B'C'; $\widehat{D'A'B'}=\widehat{A'B'C'}=\widehat{B'C'D'}=\widehat{C'D'A'}=90^{o}$

Do đó: A'B'C'D' là hình chữ nhật.

BÀI TẬP

1. Cho đường thẳng d đi qua tâm O của đường tròn (C) và cắt (C) tại A và B. Tìm ảnh của đường tròn (C) qua phép chiếu vuông góc lên d.

Hướng dẫn trả lời:

Ảnh của O trên d qua phép chiếu vuông góc là chính nó.

Ảnh của A trên d qua phép chiếu vuông góc là chính nó.

Ảnh của B trên d qua phép chiếu vuông góc là chính nó.

Vật ảnh của đường tròn (C) qua phép chiếu vuông góc trên d là chính nó. 

2. Cho đường thẳng d cố định, xét phép biến hình f biến điểm M thuộc d thành chính nó và biến điểm M không thuộc d thành điểm M' sao cho d là trung trực của đoạn MM'. Hãy chứng minh f là một phép dời hình.

Hướng dẫn trả lời:

- Trường hợp 1: M thuộc d

Ta có: M = f(M) nên đây là phép đồng nhất

Mà khoảng cách của M và d là không đổi.

Do đó: f là phép dời hình.

- Trường hợp 2: M không thuộc d

Gọi I là giao điểm của MM' và đường thẳng d

Vì d là trung trực của đoạn MM' nên IM = IM'

Mà M' = f(M) 

Do đó: f là phép dời hình.

Vậy f là một phép dời hình trong cả hai trường hợp trên. 

3. Cho phép dời hình f biến hình vuông H có cạnh bằng 2 cm thành hình vuông H'. Tìm diện tích của H'.

Hướng dẫn trả lời:

Do phép dời hình f biến hình vuông H thành hình vuông H'

Nên suy ra: H =  H'

Do đó: Cạnh của hình vuông H' bằng 2 cm.

Vậy diện tích của hình vuông H' bằng 4 cm.

4. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, xét các phép biến hình sau đây:

- Phép biến hình f biến mỗi điểm M(x; y) thành điểm M'(-x; -y);

- Phép biến hình g biến mỗi điểm M(x; y) thành điểm M'(2x; 2y).

Trong hai phép biến hình trên, phép nào là phép dời hình? Giải thích.

Hướng dẫn trả lời:

- Ta có: $OM=\sqrt{x^{2}+y^{2}}$

$OM'=\sqrt{(-x)^{2}+(-y)^{2}}=\sqrt{x^{2}+y^{2}}$

Suy ra: OM = OM' mà M' = f(M)

Nên f là phép dời hình.

- Ta có: $OM=\sqrt{x^{2}+y^{2}}$

$OM'=\sqrt{4x^{2}+4y^{2}}$

Suy ra: OM ≠ OM'

Nên g không phải là phép dời hình. 

5. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, xét phép biến hình h biến mỗi điểm M(x; y) thành điểm M'(x; y), trong đó:

$\left\{\begin{matrix}x'=\frac{\sqrt{2}}{2}x-\frac{\sqrt{2}}{2}y\\ y'=\frac{\sqrt{2}}{2}x+\frac{\sqrt{2}}{2}y\end{matrix}\right.$

Hãy chứng minh h là một phép dời hình.

Hướng dẫn trả lời:

Ta có: $OM=\sqrt{x^{2}+y^{2}}$

$OM'=\sqrt{(\frac{\sqrt{2}}{2}x-\frac{\sqrt{2}}{2}y)^{2}+(\frac{\sqrt{2}}{2}x+\frac{\sqrt{2}}{2}y)^{2}}=\sqrt{x^{2}+y^{2}}$

Do đó: OM = OM'

Mà M' = h(M)

Nên h là một phép dời hình.