Giải chi tiết chuyên đề Toán 11 chân trời mới bài 1 Hình biểu diễn của một hình, khối

1. PHÉP CHIẾU VÀ HÌNH BIỂU DIỄN

Phép chiếu song song và phép chiếu vuông góc

Khám phá 1: Hình 1 thể hiện hai cách chiếu hình H thành hình H' lên mặt phẳng (P). Mô tả cách vẽ các đỉnh của hình chiếu H' trong mỗi trường hợp.

Hướng dẫn trả lời:

a) Từ các điểm A, B, C, D kẻ các đường thẳng song song với nhau, cắt mặt phẳng (P) lần lượt tại các điểm A', B', C', D'. Đây là hình chiếu của hình H thành hình H' lên mặt phẳng (P).

b) Từ các điểm A, B, C, D kẻ các đường thẳng vuông góc với mặt phẳng (P) lần lượt tại các điểm A', B', C', D'. Đây là hình chiếu của hình H thành hình H' lên mặt phẳng (P).

Hình biểu diễn của một hình, khối

Thực hành 1: Dưới đây là ba hình biểu diễn của hình trụ có độ dài đường kính đáy bằng 10 cm và chiều cao bằng 12 cm. Chỉ ra phép chiếu được sử dụng tương ứng với mỗi hình.

Hướng dẫn trả lời:

Hình 5a là hình tròn cò đường kính 10cm nên nó là hình chiếu của hình trụ qua phép chiếu vuông góc có mặt phẳng chiếu song song với đáy của hình trụ.

Hình 5b phép chiếu được sử dụng là phép chiếu song song.

Hình 5c phép chiếu được sử dụng là phép chiếu vuông góc có mặt phẳng chiếu song song với mặt bên của hình trụ.

Vận dụng 1: Phép chiếu nào được sử dụng để vẽ các hình biểu diễn của bàn làm việc trong Hình 6.

Hướng dẫn trả lời:

Hình 6a phép chiếu được sử dụng là phép chiếu vuông góc có mặt phẳng chiếu song song với mặt chính diện và mặt bên của bàn.

Hình 6b phép chiếu được sử dụng là phép chiếu song song.

Hình 6c phép chiếu được sử dụng là phép chiếu vuông góc có mặt phẳng chiếu song song với mặt bàn.

2. PHƯƠNG PHÁP CHIẾU VUÔNG GÓC

Khám phá 2: Trong Hình 7, theo em, nếu chỉ dùng một hình chiếu vuông góc của hình hộp chữ nhật H trên một trong ba mặt phẳng đôi một vuông góc $(P_{1}),(P_{2}),(P_{3})$ có đủ để chế tạo được H không?

Hướng dẫn trả lời:

Nếu chỉ dùng một hình chiếu vuông góc của hình hộp chữ nhật H trên một trong ba mặt phẳng đôi một vuông góc $(P_{1}),(P_{2}),(P_{3})$ thì không đủ để chế tạo được H.

Phương pháp chiếu góc thứ nhất (PPCG1)

Khám phá 3: Quan sát Hình 10 và cho biết:

- Trong ba cạnh AB, AA' và AD của hình hộp chữ nhật, cạnh nào song song với một trong ba mặt phẳng chiếu $(P_{1}),(P_{2}),(P_{3})$?

- Tìm hai giao tuyến của $(P_{1})$ và $(P_{2})$ với mặt phẳng đi qua điểm D và vuông góc với cả $(P_{1})$ và $(P_{2})$?

Hướng dẫn trả lời:

- AB và AD song song với mặt phẳng $(P_{2})$, AA' song song với mặt phẳng $(P_{1})$ và $(P_{3})$

- Đường thẳng $d_{4}$ là giao tuyến của $(P_{1})$ với mặt phẳng đi qua điểm D và vuông góc với cả $(P_{1})$ và $(P_{2})$

Đường thẳng $d_{2}$ là giao tuyến của $(P_{2})$ với mặt phẳng đi qua điểm D và vuông góc với cả $(P_{1})$ và $(P_{2})$

Kích thước và đường gióng trên bản vẽ (Hình 11)

Thực hành 2: a) Trên Hình 10, độ dài cạnh AD được bảo toàn trên các hình chiếu nào của bản vẽ? Tại sao?

b) Trên Hình 11, tìm hai giao tuyến được biểu diễn thành đường gióng a trên bản vẽ.

c) Trên Hình 11, khoảng cách giữa hai đường gióng nào cho ta chiều cao AA' của vật Hình 10?

Hướng dẫn trả lời:

a) Độ dài cạnh AD được bảo toàn trên hình chiếu cạnh và hình chiếu bằng. Vì cạnh AD song song với mặt phẳng $(P_{2})$ và $(P_{3})$ nên được bảo toàn kích thước trên hình chiếu trong mặt phẳng đó của bản vẽ.

b) Giao tuyến $d_{4}$ và $d_{2}$ được biểu diễn thành đường gióng a trên bản vẽ.

c) Khoảng cách giữa d và d' cho ta chiều cao AA' của vật ở Hình 10.

Vận dụng 2: Trong bản vẽ biểu diễn hình nón trong Hình 12.

a) Khoảng cách giữa hai đường gióng nào cho ta biết chiều cao của hình chóp?

b) Khoảng cách giữa hai đường gióng nào cho ta biết độ dài đường kính đáy của hình chóp?

c) Nêu cách xác định điểm $M_{3}$ biểu diễn đỉnh M của hình chóp trong hình chiếu cạnh khi biết hai điểm $M_{1}$ và $M_{2}$ biểu diễn M trong hình chiếu đứng và hình chiếu bằng.

Hướng dẫn trả lời:

a) Khoảng cách giữa hai đường gióng kẻ đỏ cho biết chiều cao của hình chóp.

b) Khoảng cách giữa hai đường gióng kẻ xanh lá hoặc hai đường gióng xanh dương cho biết độ dài đường kính đáy của hình chóp.

c) - Từ $M_{1}$ vẽ đường gióng vuông góc với $M_{1}M_{2}$

- Phác họa đường gióng qua $M_{2}$, song song với đường vuông góc vừa kẻ và cắt d tại O.

- Phác họa đường gióng qua O, song song với $M_{1}M_{2}$. Giao điểm của đường thẳng kẻ từ $M_{1}$ vuông góc với $M_{1}M_{2}$ và đường thẳng kẻ từ O song song với $M_{1}M_{2}$ là điểm cần tìm.

3. PHƯƠNG PHÁP CHIẾU TRỤC ĐO

Hình chiếu trục đo

Khám phá 4: Cho hình hộp chữ nhật $OABC.O_{1}A_{1}B_{1}C_{1}$. Ba tia Ox, Oy, Oz lần lượt chứa ba cạnh OA, OC, O1. Cho mặt phẳng (P) và đường thẳng l không song song với (P). Tìm ảnh của hình hộp chữ nhật $OABC.O_{1}A_{1}B_{1}C_{1}$ và ảnh của các tia Ox, Oy, Oz qua phép chiếu song song theo phương l lên mặt phẳng (P).

Hướng dẫn trả lời:

Ảnh của hình hộp chữ nhật $OABC.O_{1}A_{1}B_{1}C_{1}$ qua phép chiếu song song theo phương l lên mặt phẳng (P) là $OA'B'C'.O_{1}A'_{1}B'_{1}C'_{1}$

Ảnh của các tia Ox, Oy, Oz qua phép chiếu song song theo phương l lên mặt phẳng (P) lần lượt là tia O'x', O'y', O'z'.

Hình chiếu trục đo vuông góc đều

Khám phá 5: Cho hình lập phương ABCD.A'B'C'D' có cạnh bằng đơn vị (Hình 14).

a) Chỉ  ra rằng AC' ⊥ (A'BD).

b) Gọi O là tâm của tam giác đều A'BD. Hình chiếu vuông góc của ba đoạn AB, AD và AA' lên (A'BD) có bằng nhau không?

c) Chỉ ra rằng $\widehat{BOD}=\widehat{DOA'}=\widehat{A'OB}=120^{o}$

Hướng dẫn trả lời:

a) Gọi I là giao điểm của AC và BD.

Ta có: AA' vuông góc với BD, AC vuông góc với BD

Nên: BD vuông góc với mặt phẳng (AA'C'C)

Mà BD thuộc (A'BD) 

Suy ra: (A'BD) vuông góc với (AA'C'C)

Mà AC' vuông góc với A'I, A'I là giao tuyến của hai mặt phẳng trên.

Do đó: AC' vuông góc với (A'BD).

b) Hình chiếu vuông góc của AB lên (A'BD) là OB

Hình chiếu vuông góc của AD lên (A'BD) là OD

Hình chiếu vuông góc của AA' lên (A'BD) là OA'

Do O là tâm tam giác đều A'BD nên OB = OD = OA'.

c) Tam giác A'OB có: $\widehat{OA'B}=\widehat{OBA'}=30^{o}$

Do đó: $\widehat{A'OB}=120^{o}$

Chứng minh tương tự ta có: $widehat{BOD}=\widehat{DOA'}=120^{o}$

Giấy kẻ ô li vẽ hình chiếu trục đo vuông góc đều

Thực hành 3: Vẽ trên giấy ô li hình biểu diễn của hình lăng trụ đứng có đáy là tam giác vuông với các kích thước được cho như trong Hình 23 (quy ước mỗi cạnh của tam giác đều biểu diễn độ dài 1cm). 

Hướng dẫn trả lời:

Vận dụng 3: Tìm các kích thước a, b, c, d, e của chi tiết cơ khí trong Hình 24a có hình biểu diễn được vẽ trên giấy kẻ ô li là Hình 24b với quy ước mỗi cạnh của tam giác đều biểu diễn độ dài 1cm. 

Hướng dẫn trả lời:

a = 6cm, b = 4cm, c = 4cm, d = 4cm, e = 2cm.

BÀI TẬP

1. Vẽ phác họa hình chiếu vuông góc của:

a) Khối chóp tứ giác đều (Hình 25).

b) Khối nón tròn xoay (Hình 26).

Hướng dẫn trả lời:

a) 

b) 

2. Mô tả vật thể trong không gian có hai hình chiếu vuông góc trong Hình 27.

Hướng dẫn trả lời:

Hình 27a là hình trụ có đáy là lục giác đều.

Hình 27b là hình trụ có đáy là hình tròn.

Hình 27c là hình chóp tứ giác đều có đáy là hình vuông.

Hình 27d là hình nón tròn xoay.

3. Trong bản vẽ biểu diễn hình lăng trụ lục giác đều trong Hình 28.

a) Khoảng cách giữa hai đường gióng nào cho ta biết chiều cao của lăng trụ?

b) Khoảng cách giữa hai đường gióng nào cho ta biết độ dài cạnh đáy của lăng trụ?

c) Nêu cách xác định điểm $M_{3}$ biểu diễn đỉnh M của đáy trên của lăng trụ khi biết $M_{1}$ và $M_{2}$ biểu diễn M trong hình chiếu đứng và hình chiếu bằng. 

Hướng dẫn trả lời:

a) Khoảng cách giữa hai đường gióng kẻ đỏ cho ta biết chiều cao của lăng trụ.

b) Khoảng cách giữa hai đường gióng kẻ xanh lá hoặc kẻ xanh dương cho ta biết độ dài cạnh đáy của lăng trụ.

c) - Từ $M_{1}$ vẽ đường gióng d' vuông góc với $M_{1}M_{2}$

- Phác họa đường gióng qua $M_{2}$, song song với d', cắt h tại O;

- Phác họa đường gióng b' qua O, song song với $M_{1}M_{2}$. Giao điểm của b' và d' là điểm cần tìm.

4. Vẽ hình chiếu vuông góc của các hình sau:

a) Hình hộp chữ nhật có ba kích thước 2cm; 4cm; 6cm.

b) Hình trụ rỗng tròn xoay có chiều cao 6cm và bán kính đáy ngoài 6cm, bán kính đáy trong 4cm.

Hướng dẫn trả lời:

a) 

b)

5. Dùng giấy kẻ ô li với quy ước mỗi cạnh của tam giác đều biểu diễn độ dài 1cm, vẽ hình biểu diễn của chi tiết cơ khi có hình dạng và kích thước như trong Hình 29.

Hướng dẫn trả lời:

6. Tìm các kích thước a, b, c, d, e của chi tiết cơ khí trong Hình 30a có hình biểu diễn được vẽ trên giấy kẻ ô li trên Hình 30b với quy ước mỗi cạnh của tam giác đều biểu diễn độ dài 10mm.

Hướng dẫn trả lời:

a = 40mm, b = 40mm, c = 40mm, d = 10mm, e = 20mm.