Giải chi tiết chuyên đề Toán 11 chân trời mới bài 4 Phép đối xứng tâm

1. ĐỊNH NGHĨA

Khám phá 1: Cho điểm O. Gọi f là quy tắc xác định như sau:

a) Với điểm M khác O, xác định điểm M' sao cho O là trung điểm của MM' (Hình 1).

b) Với điểm M trùng với O thì f biến điểm M thành chính nó.

Hỏi f có phải là phép biến hình hay không?

Hướng dẫn trả lời:

a) f là phép biến hình vì f biến mỗi điểm M thành M' qua tâm O.

b) f có là phép biến hình vì đây là phép đồng nhất.

Thực hành 1: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho các điểm I(1; 1), M(2; 2), N(0; -3) và P(-1; -2). Tìm tọa độ các điểm $M'=Đ_{I}(M), N'=Đ_{I}(N),P'=Đ_{I}(P)$

Hướng dẫn trả lời:

Ta có: M'(-2; -2) là ảnh của M(2; 2) qua phép đối xứng tâm I(1; 1)

N'(2; 5) là ảnh của N(0; -3) qua phép đối xứng tâm I(1; 1)

P'(3; 4) là ảnh của P(-1; -2) qua phép đối xứng tâm I(1; 1)

Vận dụng 1: Tìm phép đối xứng tâm biến mỗi hình sau thành chính nó.

Hướng dẫn trả lời:

Các chấm đen ở chính giữa mỗi hình là tâm đối xứng

2. TÍNH CHẤT

Khám phá 2: Giả sử $Đ_{O}$ là phép đối xứng tâm O. Lấy hai điểm tùy ý A, B sao cho ba điểm O, A, B không thẳng hàng. Gọi A', B' lần lượt là ảnh của A, B qua$Đ_{O}$. So sánh tam giác OAB và tam giác OA'B' rồi so sánh A'B' và AB. 

Hướng dẫn trả lời:

Ta có: Tam giác OAB bằng tam giác OA'B' và A'B' = AB

Thực hành 2: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, tìm ảnh qua ĐO của

a) điểm M(3; -4);

b) đường thẳng d: x−3y+6 = 0;

c) đường tròn (C): $(x+2)^{2}+(y-1)^{2}=4$

Hướng dẫn trả lời:

a) Điểm M'(-3; 4) là ảnh của M(3; -4) qua phép đối xứng tâm O

b) Lấy điểm A(0; 2) trên d: x−3y+6 = 0. Qua $Đ_{O}$, điểm A có ảnh là A'(0; -2), suy ra ảnh của d là đường thẳng d' đi qua A' song song hoặc trùng với d. Vậy d' có phương trình: x - 3(y+2) = 0 hay x- 3y - 6 = 0.

c) Đường tròn (C): $(x+2)^{2}+(y-1)^{2}=4$ có tâm I(-2; 1) và bán kính R = 2.

Ta có: I'(2; -1) = $Đ_{O}(I)$, suy ra ảnh của (C) là đường tròn (C') có tâm I'(2; -1), bán kính R = 2. Vậy (C') có phương trình: $(x-2)^{2}+(y+1)^{2}=4$

Vận dụng 2: Trong Hình 6, tìm các số ghi tại điểm đối xứng qua tâm bia với điểm ghi các số 20; 7; 9.

Hướng dẫn trả lời:

Điểm ghi các số 8; 18; 15 đối xứng với điểm ghi các số 20; 7; 9 qua tâm bia.

3. TÂM ĐỐI XỨNG CỦA MỘT HÌNH

Khám phá 3: Tìm phép đối xứng trục và phép đối xứng tâm biến Hình 7 thành chính nó. 

Hướng dẫn trả lời:

Phép đối xứng trục: hai đường kẻ đen

Phép đối xứng tâm: điểm đỏ hay giao điểm của hai đường kẻ đen.

Thực hành 3: a) Trong Hình 9, hình nào có tâm đối xứng? Tìm tâm đối xứng (nếu có).

b) Nêu tên một hình có vô số tâm đối xứng. 

Hướng dẫn trả lời:

a) Tất cả các hình đều có tâm đối xứng. Tâm đối xứng là giao điểm các đường kẻ đen và đỏ ở mỗi hình.

b) Hình có vô số tâm đối xứng là hình có hai đường thẳng song song.

Vận dụng 3: Trong Hình 10, hình nào có tâm đối xứng? (Mỗi chữ cái là một hình)

Hướng dẫn trả lời:

Trong Hình 10, các hình có tâm đối xứng là: Hình chữ S, hình chữ H và hình vệ tinh cuối.

BÀI TẬP 

1. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho đường tròn (C) có phương trình: 

(C): $x^{2}+y^{2}-4x-5=0$. Viết phương trình ảnh của (C) qua phép đối xứng tâm O.

Hướng dẫn trả lời:

Đường tròn (C): $x^{2}+y^{2}-4x-5=0$ có tâm I(2; 0) và bán kính R = 3.

Ta có: I'(-2; 0) = ĐO(I), suy ra ảnh của (C) là đường tròn (c') có tâm I'(-2; 0), bán kính R = 3. Vậy (C') có phương trình: $(x+2)^{2}+y^{2}=9$

2. Cho đường tròn (O; R) và điểm I không nằm trên đường tròn. Với mỗi điểm A trên (O; R) ta xét hình vuông ABCD có tâm là I. Điểm C di động trên đường nào khi A di động trên đường tròn (O; R)?

Hướng dẫn trả lời:

Vì I là tâm hình vuông ABCD nên I là trung điểm của AC.

Do đó: C là ảnh của A qua phép đối xứng tâm I. Suy ra: C thuộc đường tròn tâm O', bán kính R là ảnh của đường tròn (O; R) qua phép đối xứng tâm I. 

3. Cho hình bình hành ABCD có AC cố định còn B di động trên (O; R). Hãy cho biết D di động trên đường nào.

Hướng dẫn trả lời:

Gọi I là giao điểm AC và BD

Vì ABCD là hình bình hành nên I là trung điểm của BD.

Do đó: D là ảnh của B qua phép đối xứng tâm I

Suy ra: D di động trên đường tròn (O'; R) là ảnh của đường tròn (O; R) qua phép đối xứng tâm I.

4. Trong Hình 11, hình nào có trục đối xứng, hình nào có tâm đối xứng

Hướng dẫn trả lời:

Hình có trục đối xứng là: Tất cả các hình 

Hình có tâm đối xứng là:

5. Trong Hình 12, tìm phép đối xứng biến hình mũi tên (A) thành hình mũi tên (B) và tìm phép đối xứng biến hình mũi tên (B) thành hình mũi tên (C).

Hướng dẫn trả lời:

Phép đối xứng tâm biến hình mũi tên (A) thành hình mũi tên (B). Tâm đối xứng là giao điểm các đường kẻ đỏ.

Phép đối xứng tâm biến hình mũi tên (B) thành hình mũi tên (C). Tâm đối xứng là giao điểm các đường kẻ xanh lá.

6. Nghệ thuật cắt giấy Kirigami của Nhật Bản đã sử dụng rất nhiều phép đối xứng khi cắt để tạo ra các hình đẹp. Hãy tìm trục đối xứng và tâm đối xứng của các hình trong Hình 13. 

Hướng dẫn trả lời:

Các đường kẻ đỏ là trục đối xứng và giao điểm của chúng chính là tâm đối xứng.

7. Vận dụng phép đối xứng tâm và đối xứng trục để cắt hoa văn trang trí theo hướng dẫn sau:

- Lấy một tờ giấy hình vuông, gấp đôi, gấp tư rồi gấp làm tám (Hình 14a).

- Vẽ hoa và lá trên bề mặt tam giác (Hình 14b).

- Dùng kéo cắt theo đường đã vẽ (Hình 14c).

- Trải phẳng tờ giấy ra để thấy hoa văn trang trí gồm hoa và lá (Hình 14d).

Tìm tâm đối xứng và trục đối xứng của hoa văn vừa làm. 

Hướng dẫn trả lời:

Các đường kẻ đỏ là trục đối xứng và giao điểm của chúng chính là tâm đối xứng.