Giải toán 10 tập 2 CTST bài tập cuối chương X

1. Chọn ngẫu nhiên một số nguyên dương có ba chữ số:

a) Hãy mô tả không gian mẫu.

b) Tính xác suất biến cố "Số được chọn là lập phương của một số nguyên".

c) Tính xác suất của biến cố "Số được chọn chia hết cho 5".

Trả lời:

a) $\Omega$ = {100; 101; 102; 103; ...; 997; 998; 999}

b) Số phần tử của không gian mẫu là: n($\Omega$) = 900

Gọi B là biến cố "Số được chọn là lập phương của một số nguyên".

Ta có: $1^{3}$ = 1;      $2^{3}$ = 8;      $3^{3}$ = 27;   $4^{3}$ = 64;   $5^{3}$ = 125;

          $6^{3}$ = 216;  $7^{3}$ = 343;  $8^{3}$ = 512;  $9^{3}$ = 729; $10^{3}$ = 10000.

$\Rightarrow$ B = {125; 216; 343; 512; 729} $\Rightarrow$ n(B) = 5

$\Rightarrow$ Xác suất của B là: P(B) = $\frac{5}{900}$ = $\frac{1}{180}$.

c) Gọi C là biến cố "Số được chọn là số chia hết cho 5".

$\Rightarrow$ C = {100; 105; 110; 115; ...; 990; 995} $\Rightarrow$ n(C) = $\frac{995 - 100}{5}$ + 1 = 180

$\Rightarrow$ Xác suất của C là: P(C) = $\frac{180}{900}$ = $\frac{1}{5}$.

2. Gieo bốn đồng xu cân đối và đồng chất. Xác định biến cố đối của mỗi biến cố sau và tính xác suất của nó.

a) "Xuất hiện ít nhất ba mặt sấp";

b) "Xuất hiện ít nhất một mặt ngửa".

Trả lời:

a) Gọi A là biến cố "Xuất hiện ít nhất ba mặt sấp".

$\Rightarrow$ Biến cố đối của biến cố A là $\bar{A}$: "Xuất hiện ít nhất hai mặt ngửa".

Tổng số kết quả có thể xảy ra của phép thử là: n($\Omega$) = $2^{4}$ = 16

Ta có A = {NSSS; SNSS; SSNS; SSSN; SSSS} $\Rightarrow$ n(A) = 5

Xác suất của A là: P(A) = $\frac{5}{16}$

b) Gọi B là biến cố "Xuất hiện ít nhất một mặt ngửa".

$\Rightarrow$ Biến cố đối của biến cố B là $\bar{B}$ "Không xuất hiện mặt ngửa nào".

$\Rightarrow$ $\bar{B}$ = {SSSS} $\Rightarrow$ n($\bar{B}$) = 1

Xác suất để xảy ra biến cố B là: P(B) = 1 - P($\bar{B}$) = 1 - $\frac{1}{16}$ = $\frac{15}{16}$.

3. Gieo ba con xúc xắc cân đối và đồng chất. Tính xác suất của mỗi biến cố sau:

a) "Tổng số chấm xuất hiện nhỏ hơn 5";

b) "Tích số chấm xuất hiện chia hết cho 5".

Trả lời:

a) Số các kết quả có thể xảy ra của phép thử trên là n($\Omega$) = $6^{3}$ = 216

Gọi A là biến cố "Tổng số chấm xuất hiện nhỏ hơn 5".

Vì số chấm nhỏ nhất trên mỗi xúc xắc là 1, nên tổng số chấm xuất hiện trên sau khi thực hiện phép thử luôn lớn hơn hoặc bằng 3.

Ta có: 3 = 1 + 1 + 1

          4 = 1 + 1 + 2 = 1 + 2 + 1 = 2 + 1 + 1

$\Rightarrow$ A = {(1; 1; 1), (1; 1; 2), (1; 2; 1), (2; 1; 1)} $\Rightarrow$ n(A) = 4

$\Rightarrow$ Xác suất của biến cố A là: P(A) = $\frac{4}{216}$ = $\frac{1}{54}$.

b) Gọi B là biến cố "Tích số chấm xuất hiện chia hết cho 5".

$\Rightarrow$ Biến cố đối của biến cố B là $\bar{B}$ "Tích số chấm xuất hiện không chia hết cho 5".

Để tích số chấm không chia hết cho 5 thì kết quả của phép thử không được xuất hiện mặt 5 chấm $\Rightarrow$ Số kết quả thuận lợi cho $\bar{B}$ = $5^{3}$ = 125

$\Rightarrow$ Xác suất của biến cố B là P(B) =  1 - P($\bar{B}$) = 1 - $\frac{125}{216}$ = $\frac{91}{216}$.

4. Hộp thứ nhất chứa 4 viên bi xanh, 3 viên bi đỏ. Hộp thứ hai chứa 5 viên bi xanh, 2 viên bi đỏ. Các viên có kích thước và khối lượng như nhau. Lấy ra ngẫu nhiên từ mỗi hộp 2 viên bi. Tính xác suất của mỗi biến cố sau:

a) "Bốn viên bi lấy ra có cùng màu";

b) "Trong 4 viên bi lấy ra có đúng 1 viên bi xanh";

c) "Trong 4 viên bi lấy ra có đủ cả bi xanh và bi đỏ".

Trả lời:  

a) Số kết quả có thể xảy ra của phép thử trên là: n($\Omega$}) = $C_{7}^{2}$. $C_{7}^{2}$ = 441

Gọi A là biến cố "Bốn viên bi lấy ra có cùng màu".

Số các kết quả thuận lợi cho A là n(A) = $C_{4}^{2}$.$C_{5}^{2}$ + $C_{3}^{2}$.$C_{2}^{2}$ = 63

Xác suất của biến cố A là: P(A) = $\frac{63}{441}$ = $\frac{1}{7}$

b) Gọi B là biến cố "Trong 4 viên bi lấy ra có đúng 1 viên bi xanh".

Số các kết quả thuận lợi cho B là: n(B) = $C_{4}^{1}$.$C_{3}^{1}$.$C_{2}^{2}$ + $C_{3}^{2}$.$C_{5}^{1}$.$C_{2}^{1}$ = 42

Xác suất của biến cố B là: P(B)  = $\frac{42}{441}$ = $\frac{2}{21}$.

c) Gọi C là biến cố "Trong bốn viên lấy ra có đủ cả bi xanh và bi đỏ".

$\Rightarrow$ Biến cố đối của biến cố C là $\bar{C}$ "Bốn viên bi lấy ra có cùng màu".

Theo phần a, ta tính được P($\bar{C}$) = $\frac{1}{7}$

$\Rightarrow$ Xác suất của biến cố C là: P(C) = 1 - P($\bar{C}$) = 1 - $\frac{1}{7}$ = $\frac{6}{7}$.