Giải toán 10 tập 2 CTST bài 1 Tọa độ của vectơ

Khởi động

Hãy tìm cách xác định vị trí của các quân mã trên bàn cờ vua.

Trả lời: Gắn bàn cờ vua với hệ trục tọa độ Oxy, khi đó, các quân mã có tọa độ (x; y).

1. Tọa độ của vectơ đối với một hệ trục tọa độ

Khám phá 1: Hãy nêu nhận xét về độ lớn, phương và chiều của $\vec{i}$ trên trục Ox và $\vec{j}$ trên trục Oy (Hình 1).

Trả lời: Độ lớn của $\vec{i}$ bằng độ lớn của $\vec{j}$, phương và chiều của hai vectơ vuông góc với nhau.

Tọa độ của một vectơ

Khám phá 2: Trong mặt phẳng Oxy, cho một vectơ $\vec{a}$ tùy ý. Vẽ $\vec{OA}$ = $\vec{a}$ và gọi $A_{1}$, $A_{2}$ lần lượt là hình chiếu vuông góc của A lên Ox và Oy (hình 4). Đặt $\vec{OA_{1}}$ = x$\vec{i}$, $\vec{OA_{2}}$ = y$\vec{j}$. Biểu diễn vectơ $\vec{a}$ theo hai vectơ $\vec{i}$ và $\vec{j}$. 

Trả lời: $\vec{a}$ = x$\vec{i}$ + y$\vec{j}$

Tọa độ một điểm

Khám phá 3: Trong mặt phẳng Oxy, cho điểm M. Xác định tọa độ của vectơ $\vec{OM}$

Trả lời: $\vec{OM}$ = {x; y}

Thực hành 1: Trong mặt phẳng Oxy, cho ba điểm D(-1; 4), E(0; -3), F(5; 0).

a) Vẽ các điểm D, E, F trên mặt phẳng Oxy.

b) Tìm tọa độ của các vectơ $\vec{OD}$, $\vec{OE}$, $\vec{OF}$.

c) Vẽ và tìm tọa độ của hai vectơ đơn vị $\vec{i}$, $\vec{j}$ lần lượt trên hai trục tọa độ Ox, Oy.

Trả lời:

a)

b) Do D(-1; 4), E(0; -3), F(5; 0) nên $\vec{OD}$ = (-1; 4), $\vec{OE}$ = (0; -3), $\vec{OF}$ = (5; 0)

c) $\vec{i}$ = (1; 0), $\vec{j}$ = (0; 1)

Vận dụng 1: Một máy bay đang cất cánh với tốc độ 240 km/h theo phương hợp với phương nằm ngang một góc $30^{\circ}$ (Hình 7).

a) Tính độ dài mỗi cạnh của hình chữ nhật ABCD.

b) Biểu diễn vectơ vận tốc $\vec{v}$ theo hai vectơ $\vec{i}$ và $\vec{j}$.

c) Tìm tọa độ của $\vec{v}$

Trả lời: 

a) AB = DC = AC.cos$30^{\circ}$ = 240.cos$30^{\circ}$ = 120$\sqrt{3}$ (km)

BC = AD = AC.sin$30^{\circ}$ = 240.sin$30^{\circ}$ = 120 (km)

b) $\vec{v}$ = 120$\sqrt{3}$$\vec{i}$ + 120$\vec{j}$

c) $\vec{v}$(120$\sqrt{3}$; 120)

2. Biểu đồ tọa độ của các phép toán vectơ

Khám phá 4: Trong mặt phẳng Oxy, cho hai vectơ $\vec{a}$ = ($a_{1}$; $a_{2}$), $\vec{b}$ = ($b_{1}$; $b_{1}$; $b_{2}$) và số thực k. Ta đã biết có thể biểu diễn từng vectơ $\vec{a}$, $\vec{b}$ theo hai vectơ $\vec{i}$, $\vec{j}$ như sau: $\vec{a}$ = $a_{1}$$\vec{i}$ + $a_{2}$$\vec{j}$; $\vec{b}$ = $b_{1}$$\vec{i}$ + $b_{2}$$\vec{j}$.

a) Biểu diễn từng vectơ: $\vec{a}$ + $\vec{b}$, $\vec{a}$ - $\vec{b}$, k$\vec{a}$ theo hai vectơ $\vec{i}$, $\vec{j}$.

b) Tìm $\vec{a}$. $\vec{b}$ theo tọa độ của hai vectơ $\vec{a}$ và $\vec{b}$.

Trả lời:

a) $\vec{a}$ + $\vec{b}$ = $a_{1}$$\vec{i}$ + $a_{2}$$\vec{j}$ + $b_{1}$$\vec{i}$ + $b_{2}$$\vec{j}$ = ($a_{1}$ + $b_{1}$)$\vec{i}$ + ($a_{2}$ + $b_{2}$)$\vec{j}$ 

$\vec{a}$ - $\vec{b}$ = $a_{1}$$\vec{i}$ + $a_{2}$$\vec{j}$ - $b_{1}$$\vec{i}$ - $b_{2}$$\vec{j}$ = ($a_{1}$ - $b_{1}$)$\vec{i}$ + ($a_{2}$ - $b_{2}$)$\vec{j}$ 

k$\vec{a}$ = k($a_{1}$$\vec{i}$ + $a_{2}$$\vec{j}$) = k$a_{1}$$\vec{i}$ + k$a_{2}$$\vec{j}$

b) $\vec{a}$. $\vec{b}$ = ($a_{1}$$\vec{i}$ + $a_{2}$$\vec{j}$)($b_{1}$$\vec{i}$ + $b_{2}$$\vec{j}$) = $a_{1}$$\vec{i}$. $b_{1}$$\vec{i}$ + $a_{1}$$\vec{i}$. $b_{2}$$\vec{j}$ + $a_{2}$$\vec{j}$. $b_{1}$$\vec{i}$ + $a_{2}$$\vec{j}$. $b_{2}$$\vec{j}$

= $a_{1}$$b_{1}$$\vec{i}^{2}$ + $a_{1}$$b_{2}$$\vec{i}$$\vec{j}$ + $a_{2}$.$b_{1}$$\vec{i}$$\vec{j}$ + $a_{2}$$b_{2}$$\vec{j}^{2}$ 

= $a_{1}$$b_{1}$.$1^{2}$ + $a_{1}$$b_{2}$.$\vec{0}$+ $a_{2}$.$b_{1}$.$\vec{0}$ + $a_{2}$$b_{2}$.0$1^{2}$ (vì $\vec{i}$ $\perp$ $\vec{j}$)

= $a_{1}$$b_{1}$ + $a_{2}$$b_{2}$

Thực hành 2: Cho hai vectơ $\vec{m}$ = (-6; 1), $\vec{n}$ = (0; -2)

a) Tìm tọa độ các vectơ $\vec{m}$ + $\vec{n}$, $\vec{m}$ - $\vec{n}$, 10$\vec{m}$, -4$\vec{n}$

b) Tính các tích vô hướng $\vec{m}$. $\vec{n}$, (10$\vec{m}$). (-4$\vec{n}$).

Trả lời:

a) $\vec{m}$ + $\vec{n}$ = (-6 + 0; 1 - 2) = (-6; -1)

$\vec{m}$ - $\vec{n}$ = (-6 - 0; 1 + 2) = (-6; 3)

10$\vec{m}$ = (10. (-6); 10. 1) = (-60; 10)

-4$\vec{n}$ = (-4. 0; -4.(-2)) = (0; 8)

b) $\vec{m}$. $\vec{n}$ = -6. 0 + 1. (-2) = -2

(10$\vec{m}$).(-4$\vec{n}$) = -60. 0 + 10. 8 = 80

Vận dụng 2: Một thiết bị thăm dò đáy biển đang lặn với vận tốc $\vec{v}$ = (10; -8) (Hình 8). Cho biết vận tốc của dòng hải lưu vùng biển là $\vec{w}$ = (3,5; 0). Tìm tọa độ tổng hai vận tốc $\vec{v}$ và $\vec{w}$.

Trả lời:

$\vec{v}$ + $\vec{w}$ = (10 +3,5; -8 + 0) = (13,5; -8)

3. Áp dụng của tọa độ vectơ

Liên hệ giữa tọa độ của điểm và tọa độ của vectơ trong mặt phẳng

Khám phá 5: Cho hai điểm A($x_{A}$; $y_{A}$), B($x_{B}$; $y_{B}$). Từ biểu thức $\vec{AB}$ = $\vec{OB}$ - $\vec{OA}$, tìm tọa độ vectơ $\vec{AB}$ theo tọa độ hai điểm A, B.

Trả lời: 

Vì A($x_{A}$; $y_{A}$), B($x_{B}$; $y_{B}$) nên $\vec{OA}$ = {$x_{A}$; $y_{A}$); $\vec{OB}$ = ($x_{B}$; $y_{B}$)

Ta có: $\vec{AB}$ = $\vec{OB}$ - $\vec{OA}$ = ($x_{B}$ - $x_{A}$; $y_{B}$ - $y_{A}$)

Thực hành 3: Cho E(9; 9); F(8; - 7), G(0; -6). Tìm tọa độ của các vectơ $\vec{FE}$, $\vec{FG}$, $\vec{EG}$.

Trả lời:

$\vec{FE}$ = ($x_{E}$ - $x_{F}$; $y_{E}$ - $y_{F}$) = (9 - 8; 9 - (-7)) = (1; 16)

$\vec{FG}$ = ($x_{G}$ - $x_{F}$; $y_{G}$ - $y_{F}$) = (0 - 8; -6 -(-7)) = (-8; 1)

$\vec{EG}$ = ($x_{G}$ - $x_{E}$; $y_{G}$ - $y_{E}$) = (0 - 9; -6 - 9) = (-9; -15)

Tọa độ trung điểm của đoạn thẳng và trọng tâm của tam giác

Khám phá 6: Trong mặt phẳng Oxy, cho tam giác ABC có tọa độ ba đỉnh là A($x_{A}$; $y_{A}$), B($x_{B}$; $y_{B}$), C($x_{C}$; $y_{C}$). Gọi M($x_{M}$; $y_{M}$) là trung điểm của đoạn thẳng AB, G($x_{G}$; $y_{G}$) là trọng tâm của tam giác ABC.

a) Biểu thị vectơ $\vec{OM}$ theo hai vectơ $\vec{OA}$ và $\vec{OB}$.

b) Biểu thị vectơ $\vec{OG}$ theo hai vectơ $\vec{OA}$, $\vec{OB}$ và $\vec{OC}$.

c) Từ các kết quả trên, tìm tọa độ điểm M và G theo tọa độ của các điểm A, B, C.

Trả lời:

a) Vì M là trung điểm AB nên: $\vec{AM}$ = $\frac{1}{2}$$\vec{AB}$

$\Leftrightarrow$ $\vec{OM}$ - $\vec{OA}$ = $\frac{1}{2}$($\vec{OB}$ - $\vec{OA}$) 

$\Leftrightarrow$ $\vec{OM}$ = $\frac{1}{2}$($\vec{OA}$ + $\vec{OB}$)

b) Vì G là trọng tâm tam giác ABC nên 3$\vec{OG}$ = $\vec{OA}$ + $\vec{OB}$ + $\vec{OC}$

$\Leftrightarrow$ $\vec{OG}$ = $\frac{1}{3}$($\vec{OA}$ + $\vec{OB}$ + $\vec{OC}$)

c) M($\frac{x_{A} + x_{B}}{2}$; $\frac{y_{A} + y_{B}}{2}$); G($\frac{x_{A} + x_{B} + x_{C}}{3}$; $\frac{y_{A} + y_{B} + y_{C}}{3}$)

Thực hành 4: Cho tam giác QRS có tọa độ các đỉnh là Q(7; - 2), R(-4; 9) và S(5; 8).

a) Tìm tọa độ trung điểm M của cạnh QS.

b) Tìm tọa độ trọng tâm G của tam giác QRS.

Trả lời:

a) Ta có: $x_{M}$ = $\frac{x_{Q} + x_{S}}{2}$ = $\frac{7+5}{2}$ = 6; $y_{M}$ = $\frac{y_{Q} + y_{S}}{2 }$ = $\frac{-2 + 8}{2}$ = 3

Vậy M(6; 3)

b) Ta có: $x_{G}$ = $\frac{x_{Q} + x_{R} + x_{S}}{3}$ = $\frac{7 + (-4) + 5}{3}$ = $\frac{8}{3}$; $y_{G}$ = $\frac{y_{Q} + y_{R} + y_{S}}{3}$ = $\frac{-2 + 9 + 8}{3}$ = 5

Vậy G($\frac{8}{3}$; 5)

Ứng dụng biểu thức tọa độ của các phép toán vectơ

Khám phá 7: Cho hai vectơ $\vec{a}$ = ($a_{1}$; $a_{2}$), $\vec{b}$ = ($b_{1}$; $b_{2}$) và hai điểm A($x_{A}$; $y_{A}$), B($x_{B}$; $y_{B}$). Hoàn thành các phép biến đổi sau:

a) $\vec{a}$ $\perp$ $\vec{b}$ $\Leftrightarrow$ $\vec{a}$. $\vec{b}$ = 0 $\Leftrightarrow$ $a_{1}$$b_{1}$ + $a_{2}$$b_{2}$ = ?

b) $\vec{a}$ và $\vec{b}$ cùng phương $\Leftrightarrow$ $\left\{\begin{matrix}a_{1} = tb_{1}\\ a_{2} = tb_{2}\end{matrix}\right.$ hay $\left\{\begin{matrix}b_{1} = ka_{1}\\ b_{2} = ka_{2}\end{matrix}\right.$ $\Leftrightarrow$ $a_{1}$$b_{2}$ - $a_{2}$$b_{1}$ = ?

c) |$\vec{a}$| = $\sqrt{(\vec{a})^{2}}$ = $\sqrt{?}$;

d) $\vec{AB}$ = ($x_{B}$ - $x_{A}$; $y_{B}$ - $y_{A}$) $\Rightarrow$ AB = $\sqrt{(\vec{AB})^{2}}$ = $\sqrt{?}$;

e) cos($\vec{a}$, $\vec{b}$) = $\frac{\vec{a}.\vec{b}}{|\vec{a}|.|\vec{b}|}$ = $\frac{?}{\sqrt{a_{1}^{2} + a_{2}^{2}}. \sqrt{b_{1}^{2} + b_{2}^{2}}}$ ($\vec{a}$, $\vec{b}$ khác $\vec{0}$).

Trả lời:

a) $\vec{a}$ $\perp$ $\vec{b}$ $\Leftrightarrow$ $\vec{a}$. $\vec{b}$ = 0 $\Leftrightarrow$ $a_{1}$$b_{1}$ + $a_{2}$$b_{2}$ = 0

b) $\vec{a}$ và $\vec{b}$ cùng phương $\Leftrightarrow$ $\left\{\begin{matrix}a_{1} = tb_{1}\\ a_{2} = tb_{2}\end{matrix}\right.$ hay $\left\{\begin{matrix}b_{1} = ka_{1}\\ b_{2} = ka_{2}\end{matrix}\right.$ $\Leftrightarrow$ $a_{1}$$b_{2}$ - $a_{2}$$b_{1}$ = 0

c) |$\vec{a}$| = $\sqrt{(\vec{a})^{2}}$ = $\sqrt{a_{1}^{2} + a_{2}^{2}}$;

d) $\vec{AB}$ = ($x_{B}$ - $x_{A}$; $y_{B}$ - $y_{A}$) $\Rightarrow$ AB = $\sqrt{(\vec{AB})^{2}}$ = $\sqrt{(x_{B} - x_{A})^{2} + (y_{B} - y_{A})^{2}}$;

e) cos($\vec{a}$, $\vec{b}$) = $\frac{\vec{a}.\vec{b}}{|\vec{a}|.|\vec{b}|}$ = $\frac{a_{1}b_{1}+a_{2}b_{2}}{\sqrt{a_{1}^{2} + a_{2}^{2}}. \sqrt{b_{1}^{2} + b_{2}^{2}}}$ ($\vec{a}$, $\vec{b}$ khác $\vec{0}$).

Thực hành 5: Trong mặt phẳng Oxy, cho tam giác DEF có tọa độ các đỉnh là D(2; 2), E(6;2) và F(2;6).

a) Tìm tọa độ điểm H là chân đường cao của tam giác DEF kẻ từ D.

b) Giải tam giác DEF.

Trả lời:

a) Xét điểm H(x; y), ta có: $\vec{DH}$ = (x - 2; y - 2), $\vec{EH}$ = (x - 6; y - 2), $\vec{EF}$ = (-4; 4)

H(x; y) là chân đường cao của tam giác DEF kẻ từ D, nên ta có:

• $\vec{DH}$. $\vec{EF}$ $\Leftrightarrow$ (x - 2).(-4) + (y - 2). 4 = 0 $\Leftrightarrow$ -4x + 4y = 0 (1)
• Hai vectơ $\vec{EH}$, $\vec{EF}$ cùng phương $\Leftrightarrow$ (x - 6). 4 - (y - 2). (-4) = 0 $\Leftrightarrow$ 4x + 4y - 32 = 0 (2)

Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình: $\left\{\begin{matrix}-4x + 4y = 0\\ 4x + 4y - 32 = 0\end{matrix}\right.$ $\Leftrightarrow$ $\left\{\begin{matrix}x = 4\\ y = 4\end{matrix}\right.$

Vậy H(4; 4)

b) Ta có: $\vec{DE}$ = (4; 0); $\vec{DF}$ = (0; 4); $\vec{EF}$ = (-4; 4)

Suy ra: DE = |$\vec{DE}$| = $\sqrt{4^{2} + 0^{2}}$ = 4

           DF = |$\vec{DF}$| = $\sqrt{0^{2} + 4^{2}}$ = 4

           EF = |$\vec{EF}$| = $\sqrt{(-4)^{2} + 4^{2}}$ = $4\sqrt{2}$

           cosD = cos($\vec{DE}$, $\vec{DF}$) = $\frac{\vec{DE}.\vec{DF}}{DE.DF}$ = $\frac{4.0+0.4}{4.4}$ = 0 $\Rightarrow$ $\widehat{D}$ = $90^{\circ}$

Nhận thấy tam giác DEF vuông cân tại D $\Rightarrow$ $\widehat{E}$ = $\widehat{F}$ = $45^{\circ}$

Vận dụng 3: Một trò chơi trên máy tính đang mô phỏng một vùng biển có hai hòn đảo nhỏ có tọa độ B(50; 30) và C(32; -23). Một con tàu đang neo đậu tại điểm A(-10; 20).

a) Tính số đo của $\widehat{BAC}$

b) Cho biết một đơn vị trên hệ trục tọa độ tương ứng với 1 km. Tính khoảng cách từ con tàu đến mỗi hòn đảo.

Trả lời:

a) Ta có: $\vec{AB}$ = (60; 10), $\vec{AC}$ = (42; -43), $\vec{BC}$ = (-18; -53)

Suy ra: AB = |$\vec{AB}$| = $\sqrt{60^{2} + 10^{2}}$ = $10\sqrt{37}$ $\approx$ 60,8

           AC = |$\vec{AC}$| = $\sqrt{42^{2} + (-43)^{2}}$ $\approx$ 60,1

           cos$\widehat{BAC}$ = cos($\vec{AB}$, $\vec{AC}$)= $\frac{\vec{AB}.\vec{AC}}{AB.AC}$ = $\frac{60. 42 + 10. (-43)}{60,8.60,1}$ $\approx$ = 0,57 $\Rightarrow$ $\widehat{BAC}$ $\approx$ $55^{\circ}7'$

b) Khoảng cách từ con tàu đến hòn đảo B là: AB $\approx$ 60,8 (km)

    Khoảng cách từ con tàu đến hòn đảo C là AC $\approx$ 60,1 (km)