Giải toán 10 tập 2 CTST bài tập cuối chương IX

1. Trong mặt phẳng Oxy, cho bốn điểm A(2; 1), B(1; 4), C(4; 5), D(5; 2).

a) Chứng minh ABCD là hình vuông. 

b) Tìm tọa độ tâm I của hình vuông ABCD.

Trả lời: 

a) Ta có: $\vec{AB}$ = (-1; 3), $\vec{DC}$ = (-1; 3) $\Rightarrow$ $\vec{AB}$ = $\vec{DC}$ 

$\Rightarrow$ ABCD là hình bình hành.

Lại có: $\vec{AD}$ = (3; 1) $\Rightarrow$ $\vec{AB}$. $\vec{AD}$ = -1. 3 + 3. 1 = 0

$\Rightarrow$ $\vec{AB}$ $\perp$ $\vec{AD}$ hay AB $\perp$ AD

$\Rightarrow$ Hình bình hành ABCD là hình chữ nhật.

Ta có: AD = |$\vec{AD}$| = $\sqrt{3^{2} + 1^{2}}$ = $\sqrt{10}$

          AB = |$\vec{AB}$| = $\sqrt{(-1)^{2} + 3^{2}}$ = $\sqrt{10}$

$\Rightarrow$ AB = AD $\Rightarrow$ Hình chữ nhật ABCD là hình vuông (đpcm).

b) Tâm I của hình vuông ABCD là trung điểm của AC $\Rightarrow$ I = ($\frac{2 + 4}{2}$; $\frac{1+5}{2}$) $\Leftrightarrow$ I = (3; 3)

Vậy I = (3; 3).

2. Cho AB và CD là dây cung vuông góc tại E của đường tròn (O). Vẽ hình chữ nhật AECF. Dùng phương pháp tọa độ để chứng minh EF vuông góc với DB.

Trả lời:

Chọn hệ tọa độ Oxy như hình vẽ. A(a; 0), B(b; 0), C(0; c), D(0; d). Hai dây cung AB và CD vuông góc với nhau tại E (trùng với gốc tọa độ O).

Vì ACEF là hình chữ nhật nên F(a; c). 

Gọi I là tâm đường tròn (O), K và H lần lượt là chân đường cao hạ từ I tới AB, CD.

$\Rightarrow$ K là trung điểm của AB $\Rightarrow$ K = ($\frac{a + b}{2}$; 0)

     H là trung điểm của CD $\Rightarrow$ H = (0; $\frac{c + d}{2}$)

$\Rightarrow$ I = ($\frac{a + b}{2}$; $\frac{c + d}{2}$)

Ta có: $\vec{IA}$ = (a - $\frac{a + b}{2}$; -$\frac{c + d}{2}$) = ($\frac{a - b}{2}$; -$\frac{c + d}{2}$)

         $\vec{IC}$ = ( -$\frac{a + b}{2}$; c - $\frac{c + d}{2}$) = (-$\frac{a + b}{2}$; $\frac{c - d}{2}$

Vì IA = IC (=R) $\Rightarrow$ $(\frac{a - b}{2})^{2}$ + $(-\frac{c + d}{2})^{2}$ = $(-\frac{a + b}{2})^{2}$ + $(\frac{c - d}{2})^{2}$

$\Leftrightarrow$ $(a - b)^{2}$ + $(c + d)^{2}$ = $(a + b)^{2}$ + $(c - d)^{2}$

$\Leftrightarrow$ $a^{2} - 2ab + b^{2} + c^{2} + 2cd + d^{2}$ = $a^{2} + 2ab + b^{2} + c^{2} - 2cd + d^{2}$

$\Leftrightarrow$ 4ab = 4cd $\Leftrightarrow$ ab = cd $\Leftrightarrow$ ab - cd = 0

Ta có: $\vec{EF}$ = (-a; -c}, $\vec{BD}$ = (-b; d)

$\Rightarrow$ $\vec{EF}$. $\vec{BD}$ = (-a).(-b) - c.d = ab - cd = 0 (chứng minh trên)

$\Rightarrow$ $\vec{EF}$ $\perp$ $\vec{BD}$ hay EF $\perp$ BD (đpcm).

3. Tìm tọa độ giao điểm và góc giữa hai đường thẳng $d_{1}$ và $d_{2}$ trong mỗi trường hợp sau:

a) $d_{1}$: x - y + 2 = 0 và $d_{2}$: x + y + 4 = 0;

b) $d_{1}$: $\left\{\begin{matrix}x = 1 + t\\y = 3 + 2t \end{matrix}\right.$ và $d_{2}$: x - 3y + 2 = 0;

c) $d_{1}$: $\left\{\begin{matrix}x = 2 - t\\y = 5 + 3t \end{matrix}\right.$ và $d_{2}$: $\left\{\begin{matrix}x = 1 + 3t'\\3 + 1t' \end{matrix}\right.$

Trả lời:

a) Đường thẳng $d_{1}$ và $d_{2}$ có vectơ pháp tuyến lần lượt là $\vec{n_{1}}$ = (1; -1) và $\vec{n_{2}}$ = (1; 1).

Ta có: $\vec{n_{1}}$. $\vec{n_{2}}$ = 1. 1 + (-1). 1 = 0 nên $\vec{n_{1}}$ và $\vec{n_{2}}$ là hai vectơ vuông góc $\Rightarrow$ $d_{1}$ $\perp$ $d_{2}$ $\Rightarrow$ ($d_{1}$, $d_{2}$) = $90^{\circ}$.

Giao điểm M của $d_{1}$ và $d_{2}$ là nghiệm của hệ phương trình: 

$\left\{\begin{matrix}x - y + 2 = 0\\x + y + 4 = 0 \end{matrix}\right.$ $\Leftrightarrow$ $\left\{\begin{matrix}x = -3 \\y = -1\end{matrix}\right.$

Vậy $d_{1}$ và $d_{2}$ vuông góc và cắt nhau tại M(-3; -1).

b) Ta có: $\vec{u_{1}}$ = (1; 2) là vectơ chỉ phương của $d_{1}$ $\Rightarrow$ $\vec{n_{1}}$ = (2; -1) là vectơ pháp tuyến của $d_{1}$.

Phương trình tổng quát của $d_{1}$ đi qua điểm A(1; 3) và nhận $\vec{n_{1}}$ = (2; -1) làm vectơ pháp tuyến là: 2(x - 1) - (y - 3) = 0 $\Leftrightarrow$ 2x - y + 1 = 0

Đường thẳng $d_{2}$ có vectơ pháp tuyến là $\vec{n_{2}}$ = (1; -3)

Ta có: $\frac{2}{1}$ $\neq$ $\frac{-1}{-3}$ $\Rightarrow$ $\vec{n_{1}}$ và $\vec{n_{2}}$ là hai vectơ không cùng phương.

$\Rightarrow$ $d_{1}$ và $d_{2}$ cắt nhau. Giao điểm M của $d_{1}$ và $d_{2}$ là nghiệm của hệ phương trình:

$\left\{\begin{matrix}2x - y + 1 = 0\\x - 3y + 2 = 0\end{matrix}\right.$ $\Leftrightarrow$ $\left\{\begin{matrix}x = \frac{-1}{5}\\y = \frac{3}{5}\end{matrix}\right.$

Ta có: cos($d_{1}$, $d_{2}$) = $\frac{|2. 1 + (-1). (-3)|}{\sqrt{2^{2} + (-1)^{2}}.\sqrt{1^{2} + (-3)^{2}}}$ = $\frac{\sqrt{2}}{2}$ $\Rightarrow$ ($d_{1}$, $d_{2}$) = $45^{\circ}$

Vậy $d_{1}$ cắt $d_{2}$ tại điểm M($\frac{-1}{5}$; $\frac{3}{5}$) và ($d_{1}$, $d_{2}$) = $45^{\circ}$.

c) Phương trình tổng quát của $d_{1}$ và $d_{2}$ lần lượt là:

$d_{1}$: 3x + y - 11 = 0 và $d_{2}$: x - 3y + 8 = 0

Ta có: $\vec{n_{1}}$. $\vec{n_{2}}$ = 3. 1 + 1. (-3) = 0 $\Rightarrow$ $\vec{n_{1}}$ $\perp$ $\vec{n_{2}}$ hay $d_{1}$ $\perp$ $d_{2}$ $\Rightarrow$ ($d_{1}$, $d_{2}$) = $90^{\circ}$.

Giao điểm M của đường thẳng $d_{1}$ và $d_{2}$ là nghiệm của hệ phương trình:

$\left\{\begin{matrix}3x + y - 11 = 0\\x - 3y + 8 = 0\end{matrix}\right.$ $\Leftrightarrow$ $\left\{\begin{matrix}x = \frac{5}{2}\\y = \frac{7}{2}\end{matrix}\right.$

Vậy $d_{1}$ và $d_{2}$ vuông góc và cắt nhau tại M($\frac{5}{2}$; $\frac{7}{2}$).

4. Tính bán kính của đường tròn tâm M(-2; 3) và tiếp xúc với đường thẳng: 

d: 14x - 5y + 60 = 0

Trả lời:

Ta có: R = d(M; d) = $\frac{|14. (-2) - 5. 3 + 60|}{\sqrt{14^{2} + (-5)^{2}}}$ = $\frac{\sqrt{221}}{13}$

5. Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng:

$\Delta$: 6x + 8y - 13 = 0     và      $\Delta'$: 3x + 4y - 27 = 0

Trả lời:

Ta có: $\frac{6}{3}$ = $\frac{8}{4}$ $\neq$ $\frac{-13}{-27}$ $\Rightarrow$ $\Delta$ // $\Delta'$

Lấy điểm A(0; $\frac{13}{8}$) $\in$ $\Delta$.

Ta có: d($\Delta$, $\Delta'$) = d(A; $\Delta'$) = $\frac{|4.\frac{13}{8}-27|}{\sqrt{3^{2} + 4^{2}}}$ = $\frac{41}{10}$