Soạn mới giáo án Toán 11 cánh diều bài Chương 1 Bài 3: Hàm số lượng giác và đồ thị

HĐ CỦA GV VÀ HS

SẢN PHẨM DỰ KIẾN

Bước 1: Chuyển giao nhiệm vụ:

Nhiệm vụ 1: Tìm hiểu hàm số chẵn, hàm số lẻ.

- GV cho HS làm HĐ1 theo hướng dẫn trong SGK.

+ GV mời 1 HS trả lời phần a, 1 HS trả lời phần b.

- Từ đó HS rút ra kết luận về kh niệm hàm số chẵn, hàm số lẻ.

- GV trình bày khung kiến thức trọng tâm lên bảng và cho HS ghi bài vào vở.

- GV lưu ý cho HS về trục và tâm đối xứng của đồ thị hàm số chẵn và hàm số lẻ.

- GV hướng dẫn cho HS thực hiện Ví dụ 1 để biết cách xác định một hàm số chẵn hay lẻ.

+ Tìm tập xác định của hàm số f(x).

+ Áp dụng khái niệm:  thì  và .

- GV cho HS thảo luận nhóm đôi về phần Luyện tập 1.

+ GV gọi 1 HS trình bày cách xét tính chẵn lẻ của hàm số g(x).

+ GV gợi ý cho HS phần b, tìm hàm số, khi  thì  và  và

Ví dụ: .

Khi đó:

=>  và

=> Hàm số không chẵn không lẻ.

Nhiệm vụ 2: Tìm hiểu hàm số tuần hoàn.

- GV cho HS quan sát hình 21 và thực hiện các phần trong HĐ2.

+ Phần a, GV mời 1 HS đứng tại chỗ trả lời nhanh.

+ GV hướng dẫn phần b:

Hàm số  xác định trên , quan sát đồ thị hình 21 thấy:

.

.

- GV kết luận và giới thiệu cho HS định nghĩa về hàm số tuần hoàn và chu kì của hàm số tuần hoàn.

- GV hướng dẫn HS làm Ví dụ 2 chứng minh hàm số tuần hoàn.

+ Ta xét một số thực x và T là số hữu tỉ dương.

Nếu x là số hữu tỉ thì x + T có là số hữu tỉ không?

Nếu x là số vô tỉ, thì x + T có là số vô tỉ không?

Từ đó ta có nhận xét gì về f(x + T) và f(x)?

- HS tự lấy ví dụ về hàm số tuần hoàn để thực hiện Luyện tập 2.

+ GV mời một số HS lấy ví dụ và chứng minh đó là hàm số tuần hoàn.

- GV đặt câu hỏi cho HS:

Quan sát đồ thị hình 21 và cho biết:

Từ đồ thị hàm số đó trên đoạn [a; a + T], ta dịch chuyển song song với trục hoành sang phải hoặc sang trái theo đoạn có độ dài T thì ta được đồ thị hàm số trên đoạn nào?

Bước 2: Thực hiện nhiệm vụ:

- HS theo dõi SGK, chú ý nghe, tiếp nhận kiến thức, hoàn thành các yêu cầu, thảo luận nhóm.

- GV quan sát hỗ trợ.

Bước 3: Báo cáo, thảo luận:

- HS giơ tay phát biểu, lên bảng trình bày

- Một số HS khác nhận xét, bổ sung cho bạn.

Bước 4: Kết luận, nhận định: GV tổng quát lưu ý lại kiến thức trọng tâm:

+ Hàm số chẵn, hàm số lẻ, hàm số tuần hoàn.

I. Hàm số chẵn, hàm số lẻ, hàm số tuần hoàn.

1. Hàm số chẵn, hàm số lẻ.

HĐ1

a) Hàm số

+ Với ta có:

Do đó

+ Trục đối xứng của (P) là đường thẳng x = 0, hay chính là trục Oy.

b) Hàm số

+ Với , ta có:  và .

Do đó .

+ Gốc tọa độ O là tâm đối xứng của đường thẳng d.

=> Ta nói hàm số  là hàm số chẵn; hàm số  là hàm số lẻ.

Khái niệm

Cho hàm số  với tập xác định D.

+ Hàm số  được gọi là hàm số chẵn nếu  thì  và .

+ Hàm số  được gọi là hàm số lẻ nếu  thì  và .

Chú ý

- Đồ thị hàm số chẵn nhận trục tung làm trục đối xứng.

- Đồ thị hàm số lẻ nhận gốc tọa độ làm tâm đối xứng.

Ví dụ 1: (SGK – tr.22).

Hướng dẫn giải (SGK – tr.22).

Luyện tập 1

a) Xét hàm số  có tập xác định .

 thì , ta có:

Do đó hàm số  là hàm số lẻ.

b) Ví dụ về hàm số không là hàm số chẵn và cũng không là hàm số lẻ:

2. Hàm số tuần hoàn.

HĐ2

a) Đồ thị hàm số trên mỗi đoạn [a ; a + T], [a + T; a + 2T], [a – T; a] có dạng giống nhau.

b) Ta có:

Định nghĩa:

Cho hàm số  với tập xác định D. Hàm số  được gọi là tuần hoàn nếu tồn tại một số T khác 0 sao cho với mọi , ta có:

•  và .

•

Số T nhỏ nhất thỏa mãn (nếu có) các tính chất trên được gọi là chu kì của hàm số tuần hoàn đó.

Ví dụ 2: (SGK – tr.23).

Hướng dẫn giải (SGK – tr.24).

Luyện tập 2

Ví dụ về hàm số tuần hoàn:

Cho T là một số hữu tỉ và hàm số f(x) được cho bởi công thức sau:

Chứng minh:

 có tập xác định trên .

Nếu x là số hữu tỉ thì x + T cũng là số hữu tỉ;

Nếu x là số vô tỉ thì x + T cũng là số vô tỉ.

Do đó f(x + T) = f(x) với mọi x.

Vậy hàm số f(x) là hàm số tuần hoàn.

Nhận xét

Cho hàm số tuần hoàn chu kì T. Từ đồ thị hàm số đó trên đoạn [a; a + T], ta dịch chuyển song song với trục hoành sang phải (hoặc sang trái) theo đoạn có độ dài T thì được đồ thị hàm số trên đoạn [a + T; a + 2T] (hoặc [a – T; a]).

HOẠT ĐỘNG CỦA GV VÀ HS

SẢN PHẨM DỰ KIẾN

Bước 1: Chuyển giao nhiệm vụ:

Nhiệm vụ 1: Nhận biết định nghĩa của hàm số .

- GV cho HS thực hiện HĐ3 theo SGK.

GV mời 1 HS đứng tại chỗ trình bày đáp án.

- HS rút ra kết luận sau phần HĐ3

- GV giới thiệu định nghĩa về hàm số  cho HS.

Nhiệm vụ 2: Tìm hiểu đồ thị của hàm số .

- GV triển khai phần HĐ4 cho HS thực hiện theo nhóm 4 HS sử dụng phương pháp khăn trải bàn.

+ Phần a, HS tự thực hiện và nêu đáp án.

- Phần b, Lập bảng tương tự câu a và lấy thêm các điểm x trong đoạn  sau đó biểu diễn các điểm này trên đồ thị hàm số ta sẽ được đồ thị hàm số  trên đoạn .

- Phần c, HS làm tương tự như câu b, và mở rộng trên các đoạn .

Nhiệm vụ 3: Tìm hiểu tính chất của hàm số .

- GV cho HS thực hiện HĐ5 theo nhóm đôi và trả lời câu hỏi dựa trên những gợi ý từ SGK.

 HS tự thực hiện phần a, phần b.

 GV hướng dẫn phần c:

+ Quan sát hình 24 và cho biết: Nếu di chuyển đồ thị y = sin x trên đoạn  song song với trục hoành sang phải theo đoạn có độ dài  ta có nhận được đồ thị hàm số y = sin x trên  hay không?

+ Ta xét , với . Vậy  có bằng  không?

+ Phần d, quan sát hình 24 và cho biết hàm số  đồng biến và nghịch biến trên khoảng nào?

- Từ đó HS rút ra các tính chất của hàm số . GV chính xác hóa bằng cách nêu phần Tính chất trong khung kiến thức trọng tâm cho HS.

- HS đọc – hiểu Ví dụ 3 và trình bày lại cách thực hiện.

- GV cho HS thực hiện Luyện tập 3 và chỉ định 1 HS lên bảng làm bài.

+ GV chữ bài chi tiết cho HS rút kinh nghiệm.

- GV đặt câu hỏi: Quan sát đồ thị hàm số , tại những giá trị x nào thì sin x = 0? Vậy tập hợp số thực của x để  là tập hợp nào?

+ GV nêu phần Nhận xét để chính xác hóa câu trả lời.

Bước 2: Thực hiện nhiệm vụ:

- HS theo dõi SGK, chú ý nghe, tiếp nhận kiến thức, suy nghĩ trả lời câu hỏi, hoàn thành các yêu cầu.

- GV: quan sát và trợ giúp HS.

Bước 3: Báo cáo, thảo luận:

- HS giơ tay phát biểu, lên bảng trình bày

- Một số HS khác nhận xét, bổ sung cho bạn.

Bước 4: Kết luận, nhận định: GV tổng quát lưu ý lại kiến thức trọng tâm và yêu cầu HS ghi chép đầy đủ vào vở:

+ Định nghĩa của hàm số ;

+ Đồ thị của hàm số ;

+ Tính chất của hàm số .

II. Hàm số .

1. Định nghĩa.

HĐ3

Giả sử tung độ của điểm M là y.

Khi đó ta có sinx = y.

=> Ứng với mỗi số thực x, có duy nhất một giá trị .

Định nghĩa:

Quy tắc đặt tương ứng mỗi số thực x với một số thực  được gọi là hàm số .

Tập xác định của hàm số  là .

2. Đồ thị của hàm số

HĐ4

a) Thay từng giá trị của x vào hàm số y = sinx ta có bảng sau:

b) Lấy thêm một số điểm  với   trong bảng sau và nối lại ta được đồ thị hàm số  trên đoạn .

c) Làm tương tự như trên đối với các đoạn , ta có đồ thị hàm số  trên  được biểu diễn ở hình vẽ sau:

3. Tính chất của hàm số .

HĐ5

a) Tập giá trị của hàm số  là [-1; 1].

b) Gốc toạ độ O là tâm đối xứng của đồ thị hàm số.

Do đó hàm số  là hàm số lẻ.

c)

 ‒ Bằng cách dịch chuyển đồ thị hàm số  trên đoạn  song song với trục hoành sang phải theo đoạn có độ dài , ta sẽ nhận được đồ thị hàm số  trên đoạn .

Làm tương tự như trên ta sẽ được đồ thị hàm số  là hàm số tuần hoàn với chu kì .

- Xét hàm số  trên , với  và .

+  và .

+ .

Do đó hàm số y = sinx là hàm số tuần hoàn với chu kì T = 2π.

d) Quan sát đồ thị hàm số  ta thấy:

• Hàm số đồng biến trên mỗi khoảng

Ta có: ; ; ….

Do đó ta có thể viết hàm số đồng biến trên mỗi khoảng  với .

• Hàm số nghịch biến trên mỗi khoảng 

Ta có: ; …

Do đó ta có thể viết hàm số nghịch biến trên mỗi khoảng  với .

Tính chất

+ Hàm số  là hàm số lẻ, có đồ thị đối xứng qua gốc tọa độ;

+ Hàm số  tuần hoàn chu kì .

+ Hàm số  đồng biến trên khoảng , nghịch biến trên mỗi khoảng  với .

Ví dụ 3: (SGK – tr.25).

Hướng dẫn giải (SGK – tr.23).

Luyện tập 3

Do  

 nên hàm số  nghịch biến trên khoảng .

Nhận xét

Dựa vào đồ thị của hàm số  (hình 24), ta thấy  tại những giá trị . Vì vậy, tập hợp các số thực x sao cho  là .

HĐ CỦA GV VÀ HS

SẢN PHẨM DỰ KIẾN

Bước 1: Chuyển giao nhiệm vụ:

Nhiệm vụ 1: Tìm hiểu định nghĩa hàm số

- GV triển khai HĐ6 cho HS thực hiện và trình bày đáp án.

+ GV chỉ định 1 HS đứng tại chỗ nêu cách làm.

+ HS rút ra kết luận sau khi thực hiện HĐ.

- GV giới thiệu định nghĩa về hàm số  cho HS.

Nhiệm vụ 2: Tìm hiểu về đồ thị hàm số .

- GV triển khai thực hiện HĐ7. GV cho HS thảo luận theo nhóm 3 để thực hiện HĐ.

+ Phần a, HS có thể sử dụng MTCT để thực hiện tính toán.

+ Phần b, lấy thêm các điểm  và tính toán như phần a để được giá trị của y. sau đó biểu diễn trên trục tọa độ.

Nhiệm vụ 3: Tìm hiểu về tính chất của hàm số y = cos x

- GV tổ chức hoạt động nhóm 5 người cho HS thực hiện phiếu học tập để hoàn thành HĐ8.

- GV trình bày tính chất trong khung kiến thức trọng tâm lên bảng và yêu cầu HS ghi bài vào vở.

- GV hướng dẫn cho HS làm Ví dụ 4.

+ Tách được  và  

+ Ta thấy  nên hàm số  nghịch biến.

- HS tự thực hiện Luyện tập 4 sau đó GV chỉ định 1 HS lên bảng trình bày.

+ Các HS còn lại làm bài và đối chiếu đáp án với bài giải trên bảng.

Bước 2: Thực hiện nhiệm vụ:

- HS theo dõi SGK, chú ý nghe, tiếp nhận kiến thức, hoàn thành các yêu cầu, thảo luận nhóm.

- GV quan sát hỗ trợ.

Bước 3: Báo cáo, thảo luận:

- HS giơ tay phát biểu, lên bảng trình bày

- Một số HS khác nhận xét, bổ sung cho bạn.

Bước 4: Kết luận, nhận định: GV tổng quát lưu ý lại kiến thức trọng tâm:

+ Định nghĩa của hàm số ;

+ Đồ thị của hàm số ;

+ Tính chất của hàm số .

III. Hàm số

1. Định nghĩa

HĐ6

Giả sử hoành độ của điểm M là y.

Khi đó ta có .

=> Ứng với mỗi số thực x, có duy nhất một giá trị .

Định nghĩa

Quy tắc đặt tương ứng mỗi số thực x với một số thực  được gọi là hàm số .

Tập xác định của hàm số  là .

2. Đồ thị của hàm số .

HĐ7

a) Thay từng giá trị của x vào hàm số y = cos x ta có bảng sau:

b) Lấy thêm một số điểm  với   trong bảng sau và nối lại ta được đồ thị hàm số  trên đoạn .

c) Làm tương tự như trên đối với các đoạn  ta có đồ thị hàm số  trên  được biểu diễn ở hình vẽ sau:

3. Tính chất của hàm số .

HĐ8

a) Tập giá trị của hàm số y = cos x là [‒1; 1].

b) Trục tung là trục đối xứng của đồ thị hàm số.

Do đó hàm số y = cos x là hàm số chẵn.

c)

‒ Bằng cách dịch chuyển đồ thị hàm số  trên đoạn [‒π; π] song song với trục hoành sang phải theo đoạn có độ dài 2π, ta sẽ nhận được đồ thị hàm số  trên đoạn [π; 3π].

Làm tương tự như trên ta sẽ được đồ thị hàm số  trên ℝ.

‒ Xét hàm số  trên ℝ, với  và  ta có:

•  và ;

•

Do đó hàm số  là hàm số tuần hoàn với chu kì .

d) Quan sát đồ thị hàm số  ta thấy:

• Hàm số đồng biến trên mỗi khoảng

Ta có: 

…

Do đó ta có thể viết hàm số đồng biến trên mỗi khoảng  với .

• Hàm số nghịch biến trên mỗi khoảng

Ta có: 

Do đó ta có thể viết hàm số nghịch biến trên mỗi khoảng  với .

Tính chất

+ Hàm số  là hàm số chẵn, có đồ thị đối xứng qua trục tung.

+ Hàm số  tuần hoàn chu kì .

+ Hàm số  đồng biến trên mỗi khoảng , nghịch biến trên mỗi khoảng  với .

Ví dụ 4: (SGK – tr.27).

Hướng dẫn giải (SGK – tr.27).

Luyện tập 4

Do  nên hàm số  nghịch biến trên khoảng .