Giải chi tiết chuyên đề Toán 11 chân trời mới bài 2 Phép tịnh tiến

a) Ta có: $\vec{MM'}=\vec{u}=(3;2)$

Do đó: $\left\{\begin{matrix}-8-x_{M}=3\\5-y_{M}=2\end{matrix}\right.\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}x_{M}=-11\\y_{M}=3\end{matrix}\right.$

Vậy M(-11; 3)

b) Đường tròn (C) tâm I(2; -3), bán kính R = 2

Gọi I' là tâm đường tròn ảnh của đường tròn (C)

Ta có: $\vec{II'}=\vec{v}=(3;2)$

Do đó: $\left\{\begin{matrix}x_{I'}-2=3\\y_{I'}=2\end{matrix}\right.\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}x_{I'}=5\\y_{I'}=-1\end{matrix}\right.\Leftrightarrow I'(5;-1)$

Vậy ảnh của đường tròn (C): $(x-2)^{2}+(y+3)^{2}=4$ qua $T_{\vec{v}}$ là đường tròn tâm I'(5; -1), bán kính R = 2. 

Vận dụng 2: Trong Hình 8, người thợ sửa xe đã dùng kích nâng thủy lực để đưa ô tô từ mặt đất đến vị trí cần thiết thông qua phép biến hình nào?

Hướng dẫn trả lời:

Trong Hình 8, người thợ sửa xe đã dùng kích nâng thủy lực để đưa ô tô từ mặt đất đến vị trí cần thiết thông qua phép tịnh tiến vectơ $\vec{AB}$

BÀI TẬP

1. Cho phép tịnh tiến $T_{\vec{u}}$ và phép tịnh tiến $T_{\vec{u}}$. Với điểm M bất kì, $T_{\vec{u}}$ biến M thành M', $T_{\vec{u}}$ biến M' thành M''. Hỏi có phép tịnh tiến nào biến điểm M thành M'' không?

Hướng dẫn trả lời:

Có thể tồn tại phép tịnh tiến vectơ $\vec{g}$ biến điểm M thành M''.

2. Cho đường tròn (O) và hai điểm A, B. Khi điểm M thay đổi trên đường tròn (O) thì điểm M' thay đổi trên đường nào để $\vec{MM'}+\vec{MA}=\vec{MB}$?

Hướng dẫn trả lời:

Ta có: $\vec{MM'}=\vec{MB}-\vec{MA}=\vec{AB}$ nên phép tịnh tiến T theo vectơ $\vec{AB}$ biến M thành M'. 

Nếu gọi O' là ảnh của O qua phép tịnh tiến T, tức là $\vec{OO'}=\vec{AB}$

Suy ra: Quỹ tích điểm M' là đường tròn tâm O' có bán kính bằng bán kính đường tròn (O).

3. Cho phép tịnh tiến $T_{\vec{u}}$ trong đó $\vec{u}=(3;5)$

a) Tìm ảnh của các điểm A(-3; 4), B(2; -7) qua $T_{\vec{u}}$

b) Biết rằng M'(2; 6) là ảnh của điểm M qua $T_{\vec{u}}$. Tìm tọa độ của điểm M.

c) Tìm ảnh của đường thẳng d: 4x - 3y + 7 = 0 qua $T_{\vec{u}}$

Hướng dẫn trả lời:

a) Gọi A', B' lần lượt là ảnh của các điểm A(-3; 4), B(2; -7) qua $T_{\vec{u}}$

Ta có:$\vec{AA'}=\vec{u}=(3;5)$

Suy ra: $\left\{\begin{matrix}x_{A'}+3=3\\y_{A'}-4=5\end{matrix}\right.\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}x_{A'}=0\\y_{A'}=9\end{matrix}\right.\Leftrightarrow A'(0;9)$

Ta có: $\vec{BB'}=\vec{u}=(3;5)$

Suy ra: $\left\{\begin{matrix}x_{B'}-2=3\\y_{B'}+7=5\end{matrix}\right.\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}x_{B'}=5\\y_{B'}=-2\end{matrix}\right.\Leftrightarrow B'(5;-2)$

b) Ta có: $\vec{MM'}=\vec{u}=(3;5)$

Suy ra: $\left\{\begin{matrix}2-x_{M}=3\\6-y_{M}=5\end{matrix}\right.\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}x_{M}=-1\\y_{M}=1\end{matrix}\right.\Leftrightarrow M(-1;1)$

c) Lấy điểm C thuộc đường thẳng d. Suy ra $C(-\frac{7}{4};0)$

Gọi C' và d' lần lượt là ảnh của C và đường thẳng d qua $T_{\vec{u}}$⃗  và C' thuộc d'.

Ta có: $\vec{CC'}=\vec{u}=(3;5)$

Suy ra: $\left\{\begin{matrix}x_{C'}+\frac{7}{4}=3\\y_{C'}=5\end{matrix}\right.\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}x_{C'}=\frac{5}{4}\\y_{C'}=5\end{matrix}\right.\Leftrightarrow C'(\frac{5}{4};5)$

Ta có: d' là đường thẳng đi qua $C'(\frac{5}{4};5)$ và có cùng vectơ pháp tuyến với d

Suy ra: d' có phương trình: $4(x-\frac{5}{4})+(-3)(y-5)=0$ hay 4x - 3y + 10 = 0.

4. Cho hai điểm B, C cố định trên đường tròn (O; R) và một điểm A thay đổi trên đường tròn đó. Chứng minh trực tâm H của tam giác ABC luôn nằm trên một đường tròn cố định.

Hướng dẫn trả lời:

Kẻ đường kính BD.

Ta có: CH vuông góc với AB, AD vuông góc với AB, suy ra CH // AD

DC vuông góc với BC, AH vuông góc với BC, suy ra DC // AH

Do đó: Tứ giác ADCH là hình bình hành 

Suy ra AH = DC và AH // DC hay $\vec{AH}=\vec{DC}$

Kẻ OO' // AH sao cho OO' = AH

Ta có: Tứ giác AOO'H là hình bình hành

Có: OO' // AH mà AH // DC nên OO' // AH // DC 

Mà OO' = AH = DC 

Nên $\vec{OO'}=\vec{AH}=\vec{DC}$

Do đó: $O=T_{\vec{DC}}(O)$ và $H=T_{\vec{DC}}(A)$

Suy ra: Đường tròn tâm O' là ảnh của đường tròn (O; R) qua $T_{\vec{DC}}$ (1)

Vì AOO'H là hình bình hành nên OA = O'H = R (2)

Từ (1)(2) suy ra: H thuộc đường tròn tâm O', bán kính O'H = R.

5. Trong Hình 9, tìm các vectơ $\vec{u},\vec{v}$ sao cho phép tịnh tiến $T_{\vec{u}}$ biến hình mũi tên (A) thành hình mũi tên (B) và phép tịnh tiến $T_{\vec{v}}$ biến hình mũi tên (A) thành hình mũi tên (C).

Hướng dẫn trả lời:

Ta có: Phép tịnh tiến $T_{\vec{u}}$ hay mũi tên đỏ biến hình mũi tên (A) thành hình mũi tên (B).

phép tịnh tiến $T_{\vec{v}}$ hay mũi tên vàng biến hình mũi tên (A) thành hình mũi tên (C).