Giải chi tiết chuyên đề Toán 11 chân trời mới bài 5 Phép quay

1. ĐỊNH NGHĨA

Khám phá 1: 

a) Tìm phép biến hình biến △BAC thành △BA'C' (Hình 1).

b) Trong mặt phẳng, cho điểm O cố định (Hình 2). Gọi f là quy tắc tương ứng với mỗi điểm M trùng O cho ta điểm O và ứng với điểm M khác O cho ta một điểm M' xác định như sau: 

- Dùng compa vẽ đường tròn (C) tâm O bán kính OM.

- Trên (C) chọn điểm M' sao cho góc lượng giác (OM, OM') bằng $60^{o}$

Quy tắc f có phải là một phép biến hình không?

Hãy vẽ điểm M' theo quy tắc trên nếu thay góc $60^{o}$ bởi góc $-30^{o}$

Hướng dẫn trả lời:

a) Phép quay tâm B, góc $\varphi=\widehat{ABA'}=\widehat{CBC'}=90^{o}$ biến △BAC thành △BA'C'.

b) Quy tắc f là một phép biến hình.

Thực hành 1: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, tìm tọa độ của các điểm là ảnh của điểm $M(\sqrt{2},\sqrt{2})$ lần lượt qua các phép quay $Q_{(O,45^{o})}$, $Q_{(O,90^{o})}$, $Q_{(O,180^{o})}$, $Q_{(O,360^{o})}$ 

Hướng dẫn trả lời:

Ta có: $N(0;\sqrt{2})$ là ảnh của $M(\sqrt{2};\sqrt{2})$ qua phép quay $Q_{(O,45^{o})}$ 

$P(-\sqrt{2},\sqrt{2})$ là ảnh của $M(\sqrt{2};\sqrt{2})$ qua phép quay $Q_{(O,90^{o})}$ 

$Q(-\sqrt{2};-\sqrt{2})$ là ảnh của $M(\sqrt{2};\sqrt{2})$ qua phép quay $Q_{(O,180^{o})}$ 

$M(\sqrt{2},\sqrt{2})$ là ảnh của $M(\sqrt{2};\sqrt{2})$ qua phép quay $Q_{(O,4360^{o})}$ 

Vận dụng 1: Một con tàu đang di chuyển theo hướng bắc. Người lái tàu phải thực hiện phép quay nào trên bánh lái để con tàu:

a) Rẽ sang hướng tây?

b) Rẽ sang hướng đông?

Hướng dẫn trả lời:

Gọi O là tâm bánh lái

a) Người lái tàu thực hiện phép quay tâm O, góc quay $\varphi=90^{o}$ trên bánh lái để con tàu rẽ sang hướng tây.

b) Người lái tàu thực hiện phép quay tâm O, góc quay $\varphi=-90^{o}$ trên bánh lái để con tàu rẽ sang hướng đông.

2. TÍNH CHẤT

Khám phá 2: Cho phép quay $Q_{(O,\varphi)}$ và hai điểm tùy ý A, B (O, A, B không thẳng hàng) như Hình 6. Vẽ A', B' là ảnh của A, B qua phép quay. Hai tam giác OAB và OA'B' có bằng nhau không?

Hướng dẫn trả lời:

Hai tam giác OAB và OA'B' có bằng nhau.

Thực hành 2: Cho hình vuông ABCD có cạnh bằng a và có tâm I, tìm ảnh qua phép quay $Q_{(I,90^{o})}$ của các hình sau: 

a) Tam giác IAB;

b) Đường thẳng BC;

c) Đường tròn (B, a). 

Hướng dẫn trả lời:

Ta có: I là tâm của hình vuông ABCD nên AC vuông góc với BD tại I.

a) I là ảnh của I qua phép quay $Q_{(I,90^{o})}$

D là ảnh của I qua phép quay $Q_{(I,90^{o})}$

A là ảnh của B qua phép quay $Q_{(I,90^{o})}$

Do đó: Tam giác IDA là ảnh của tam giác IAB qua phép quay $Q_{(I,90^{o})}$

b) A là ảnh của B qua phép quay $Q_{(I,90^{o})}$

B là ảnh của C qua phép quay $Q_{(I,90^{o})}$

Do đó: Đường thẳng AB là ảnh của đường thẳng BC qua phép quay $Q_{(I,90^{o})}$

c) A là ảnh của B qua phép quay $Q_{(I,90^{o})}$

Do đó: Đường tròn (A, a) là ảnh của đường tròn (B, a) qua phép quay $Q_{(I,90^{o})}$

Vận dụng 2: Kính lục phân là một dụng cụ quang học sử dụng gương quay để thực hiện phép quay $Q_{(O,\varphi)}$ biến tia Ox (song song với đường chân trời) thành tia Oy (song song với trục Trái Đất), nhờ đó đo được góc $\varphi$ giữa trục của Trái Đất và đường chân trời tại vị trí của người đo. Hãy giải thích tại sao góc $\varphi$ của phép quay này lại cho ta vĩ độ tại điểm sử dụng kính.

Hướng dẫn trả lời:

Do a // b nên $\widehat{IOM}=\widehat{OIN}=\varphi$

Ta có Ox vuông góc với d nên $\widehat{MOx}=90^{o}-\varphi$

Mà $\widehat{MOx}=90^{o}-\widehat{xOy}$ (Oy vuông góc với a)

Nên góc xOy bằng $\varphi$. Vì $\widehat{NIO}=\varphi$ là vĩ độ nên phép quay tạo góc xOy cho ta vĩ độ. 

BÀI TẬP

1. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho các điểm A(-4; 2), B(-4; 5) và C(-1; 3).

a) Chứng minh các điểm A'(2; 4), B'(5; 4) và C'(3; 1) theo thứ tự là ảnh của A, B, C qua phép quay tâm O với góc quay $-90^{o}$

b) Gọi $\Delta A_{1}B_{1}C_{1}$ là ảnh của △ABC qua phép dời hình có được bằng cách thực hiện phép quay tâm O với góc quay $-90^{o}$ và phép đối xứng qua Ox. Tìm tọa độ các đỉnh của $\Delta A_{1}B_{1}C_{1}$

Hướng dẫn trả lời:

a) Ta có: OA = $\sqrt{(-4)^{2}+2^{2}}$; OA' = $\sqrt{2^{2}+4^{2}}=2\sqrt{5}$

Do đó: OA = OA' (1)

△AOA' có: $tan\widehat{OAA'}=tan\widehat{OA'A}=1$

Suy ra: $\widehat{OAA'}=\widehat{OA'A}=45^{o}$

Nên $\widehat{AOA'}=90^{o}$ (2)

Từ (1)(2) suy ra: A'(2; 4) là ảnh của A qua phép quay tâm O với góc quay $-90^{o}$

Chứng minh tương tự với B'(5; 4) và C'(3; 1).

b) Từ câu a) suy ra: Tam giác A'B'C' là ảnh của tam giác ABC qua phép quay tâm O với góc quay $-90^{o}$

Ta có: $A_{1}$(2; -4) là ảnh của A' qua phép đối xứng trục Ox

$B_{1}$(5; -4) là ảnh của B' qua phép đối xứng trục Ox

$C_{1}$(3; -1) là ảnh của C' qua phép đối xứng trục Ox

Vậy các điểm $A_{1}$(2; -4), $B_{1}$(5; -4), $C_{1}$(3; -1) là đỉnh của tam giác $\Delta A_{1}B_{1}C_{1}$

2. Cho hai tam giác đều ABC và AB'C' như Hình 9. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của BB' và CC'. Chứng minh △AMN đều. 

Hướng dẫn trả lời:

Ta có: B là ảnh của C qua phép quay tâm A, góc $60^{o}$

B' là ảnh của C' qua phép quay tâm A, góc $60^{o}$

A là ảnh của chính nó qua phép quay tâm A, góc $60^{o}$

Do đó: Tam giác ABB' là ảnh của tam giác ACC' qua phép quay tâm A, góc $60^{o}$

Suy ra góc NAM bằng $60^{o}$ và AN = AM

Do đó: Tam giác AMN đều.

3. Cho hình chữ nhật ABCD. Gọi E, F, H, K, L, I, J lần lượt là trung điểm của AB, BC, CD, DA, KF, HC, HL. Chứng minh hình thang AEJK và hình thang FLIC bằng nhau.

Hướng dẫn trả lời:

Gọi M là trung điểm của LF

Ta thấy phép đối xứng qua EH biến hình thang AEJK thành hình thang BEMF; phép tịnh tiến theo vectơ BF→ biến hình thang BEMF thành hình thang FLIC.

Như vậy, phép dời hình có được bằng cách thực hiện liên tiếp phép biến hình trên sẽ biến hình thang AEJK thành hình thang FLIC.

Do đó hai hình thang AEJK và FLIC bằng nhau.

4. Chỉ ra phép quay có thể biến mỗi hình trong Hình 10 thành chính nó. 

Hướng dẫn trả lời:

Gọi O là tâm hình a), I là tâm hình b)

Ta có: Phép quay tâm O, góc $\varphi=90^{o}$ biến hình a) thành chính nó.

Phép quay tâm I, góc $\varphi=90^{o}$ biến hình b) thành chính nó.

5. Cho hai tam giác vuông cân OAB và OA'B' có chung đỉnh O sao cho O nằm trên đoạn AB' và nằm ngoài đoạn A'B. Gọi G và G' lần lượt là trọng tâm của 

△OAA' và △OBB'. Chứng minh rằng △OGG' là tam giác vuông cân.

Hướng dẫn trả lời:

Ta có: B là ảnh của A qua phép quay tâm O, góc $\varphi=90^{o}$

B' là ảnh của A' qua phép quay tâm O, góc $\varphi=90^{o}$

O là ảnh của chính nó qua phép quay tâm O, góc $\varphi=90^{o}$

Do đó: Tam giác OBB' là ảnh của tam giác OAA' qua phép quay tâm O, góc $\varphi=90^{o}$

Nên G' là ảnh của G qua phép quay tâm O, góc $\varphi=90^{o}$

Suy ra: OG = OG', $\widehat{GOG'}=90^{o}$

Vậy △OGG' là tam giác vuông cân.