Giải chi tiết chuyên đề Toán 11 chân trời mới bài 3 Bài toán tìm đường đi ngắn nhất

1. ĐỒ THỊ CÓ TRỌNG SỐ VÀ ĐƯỜNG ĐI NGẮN NHẤT

Khám phá 1: Để biểu diễn các con đường nối các giao lộ cùng với độ dài của chúng như sơ đồ ở Hình 1, một học sinh đã vẽ đồ thị như Hình 2. Chỉ ra các cạnh và số biểu diễn độ dài con đường còn thiếu trong Hình 2.

Hướng dẫn trả lời:

Cạnh AM có trọng số là 7; cạnh MD có trọng số là 7; cạnh DF có trọng số là 8; cạnh MN có trọng số là 6; cạnh NC có trọng số là 6; cạnh EN có trọng số là 8. 

Thực hành 1: Cho đồ thị có trọng số như Hình 5.

a) Chỉ ra trọng số của các cạnh AE, MN, CN.

b) Tính độ dài của các đường đi ABEN, EMFNE.

c) Chỉ ra ba đường đi khác nhau từ A đến D và tính độ dài của chúng. 

d) Đường đi EMF có phải là đường đi ngắn nhất từ E đến F không?

Hướng dẫn trả lời:

a) $w_{AE}$= 5, $w_{MN}$= 1, $w_{CN}$ = 2.

b) $l_{ABEN}$ = 3 + 2 + 9 = 14, $l_{EMFNE}$ = 3 + 6 + 4 + 9 = 22.

c) Ba đường đi khác nhau từ A đến D: AMD, AENFD, ABNCD

$l_{AMD}$ = 4 + 5 = 9, $l_{AENFD}$= 5 + 9 + 4 + 7 = 25, $l_{ABNCD}$= 3 + 6 + 2 + 10 = 21.

d) Đường đi EMF có phải là đường đi ngắn nhất từ E đến F.

Vì $l_{EMF}$ = 3 + 6 = 9 mà $l_{EMNF}$ = 3 + 1 + 4 = 8.

Do đó, đường đi EMNF mới là đường đi ngắn nhất từ E đến F.

2. THUẬT TOÁN TÌM ĐƯỜNG ĐI NGẮN NHẤT

Khám phá 2: Cho đồ thị có trọng số như Hình 6.

a) Tìm tất cả các đường đi từ A đến T (đi qua mỗi đỉnh nhiều nhất một lần) và tính độ dài của mỗi đường đi đó. 

b) Từ đó, tìm đường đi ngắn nhất từ A đến T.

Hướng dẫn trả lời:

a) Các đường đi từ A đến T là:

• ABDT, $l_{ABDT}$ = 4 + 7 + 3 = 14
• ABDCET, $l_{ABDCET}$= 4 + 7 + 6 + 12 + 5 = 34
• ABDET, $l_{ABDET}$ = 4 + 7 + 4 + 5 = 20
• ACDET, $l_{ACDET}$ = 2 + 6 + 4 + 5 = 17
• ACET, $l_{ACET}$ = 2 + 12 + 5 = 19
• ACEDT, $l_{ACEDT}$ = 2 + 12 + 4 + 3 = 21

b) Đường đi ngắn nhất từ A đến T là: ABDT

Thực hành 2: Tìm đường đi ngắn nhất từ đỉnh A đến đỉnh I trong đồ thị có trọng số ở Hình 14. 

Hướng dẫn trả lời:

Từ đỉnh A, đỉnh kề A nhất là B ($w_{AB}$ = 3).

Từ đỉnh B, đỉnh kề B (trừ đỉnh A) nhất là C ($w_{BC}$ = 2).

Từ đỉnh C, đỉnh kề C (trừ A, B) nhất là D ($w_{CD}$ = 3).

Từ đỉnh D, đỉnh kề D (trừ A, B, C) nhất là F ($w_{DF}$ = 7).

Từ đỉnh F, đỉnh kề F (trừ A, B, C, D) nhất còn lại đỉnh I ($w_{FI}$= 4).

Do đó, đường đi ngắn nhất từ đỉnh A đến đỉnh I trong đồ thị là: ABCDFI, độ dài bằng 3 + 2 + 3 + 7 + 4 = 19.

Vận dụng: Trong đồ thị có trọng số ở Hình 15, mỗi cạnh biểu diễn một tuyến xe buýt giữa hai bến trong các bến xe A, B, C, D, E và F, trọng số của mỗi cạnh biểu diễn thời gian tính bằng giờ của tuyến xe buýt tương ứng. Một người cần ít nhất bao nhiêu thời gian để di chuyển từ bến A đến bến C bằng xe buýt của các tuyến trên? Biết rằng thời gian tại bến để chuyển tiếp từ tuyến này qua tuyến kia là không đáng kể.

Hướng dẫn trả lời:

Từ bến A, bến gần bến A nhất là E ($w_{AE}$ = 0,8).

Từ bến E, bến gần bến E (trừ bến A) nhất là F ($w_{EF}$  = 1).

Từ bến F, bến gần bến F (trừ bến E) nhất là D ($w_{FD}$ = 1,2).

Từ bến D, bến gần bến D (trừ E, F) nhất còn lại bến C ($w_{DC}$  = 3).

Do đó, thời gian ngắn nhất để một người di chuyển từ bến A đến bến C bằng xe buýt của các tuyến là: 0,8 + 1 + 1,2 + 3 = 6 (giờ).

BÀI TẬP

1. Cho đồ thị có trọng số như Hình 16.

a) Tính độ dài các đường đi ABCD, MBNCP.

b) Chỉ ra ba đường đi khác nhau từ M đến N và tính độ dài của chúng. 

c) MBC có phải là đường đi ngắn nhất từ M đến C không?

Hướng dẫn trả lời:

a) $l_{ABCD}$ = 5 + 15 + 4 = 24; $l_{MBNCP}$ = 7 + 7 + 6 + 25 = 45.

b) Ba đường đi từ M đến N là:

• MBN, $L_{MBN}$ = 7 + 7 = 14
• MAN, $l_{MAN}$ = 5 + 9 = 14
• MBCN, $l_{MBCN}$ = 7 + 15 + 6 = 28

c) MBC không phải đường đi ngắn nhất từ M đến C vì có đường MBNC và MANC ngắn hơn MBC.

2. Bảng 2 cho biết thời gian di chuyển tính bằng giờ của các tuyến xe buýt giữa các bến xe A, B, C, D, E (số nằm tại ô giao của hàng và cột là số giờ cần để xe buýt đi từ bến này đến bến kia, dấu X biểu thị giữa hai bến này không có tuyến xe buýt). Hãy vẽ một đồ thị có trọng số biểu diễn các tuyến xe buýt cùng thời gian di chuyển của mỗi tuyến.

Hướng dẫn trả lời:

3. Tìm đường đi ngắn nhất từ đỉnh S đến T trong đồ thị có trọng số ở Hình 17.

Hướng dẫn trả lời:

Từ đỉnh S, đỉnh kề S nhất là A ($w_{SA}$ = 3).

Từ đỉnh A, đỉnh kề A (trừ S) nhất là B ($w_{AB}$ = 2).

Từ đỉnh B, đỉnh kề B (trừ S, A) nhất là C ($w_{BC}$ = 3).

Từ đỉnh C, đỉnh kề C (trừ S, A, B) nhất là D ($w_{CD}$ = 4).

Từ đỉnh D, đỉnh kề D (trừ S, A, B, C) còn lại là T ($w_{DT}$ = 9).

Do đó đường đi ngắn nhất từ đỉnh S đến T trong đồ thị là: SABCDT có độ dài bằng 3 + 2 + 3 + 4 + 9 = 21.

4. Tìm đường đi ngắn nhất từ đỉnh A đến P trong đồ thị có trọng số ở Hình 18.

Hướng dẫn trả lời:

Từ đỉnh A, đỉnh kề A nhất là B ($w_{AB}$ = 3).

Từ đỉnh B, đỉnh kề B (trừ A) nhất là M ($w_{BN}$ = 4).

Từ đỉnh M, đỉnh kề M (trừ A, B) nhất là N ($w_{MN}$ = 2).

Từ đỉnh N, đỉnh kề N (trừ A, B, M) nhất là C ($w_{NC}$ = 6).

Từ đỉnh C, đỉnh kề C (trừ A, B, N, M) còn lại là P ($w_{CP}$ = 5).

Do đó, đường đi ngắn nhất từ đỉnh A đến P trong đồ thị là ABMNCP, độ dài bằng 3 + 4 + 2 + 6 + 5 = 20. 

5. Tìm đường đi ngắn nhất từ đỉnh A đến từng đỉnh (khác A) trong đồ thị có trọng số ở Hình 19.

Hướng dẫn trả lời:

Đường đi ngắn nhất từ đỉnh A đến đỉnh B là AEB.

Đường đi ngắn nhất từ đỉnh A đến đỉnh C là AEBC.

Đường đi ngắn nhất từ đỉnh A đến đỉnh D là AEBCD.

Đường đi ngắn nhất từ đỉnh A đến đỉnh E là AE.