Cho tam giác ABC có $\widehat{A} < 90^{o}$. Dựng ra phía ngoài tam giác hai tam giác vuông cân đỉnh A....

a) Do $\widehat{A} < 90^{o}$ nên $\widehat{BAE} = 90^{o} + \widehat{A} = \widehat{CAD}$ (1)

M là trung điểm BC nên $\overrightarrow{AM} = \frac{1}{2}(\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AC})$ (2)

Theo quy tắc ba điểm ta có $\overrightarrow{DE} = \overrightarrow{AE} - \overrightarrow{AD}$

Từ (1) và (2) suy ra

$2\overrightarrow{AM}  . \overrightarrow{DE} = (\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AC}) . (\overrightarrow{AE} - \overrightarrow{AD})$

$2\overrightarrow{AM}  . \overrightarrow{DE} = \overrightarrow{AB} . \overrightarrow{AE} - \overrightarrow{AB} . \overrightarrow{AD} + \overrightarrow{AC} . \overrightarrow{AE} - \overrightarrow{AC} . \overrightarrow{AD}$

$2\overrightarrow{AM}  . \overrightarrow{DE} = \overrightarrow{AB} . \overrightarrow{AE} - \overrightarrow{AC} . \overrightarrow{AD}$ (do AB $\perp$ AD, AC $\perp$ AE)

$2\overrightarrow{AM}  . \overrightarrow{DE} = \overrightarrow{AB} . \overrightarrow{AE} . cos\widehat{BAE} - \overrightarrow{AC} . \overrightarrow{AD} . cos\widehat{CAD} = 0$ (do AB = AD, AE = AC và (1))

Suy ra AM $\perp$ DE

b) Từ giả thuyết suy ra $\widehat{DAE} = 3690^{o} -  \widehat{DAB} - \widehat{BAC} - \widehat{CAE} = 180^{o} - \widehat{A}$ (3)

Theo quy tắc ba điểm ta có 

$\overrightarrow{BE} = \overrightarrow{AE} - \overrightarrow{AB}$, $\overrightarrow{CD} = \overrightarrow{AD} - \overrightarrow{AC}$

Suy ra $\overrightarrow{BE} . \overrightarrow{CD} = (\overrightarrow{AE} - \overrightarrow{AB}) . (\overrightarrow{AD} - \overrightarrow{AC})$

$\overrightarrow{BE} . \overrightarrow{CD} = \overrightarrow{AB} . \overrightarrow{AC} . cos\widehat{BAC} + \overrightarrow{AE} . \overrightarrow{AD} . cos\widehat{DAE}$

$\overrightarrow{BE} . \overrightarrow{CD} = 0$ (do AB = AD, AC = AE và (3))

Từ đó BE $\perp$ CD

Có $BE^{2} = \overrightarrow{BE}^{2} = (\overrightarrow{AE}^{2} - \overrightarrow{AB}^{2}) = AE^{2} - 2AE . AB . cos\widehat{BAE}$

$BE^{2} = AC^{2} + AD^{2} - 2AC. AD . cos\widehat{CAD} = (\overrightarrow{AE} - \overrightarrow{AB})^{2} = \overrightarrow{CD}^{2} = CD^{2}$

Suy ra BE = CD

c)

M là trung điểm BC, N là trung điểm BD suy ra MN là đường trung bình của tam giác BCD

Do đó MN // CD, MN = $\frac{1}{2}$CD (4)

Tương tự có MP là đường trung bình của tam giác BCE

Do đó MP // BE, MP = $\frac{1}{2}$BE (5)

Từ (4) và (5) và có BE = CD (chứng minh câu b)

Suy ra MN = MP và MN $\perp$ MP

Suy ra tam giác MNP vuông cân tại M