Trên cạnh BC của tam giác ABC lấy các điểm M,N, không trùng với B và C sao cho BM = MN = NC.

a) Có BM = MN = NC nên $\overrightarrow{MB}$ và $\overrightarrow{NC}$ ngược hướng

Nên $\overrightarrow{AA} + \overrightarrow{BM} + \overrightarrow{CN} = \overrightarrow{BM} + \overrightarrow{CN} = \overrightarrow{0}$

Vậy tam giác ABC và tam giác AMN có cùng trọng tâm

b) Gọi G là trọng tâm tam giác ABC 

Đặt $\overrightarrow{GB} = \overrightarrow{u}$, $\overrightarrow{GC} = \overrightarrow{v}$

$\Rightarrow \overrightarrow{GA} +  \overrightarrow{GB} +  \overrightarrow{GC} =  \overrightarrow{0}$

$\Rightarrow \overrightarrow{GA} =  -\overrightarrow{GB} -  \overrightarrow{GC} =  \overrightarrow{u} - \overrightarrow{v} = -(\overrightarrow{u} + \overrightarrow{v})$

Có $\overrightarrow{GM} = \overrightarrow{GB} + \overrightarrow{BM}$

$\overrightarrow{GM} = \overrightarrow{GB} + \frac{1}{3}\overrightarrow{BC} =  \overrightarrow{GB} + \frac{1}{3}(\overrightarrow{GC} -  \overrightarrow{GB}) = \frac{2}{3}\overrightarrow{GB} + \frac{1}{3}\overrightarrow{GC} = \frac{1}{3}(2\overrightarrow{u} + \overrightarrow{v})$

Có $\overrightarrow{GN} = \overrightarrow{GC} + \overrightarrow{CN}$

$\overrightarrow{GN} = \overrightarrow{GC} + \frac{1}{3}\overrightarrow{CB} = \overrightarrow{GC} + \frac{1}{3}(\overrightarrow{GB} - \overrightarrow{GC}) = \frac{1}{3}\overrightarrow{GB} + \frac{2}{3}\overrightarrow{GC} = \frac{1}{3}(\overrightarrow{u} + 2\overrightarrow{v})$