Giải sách bài tập Toán 8 cánh diều bài 7: Trường hợp đồng dạng thứ hai của tam giác

Bài tập 37: Quan sát Hình 36 và chỉ ra một cặp tam giác đồng dạng:

Hướng dẫn trả lời:

Cặp tam giác đồng dạng: ΔABC ᔕ ΔEDF.

Ta có $\frac{AB}{BC}=\frac{5}{10}=\frac{1}{2}$; $\frac{ED}{DF}=\frac{3}{6}=\frac{1}{2}$

=> $\frac{AB}{BC}=\frac{ED}{DF}$.

Xét hai tam giác ABC và EDF có $\frac{AB}{BC}=\frac{ED}{DF}$ và $\widehat{ABC}=\widehat{EDF}$ = 60°.

=> ΔABC ᔕ ΔEDF (c.g.c).

Bài tập 38: Cho tam giác ABC có AB = 12 cm, AC = 18 cm, BC = 27 cm. Điểm D thuộc cạnh BC sao cho CD = 12 cm. Tính độ dài AD.

Hướng dẫn trả lời:

Do $\frac{AC}{DC}=\frac{18}{12}=\frac{3}{2}$, $\frac{CB}{CA}=\frac{27}{18}=\frac{3}{2}$.

=> $\frac{AC}{DC}=\frac{CB}{CA}$. Mà $\widehat{ACB}=\widehat{ACD}$

=> ΔACB ᔕ ΔDCA.

Do đó $\frac{AC}{DC}=\frac{AB}{AD}$ hay $\frac{18}{12}=\frac{12}{AD}$. 

=> AD = $\frac{12.12}{18}$ = 8 cm.

Vậy độ dài AD = 8 cm.

Bài tập 39: Trong Hình 37, cho O là giao điểm hai đường chéo AC và BD của tứ giác ABCD. Kẻ một đường thẳng tuỳ ý đi qua O và cắt cạnh AB tại M, CD tại N. Đường thẳng qua M song song với CD cắt AC tại E và đường thẳng qua N song song với AB cắt BD tại F.

Chứng minh:

a) ΔOBE ᔕ ΔOFC;                                                             b) BE // CF.

Hướng dẫn trả lời:

a) Do MB // NF nên theo định lí Thalès ta có $\frac{OB}{OF}=\frac{OM}{ON}$ (1).

Tương tự NC // ME => $\frac{OE}{OC}=\frac{OM}{ON}$ (2).

Từ (1) và (2) ta có: $\frac{OB}{OF}=\frac{OE}{OC}$.

Mà $\widehat{BOE}=\widehat{FOC}$ (hai góc đối đỉnh) => ΔOBE ᔕ ΔOFC.

b) Theo câu a, ta có ΔOBE ᔕ ΔOFC nên $\widehat{EBO}=\widehat{CFO}$. 

Mà hai góc $\widehat{EBO}$ và $\widehat{CFO}$\ ở vị trí so le trong => BE // CF.

Bài tập 40: Hình 38 cho biết tam giác ABC vuông ở A, AB = 5 cm, AC = 12 cm. Tam giác HAB vuông cân tại H, tam giác KAC vuông cân tại K. Các cặp tam giác sau có đồng dạng với nhau không? Vì sao?

a) Tam giác HAB và tam giác KAC.

b) Tam giác HKC và tam giác BAC.

Hướng dẫn trả lời:

a) Tam giác HAB vuông cân tại H và AB = 5 cm nên HA = HB = $\frac{5}{\sqrt{2}}$ cm.

Tam giác KAC vuông cân tại K và AC = 12 cm nên KA = KC = $\frac{12}{\sqrt{2}}$ cm.

Do $\widehat{AHB}=\widehat{AKC}$ và $\frac{HA}{KA}=\frac{HB}{KC}=\frac{5}{12}$ nên ΔHAB ᔕ ΔKAC.

b) Tam giác HKC vuông tại K và có hai cạnh góc vuông là HK = $\frac{17}{\sqrt{2}}$ cm, KC = $\frac{12}{\sqrt{2}}$ cm.

Tam giác BAC vuông tại A và có hai cạnh góc vuông là AB = 5 cm, AC = 12 cm. Từ đó, dễ thấy tam giác HKC không đồng dạng với tam giác BAC.

Bài tập 41: Hình thang ABCD ở Hình 39 có AB // CD, AB < CD, $\widehat{ABD}$ = 90°. Hai đường chéo AC và BD cắt nhau tại G. Điểm E nằm trên đường vuông góc với AC tại C thỏa mãn CE = AG và đoạn thẳng GE không cắt đường thẳng CD. Điểm F nằm trên đoạn thẳng DC và DF = GB. Chứng minh:

a) ΔFDG ᔕ ΔECG;

b) ΔGDC ᔕ ΔGFE;

c) $\widehat{GFE}$ = 90°.

Hướng dẫn trả lời:

a) Do AB // CD nên $\frac{BG}{AG}=\frac{GD}{GC}$.

Mặt khác AG = CE, BG = DF nên $\frac{DF}{CE}=\frac{GD}{GC}$.

Mà $\widehat{GDF}=\widehat{GCE}$ nên ΔFDG ᔕ ΔECG.

b) Vì ΔFDG ᔕ ΔECG nên $\widehat{DGF}=\widehat{CGE}$ và $\frac{DG}{GF}=\frac{GC}{GE}$.

$\widehat{DGF}=\widehat{CGE}$ => $\widehat{DGF}+\widehat{FGC}=\widehat{CGE}+\widehat{FGC}$ 

Hay $\widehat{DGC}=\widehat{FGE}$.

Từ đó, ta có ΔGDC ᔕ ΔGFE vì $\frac{DG}{GF}=\frac{GC}{GE}$ và $\widehat{DGC}=\widehat{FGE}$.

c) Vì ΔGDC ᔕ ΔGFE nên $\widehat{GFE}=\widehat{GDC}$ = 90°.

Bài tập 42: Cho tam giác ABC vuông ở A có AB = 3AC và điểm D thuộc cạnh AB sao cho AD = 2DB. Chứng minh: $\widehat{ADC}+\widehat{ABC}$ = 45°.

Hướng dẫn trả lời:

Gọi E là trung điểm của AD. Đặt AE = x, AC = x.

Có AE = ED = DB, AB = 3AC nên ED = x, EB = 2x và CE = x$\sqrt{2}$.

Xét hai tam giác EDC và ECB, ta có: $\widehat{CED}=\widehat{CEB}$ và $\frac{ED}{EC}=\frac{EC}{EB}$

=> ΔEDC ᔕ ΔECB. Do đó $\widehat{ECD}=\widehat{CEB}$.

Vì vậy $\widehat{ADC}+\widehat{ABC}=\widehat{EDC}+\widehat{ECD}=\widehat{AEC}$.

Mặt khác, do tam giác AEC là tam giác vuông cân nên $\widehat{AEC}$ = 45°.

Vậy $\widehat{ADC}+\widehat{ABC}$ = 45°.

Bài tập 43: Cho tam giác ABC có AB = 2 cm, AC = 3 cm, BC = 4 cm. Chứng minh: $\widehat{BAC}=\widehat{ABC}+2\widehat{BCA}$.

Hướng dẫn trả lời:

Trên đoạn thẳng BC lấy điểm D sao cho BD = 1cm => CD = BC – BD = 3 cm. 

Tam giác ADC có CD = CA = 3 cm nên là tam giác cân tại C, do đó $\widehat{DAC}=\widehat{ADC}$ (1).

Xét hai tam giác ABD và CBA, ta có: $\widehat{DBA}=\widehat{ABC}$, $\frac{BD}{BA}=\frac{AB}{CB}=\frac{1}{2}$

=> ΔABD ᔕ ΔCBA. Do đó $\widehat{BAD}=\widehat{BCA}$ (2). 

Từ (1) và (2), ta có:

$\widehat{BAC}=\widehat{BAD}+\widehat{DAC}=\widehat{BCA}+\widehat{ADC}=\widehat{BCA}+\widehat{BAD}+\widehat{ABD}=\widehat{ABC}+2\widehat{BCA}$.

Vậy $\widehat{BAC}=\widehat{ABC}+2\widehat{BCA}$.