Giải sách bài tập Toán 8 cánh diều bài 8: Trường hợp đồng dạng thứ ba của tam giác

Bài tập 44: Quan sát Hình 43 và chỉ ra hai cặp tam giác đồng dạng:

Hướng dẫn trả lời:

Ta có ΔABC ᔕ ΔDEF và ΔMNP ᔕ ΔHIK.

Bài tập 45: Cho hình thang ABCD có AB // CD, AB = 4 cm, DB = 6 cm và $\widehat{DAB}=\widehat{DBC}$. Tính độ dài CD.

Hướng dẫn trả lời:

Ta có: $\widehat{DAB}=\widehat{DBC}$ (giả thiết), $\widehat{ABD}=\widehat{BDC}$ (hai góc so le trong). Suy ra ΔABD ᔕ ΔBDC.

Do đó ta có $\frac{AB}{BD}=\frac{BD}{DC}$, tức là CD = $\frac{BD^{2}}{AB}$.

Từ đó: CD = $\frac{6^{2}}{4}$ = 9 (cm).

Bài tập 46: Bác An cần đo khoảng cách AC, với A, C nằm ở hai bên bờ của một hồ nước (Hình 44a). Bác An đã tiến hành đo như sau:

- Chọn điểm B trên bờ (có điểm C) sao cho BC = 20 (m);

- Dùng thước đo góc, đo được các góc $\widehat{ABC}$ = 32°, $\widehat{ACB}$ = 77°

Chứng minh rằng: Nếu thực hiện vẽ trên giấy một tam giác DEF sao cho EF = 10 (cm), $\widehat{DEF}$ = 32°, $\widehat{DFE}$ = 77° (Hình 44b); Đo độ dài đoạn DF và giả sử DF = a (cm) thì độ dài AC mà bác An cần đo là 2a (m).

Hướng dẫn trả lời:

Ta có ΔABC ᔕ ΔDEF => $\frac{BC}{EF}=\frac{AC}{DF}$ hay $\frac{2000}{10}=\frac{AC}{a}$

Do đó AC = 200a (cm) = 2a (m).

Bài tập 47: Cho tam giác ABC. Lấy E, F, P lần lượt thuộc AB, AC, BC sao cho tứ giác BEFP là hình bình hành (Hình 45). Biết diện tích tam giác AEF và CFP lần lượt bằng 16 cm$^{2}$ và 25 cm$^{2}$.

a) Hãy chỉ ra ba cặp tam giác đồng dạng.

b) Tính diện tích tam giác ABC.

Hướng dẫn trả lời:

a) Ba cặp tam giác đồng dạng là: ΔAEF ᔕ ΔABC, ΔFPC ᔕ ΔABC, ΔAEF ᔕ ΔFPC

b) Ta có ΔAEF ᔕ ΔABC, ΔFPC ᔕ ΔABC nên $\frac{S_{\Delta AEF}}{S_{\Delta ABC}}=\left (\frac{EF}{BC}  \right )^{2}$

=> $\sqrt{\frac{S_{\Delta AEF}}{S_{\Delta ABC}}}=\frac{EF}{BC}$ (1).

Tương tự $\sqrt{\frac{S_{\Delta FPC}}{S_{\Delta ABC}}}=\frac{CP}{BC}$ (2).

Từ (1) và (2) => $\sqrt{\frac{S_{\Delta AEF}}{S_{\Delta ABC}}}+\sqrt{\frac{S_{\Delta FPC}}{S_{\Delta ABC}}}$ = $\frac{EF}{BC}+\frac{CP}{BC}=\frac{BP}{BC}+\frac{CP}{BC}$ = 1.

=> $\left (\sqrt{\frac{S_{\Delta AEF}}{S_{\Delta ABC}}}+\sqrt{\frac{S_{\Delta FPC}}{S_{\Delta ABC}}}  \right )^{2}$ = 1

Hay $\left (\sqrt{\frac{16}{S_{\Delta ABC}}}+\sqrt{\frac{25}{S_{\Delta ABC}}}  \right )^{2}$

=> $S_{\Delta ABC}$ = 81 cm$^{2}$.

Vậy diện tích tam giác ABC bằng 81 cm$^{2}$.

Bài tập 48: Cho hình bình hành ABCD (AC > BD). Từ C kẻ CE vuông góc với AB (E thuộc đường thẳng AB), CF vuông góc với AD (F thuộc đường thẳng AD). 

Chứng minh: AB. AE + AD. AF = AC².

Hướng dẫn trả lời:

Gọi H, K lần lượt là hình chiếu của D, B trên đường thẳng AC. 

Ta có ΔAHD ᔕ ΔAFC => $\frac{AD}{AC}=\frac{AH}{AF}$ hay AD. AF = AC.AH (1).

Tương tự ΔAKB ᔕ ΔAEC => $\frac{AB}{AC}=\frac{AK}{AE}$ hay AB.AE = AC.AK (2).

Vì ΔABK ᔕ ΔCDH (cạnh huyền – góc nhọn) nên AK = HC. 

Từ đó, cộng (1) và (2) theo vế ta được: 

AD.AF + AB.AE = AC.(AH + AK) = AC.(AH + HC) = AC$^{2}$.

Bài tập 49: Cho hình vuông ABCD, gọi O là giao điểm của hai đường chéo, lấy G trên cạnh BC, H trên cạnh CD sao cho $\widehat{GOH}$ = 45°. Gọi M là trung điểm của AB. Chứng minh:

a) ΔHOD ᔕ ΔOGB;                                                b) MG // AH.

Hướng dẫn trả lời:

a) Ta có: $\widehat{CDB}=\widehat{CBD}$ = 45°. 

Mặt khác: $\widehat{DOH}+\widehat{BOG}$ = 180° - 45° = 135°;

$\widehat{BOG}+\widehat{BGO}$ = 180°- 45° = 135°.

=> $\widehat{DOH}=\widehat{BGO}$, do đó ΔHOD ᔕ ΔOGB.

b) Theo câu a, ta có ΔHOD ᔕ ΔOGB => $\frac{HD}{OB}=\frac{OD}{GB}$.

Đặt MB = a, AD = 2a 

=> HD.GB = OB.OD = a$\sqrt{2}$.a$\sqrt{2}$ = 2a$^{2}$ = AD.BM.

Vì HD.GB = AD.BM nên $\frac{HD}{AD}=\frac{BM}{BG}$ => ΔBMG ᔕ ΔDHA.

Do đó $\widehat{M_{1}}=\widehat{AHD}$, mà $\widehat{AHD}=\widehat{BAH}$ (hai góc so le trong, AB // CD).

Suy ra $\widehat{M_{1}}=\widehat{BAH}$. Mà $\widehat{M_{1}}$ và $\widehat{BAH}$ ở vị trí đồng vị nên AH // MG.