Giải sách bài tập Toán 8 cánh diều bài: Bài tập cuối chương VIII

Bài tập 56: Cho tam giác ABC. Các điểm M, N lần lượt thuộc các cạnh AB và AC thoả mãn MN // BC và $\frac{AM}{MB}=\frac{2}{3}$. Tỉ số $\frac{NC}{AN}$ bằng

A. $\frac{2}{3}$.            B. $\frac{2}{5}$.            C. $\frac{3}{2}$.           D. $\frac{3}{5}$.

Hướng dẫn trả lời:

Chọn đáp án C.

Do MN // BC nên theo định lí Thalès: $\frac{AM}{MB}=\frac{AN}{NC}=\frac{2}{3}$

=> $\frac{NC}{AN}=\frac{3}{2}$.

Bài tập 57: Cho hai tam giác MNP và M’N’P’. Phát biểu nào sau đây là đúng?

A. Nếu $\widehat{M}=\widehat{M’}$ và $\widehat{N}=\widehat{P’}$ thì ΔMNP ᔕ ΔM’N’P’.

B. Nếu $\widehat{M}=\widehat{N’}$ và $\widehat{N}=\widehat{P’}$ thì ΔMNP ᔕ ΔM’N’P’.

C. Nếu $\widehat{M}=\widehat{P’}$ và $\widehat{N}=\widehat{M’}$ thì ΔMNP ᔕ ΔM’N’P’.

D. Nếu $\widehat{M}=\widehat{M’}$ và $\widehat{P}=\widehat{P’}$ thì ΔMNP ᔕ ΔM’N’P’.

Hướng dẫn trả lời:

Chọn đáp án D.

Nếu $\widehat{M}=\widehat{M’}$ và $\widehat{P}=\widehat{P’}$ thì ΔMNP ᔕ ΔM’N’P’ (g.g).

Bài tập 58: Nếu ΔMNP ᔕ ΔDEG thì

A. $\frac{MN}{MP}=\frac{DE}{DG}$.

B. $\frac{MN}{MP}=\frac{DE}{EG}$.

C. $\frac{MN}{MP}=\frac{DG}{EG}$.

D. $\frac{MN}{MP}=\frac{EG}{EG}$.

Hướng dẫn trả lời:

Chọn đáp án A. 

Nếu ΔMNP ᔕ ΔDEG thì $\frac{MN}{DE}=\frac{MP}{DG}$.

=> $\frac{MN}{MP}=\frac{DE}{DG}$.

Bài tập 59: Cho ΔMNP ᔕ ΔM’N’P’ và $\widehat{M}$ = 30°, $\widehat{N’}$ = 40°. Số đo góc P là:

A. 30°.                               B. 40°.                               C. 70°.                             D. 110°.

Hướng dẫn trả lời:

Chọn đáp án D.

Vì ΔMNP ᔕ ΔM’N’P’ nên $\widehat{M}=\widehat{M’}$ = 30°, $\widehat{N}=\widehat{N’}$ = 40°, $\widehat{P}=\widehat{P’}$

Xét ΔMNP có: $\widehat{M}+\widehat{N}+\widehat{P}$ = 180°

=> $\widehat{P}$ = 180° - 30° - 40° = 110°.

Bài tập 60: Hình 54 cho biết A’B’ = 4, A’O = 3, AO = 6, OB = x, AB = y. 

Giá trị của biểu thức x + y là: 

A. 22.                            B. 18.                             C. 20.                               D.16.

Hướng dẫn trả lời:

Chọn đáp án B.

Tam giác vuông A’B’O vuông tại A’ nên theo định lí Pythagore, ta có: 

B’O$^{2}$ = A’B’$^{2}$ + A’O$^{2}$ = 42 + 32 = 25.

=> B’O = 5.

Xét hai tam giác vuông ABO và A’B’O có: $\widehat{A}=\widehat{A’}$ = 90°; $\widehat{AOB}=\widehat{A’OB’}$ (2 góc đối đỉnh).

=> ΔABO ᔕ ΔA’B’O (g.g)

=> $\frac{AB}{A’B’}=\frac{BO}{B’O}=\frac{AO}{A’O}$ 

hay $\frac{y}{4}=\frac{x}{5}=\frac{6}{3}$.

=> y = $\frac{4.6}{3}$ = 8; x = $\frac{5.6}{3}$ = 10.

Vây x + y = 10 + 8 = 18.

Bài tập 61: Cho tam giác ABC có DE // BC (Hình 55). Khẳng định nào dưới đây đúng?

A. $\frac{AD}{AB}+\frac{CA}{CE}$ = 1.

B. $\frac{AB}{AD}+\frac{CE}{CA}$ = 1.

C. $\frac{AD}{AB}+\frac{CE}{CA}$ = 1.

D. $\frac{AC}{AB}+\frac{CE}{CA}$ = 1.

Hướng dẫn trả lời:

Chọn đáp án C.

Tam giác ABC có DE // BC nên theo định lí thalès ta có: 

$\frac{AD}{AB}=\frac{AE}{CA}=\frac{CA-CE}{CA}=1-\frac{CE}{CA}$

=> $\frac{AD}{AB}+\frac{CE}{CA}$ = 1.

Bài tập 62: Cho tam giác ABC có BD là đường phân giác của góc ABC (Hình 56). 

Độ dài DC là:

A. 6.                        B. 9.                          C. 5.                               D. 8.

Hướng dẫn trả lời:

Chọn đáp án A.

Cho tam giác ABC có BD là đường phân giác

=> $\frac{DA}{DC}=\frac{AB}{CB}$ hay $\frac{4}{DC}=\frac{12}{18}$

=> DC = $\frac{4.18}{12}$ = 6.

Bài tập 63: ΔABC ᔕ ΔDEF theo tỉ số đồng dạng k, ΔMNP ᔕ ΔDEF theo tỉ số đồng dạng q. Khi đó, ΔABC ᔕ ΔMNP theo tỉ số đồng dạng là:

A. k + q.                B. kq.                  C. $\frac{q}{k}$.                D. $\frac{k}{q}$.

Hướng dẫn trả lời:

Chọn đáp án D.

ΔABC ᔕ ΔDEF theo tỉ số đồng dạng k 

=> $\frac{AB}{DE}=\frac{BC}{EF}=\frac{AC}{DF}$ = k (1)

ΔMNP ᔕ ΔDEF theo tỉ số đồng dạng q 

=> $\frac{MN}{DE}=\frac{NP}{EF}=\frac{MP}{DF}$  = q (2)

Từ (1) và (2) => $\frac{AB}{MN}=\frac{BC}{NP}=\frac{AC}{MP}=\frac{k}{q}$

Vậy ΔABC ᔕ ΔMNP theo tỉ số đồng dạng là $\frac{k}{q}$.

Bài tập 64: Để đo khoảng cách AB, trong đó điểm B không tới được, người ta tiến hành đo bằng cách lấy các điểm C, D, E sao cho AD = 10m, CD = 7m, DE = 4m (Hình 57). Khi đó, khoảng cách AB (tính theo đơn vị mét và làm tròn kết quả đến hàng phần mười) là:

A. 9,3 m.                        B. 9,4 m.                       C. 9,6 m.                      D. 9,7 m.

Hướng dẫn trả lời:

Chọn đáp án D.

Xét 2 tam giác ΔABC và ΔDEC có 

$\widehat{BAC}=\widehat{EDC}$; $\widehat{ACB}=\widehat{DCE}$.

=> ΔABC ᔕ ΔDEC (g.g)

=> $\frac{AB}{DE}=\frac{AC}{DC}$

Hay $\frac{AB}{4}=\frac{10+7}{7}$ => AB = $\frac{4.(10+7)}{7}$ = 9,7 (m)

Vậy AB  = 9,7 (m).

Bài tập 65: Cho tam giác ABC, điểm M thuộc cạnh BC sao cho MC = 2MB. Đường thẳng qua M song song với AC cắt AB ở D. Đường thẳng qua M song song với AB cắt AC ở E. Gọi x, y lần lượt là chu vi tam giác DBM và tam giác ECM. Tính x + 2y, biết chu vi tam giác ABC bằng 30 cm.

Hướng dẫn trả lời:

Ta có ΔBDM ᔕ ΔBAC.

=>$\frac{BD}{AB}=\frac{BM}{BC}=\frac{DM}{AC}=\frac{BD+BM+DM}{AB+BC+CA}=\frac{1}{3}$.

=> chu vi tam giác DBM bằng một phần ba chu vi tam giác ABC. Vì thế chu vi tam giác DBM bằng 10 cm. Tương tự, chu vi tam giác ECM bằng 20 cm.

Vậy x + 2y = 50 (cm).

Bài tập 66: Cho điểm M thuộc đoạn thẳng AB, với MA = a, MB = b. Vẽ hai tam giác đều AMC và BMD; gọi E là giao điểm của AD và CM, F là giao điểm của DM và BC (Hình 58).

a) Chứng minh EF // AB.

b) Tính ME, MF theo a, b.

Hướng dẫn trả lời:

a) Ta có $\widehat{DMB}=\widehat{CAM}$ = 60°, $\widehat{DBM}=\widehat{CMA}$ = 60°. Suy ra MD // AC, DB // CM.

Do MD // AC nên $\frac{EC}{EM}=\frac{AC}{DM}=\frac{a}{b}$ (theo định lí Thalès). 

Tương tự, do DB // CM nên $\frac{CF}{FB}=\frac{CM}{DB}=\frac{a}{b}$.

Từ đó, ta có: $\frac{EC}{EM}=\frac{CF}{FB}=\frac{a}{b}$ nên EF // MB hay EF // AB.

b) Từ EF // AB suy ra tam giác EMF là tam giác đều.

Từ đó, ta có: $\frac{EC}{CM}=\frac{EF}{MB}=\frac{EC+EF}{CM+MB}=\frac{a}{a+b}$.

=> EF = $\frac{ab}{a+b}$. 

Vì tam giác MEF là tam giác đều nên ME = MF = EF = $\frac{ab}{a+b}$.

Bài tập 67: Một chiếc kệ bày hoa quả có ba tầng được E thiết kế như Hình 59. Tầng đáy có đường kính AB là 32 cm. Tầng giữa có đường kính CD nhỏ hơn đường kính tầng đáy là 12 cm. Tính độ dài đường kính tầng trên cùng EF, biết EF // AB; D, C lần lượt là trung điểm của EA và FB.

Hướng dẫn trả lời:

Tầng giữa có đường kính CD là: 32 - 12 = 20 cm.

Ta có: EF // AB; D, C lần lượt là trung điểm của EA và FB => DC // EF // AB.

Xét tam giác EDH và EAB có DH // AB => ΔEDH ᔕ ΔEAB.

=> $\frac{DE}{AE}=\frac{DH}{AB}=\frac{1}{2}$.

=> DH = $\frac{AB.DE}{AE}=\frac{32.1}{2}$ = 16 cm.

Độ dài HC = DC - DH = 20 - 16 = 4 cm.

Xét tam giác BHC và BEF có HC // EF => ΔBHC ᔕ ΔBEF.

=> $\frac{HC}{EF}=\frac{BC}{BF}=\frac{1}{2}$

=> EF = 2.HC = 2.4 = 8 cm.

Vậy độ dài đường kính tầng trên cùng EF = 8 cm.

Bài tập 68: Cho tam giác ABC có ba góc nhọn, điểm I thuộc cạnh BC và IM, IN lần lượt là đường phân giác của các góc AIC và AB. Chứng minh: AN. BI. CM = BN. IC. AM.

Hướng dẫn trả lời:

Áp dụng tính chất đường phân giác vào các tam giác ABI, AIC, ta có:

$\frac{AN}{NB}=\frac{AI}{BI}$; $\frac{CM}{MA}=\frac{IC}{AI}$.

=>$\frac{BI}{IC}.\frac{AN}{NB}.\frac{CM}{MA}=\frac{BI}{IC}.\frac{AI}{BI}.\frac{IC}{AI}$ = 1.

Do đó: AN. BI. CM = BN. IC. AM.

Bài tập 69: Cho tam giác ABC cân tại A, AB = 10 cm, BC = 12 cm. Gọi I là giao điểm của các đường phân giác của tam giác ABC. Tính độ dài AI.

Hướng dẫn trả lời:

Gọi H là giao điểm của hai đường thẳng AI và BC. Do tam giác ABC cân tại A nên đường phân giác AI cũng là đường cao, đường trung tuyến => BH = $\frac{BC}{2}$ = 6cm. 

Tam giác AHB vuông tại H nên  AH2 = AB2 – BH2 = 102 – 62 = 64 => AH = 8 cm. 

Ta có $\frac{AI}{IH}=\frac{AB}{BH}$ => $\frac{AI}{AI+IH}=\frac{AB}{AB+BH}$

hay $\frac{AI}{8}=\frac{10}{10+6}=\frac{5}{8}$.

Vậy AI = 5 cm.

Bài tập 70: Cho tam giác ABC có ba góc nhọn, các đường cao BD và CE cắt nhau tại H. Chứng minh:

a) ΔEBH ᔕ ΔDCH, ΔADE ᔕ ΔABC;

b) DB là tia phân giác của góc EDI, với I là giao điểm của AH và BC.

Hướng dẫn trả lời:

a) Vì các tam giác EBH và DCH đều là các tam giác vuông và $\widehat{EHB}=\widehat{DHC}$ (hai góc đối đỉnh) nên ΔEBH ᔕ ΔDCH. 

Tương tự, ta có các tam giác ABD và ACE là các tam giác vuông và $\widehat{BAD}=\widehat{CAE}$ nên ΔABD ᔕ ΔACE. 

=> $\frac{AB}{AC}=\frac{AD}{AE}$ hay $\frac{AB}{AD}=\frac{AC}{AE}$.

Mà $\widehat{BAC}=\widehat{DAE}$ => ΔADE ᔕ ΔABC.

b) Do ΔADE ᔕ ΔABC nên $\widehat{ADE}=\widehat{CBA}$ (1). 

Tương tự cách chứng minh ở câu a, ta có ΔCDI ᔕ ΔCBA nên $\widehat{CDI}=\widehat{CBA}$ (2). 

Từ (1) và (2), ta có $\widehat{ADE}=\widehat{CDI}$.

Do đó 90° - $\widehat{ADE}$ = 90° - $\widehat{CDI}$ hay $\widehat{EDB}=\widehat{BDI}$. 

Vậy DB là đường phân giác của góc $\widehat{EDI}$.

Bài tập 71: Cho hình thang ABCD, AB // CD, $\widehat{DAB}=\widehat{DBC}$, $\frac{AB}{BD}=\frac{2}{5}$, biết diện tích tam giác ABD là 44,8 cm2.

Hướng dẫn trả lời:

Có ΔABD ᔕ ΔBDC do $\widehat{DAB}=\widehat{DBC}$; $\widehat{ABD}=\widehat{BDC}$. Do đó, tỉ số diện tích tam giác ABD và diện tích tam giác BDC bằng bình phương của tỉ số đồng dạng.

=> diện tích tam giác ABD (kí hiệu là $S_{\Delta ABD}$) bằng $\frac{4}{25}$ diện tích tam giác BDC (kí hiệu là $S_{\Delta BDC}$) hay $S_{\Delta ABD}=\frac{4}{25}.S_{\Delta BDC}$.

Do đó: 44,8 = $\frac{4}{25}.S_{\Delta BDC}$ 

hay $S_{\Delta BDC}$ = 44,8 : $\frac{4}{25}$ = 11,2.25 = 280 (cm²).

Bài tập 72: Cho hình bình hành ABCD (AC > BD). Vẽ CE vuông góc với đường thẳng AB tại E, CF vuông góc với đường thẳng AD tại F, BH vuông góc với đường thẳng AC tại H. Chứng minh:

a) ΔABH ᔕ ΔACE; ΔCBH ᔕ ΔACF.

b) BH2 = HK . HQ, biết tia BH cắt đường thẳng CD tại Q; cắt cạnh AD tại K.

Hướng dẫn trả lời:

a) Ta có hai tam giác ABH và ACE đều là các tam giác vuông và $\widehat{BAH}=\widehat{EAC}$ => ΔABH ᔕ ΔACE.

Hai tam giác CBH và ACF đều là các tam giác vuông và $\widehat{BCH}=\widehat{CAF}$ => ΔCBH ᔕ ΔACF.

b) Do AB // CQ nên $\frac{QH}{BH}=\frac{CH}{AH}$.

Lại có BC // AK nên $\frac{BH}{HK}=\frac{CH}{AH}$.

=> $\frac{QH}{BH}=\frac{BH}{HK}$

Hay BH2 = HK.HQ.

Bài tập 73: Cho tam giác ABC vuông tại A, có đường phân giác AD. Vẽ hình vuông MNPQ ở đó M thuộc cạnh AB, N thuộc cạnh AC, P và Q thuộc cạnh BC. Gọi E và F lần lượt là giao điểm của BN và MQ; CM và NP (Hình 60).

Chứng minh:

a) DE song song với AC;

b) DE = DF.

Hướng dẫn trả lời:

a) Ta có $\frac{BE}{EN}=\frac{BQ}{QP}=\frac{BQ}{MQ}=\frac{AB}{AC}=\frac{BD}{DC}$

=> DE // NC hay DE // AC.

b) Do DE // AC nên $\frac{DE}{CN}=\frac{BD}{BC}$ hay DE = $\frac{BD}{BC}.CN$.

Tương tự: DF = $\frac{CD}{BC}.BM$. => $\frac{DE}{DF}=\frac{BD}{CD}.\frac{CN}{BM}$.

Mặt khác, $\frac{BD}{CD}=\frac{AB}{AC}$ và $\frac{CN}{BM}=\frac{AC}{AB}$ nên $\frac{DE}{DF}$ = 1 hay DE = DF.