Giải sách bài tập Toán 8 cánh diều bài 2: Ứng dụng của phương trình bậc nhất một ẩn

Bài tập 9: Tổng của hai số bằng 51. Tìm hai số đó, biết $\frac{2}{5}$ số thứ nhất bằng $\frac{1}{6}$ số thứ hai.

Hướng dẫn trả lời:

Gọi số thứ nhất là x, số thứ hai sẽ là 51 − x. 

Vì $\frac{2}{5}$ số thứ nhất bằng $\frac{1}{6}$ số thứ hai nên ta có phương trình:  

                                 $\frac{2}{5}$x = $\frac{1}{6}$(51 - x).

                          ⇔   $\frac{12x}{30}=\frac{5.(51-x)}{30}$

                          =>   12x = 5.(51 - x)

                          ⇔   12x = 255 - 5x

                          ⇔   17x = 255

                          ⇔       x = 15.

Vậy số thứ nhất là 15, số thứ hai là 51 - 15 = 36.

Bài tập 10: Tuổi bổ hiện nay gấp 2,4 lần tuổi con. 5 năm trước đây, tuổi bố gấp $\frac{11}{4}$ tuổi con. Tính tuổi bố, tuổi con hiện nay.

Hướng dẫn trả lời:

Gọi tuổi con hiện nay là x (x ∈ $\mathbb{N}^{*}$). Tuổi bố hiện nay là 2,4x. Do đó, 5 năm trước tuổi con là x − 5, tuổi bố là 2,4x – 5. 

Vì 5 năm trước đây, tuổi bố gấp $\frac{11}{4}$ tuổi con nên ta có phương trình: 

                                 2,4x – 5 = $\frac{11}{4}$(x - 5).

                          =>  4.(2,4x - 5) = 11(x - 5)

                          ⇔  9,6x - 20 = 11x - 55

                          ⇔  -1,4x = -35

                          ⇔   x = 25 (thỏa mãn điều kiện).

Vậy hiện nay tuổi con là 25 tuổi, tuổi bố là 2,4.25 = 60 tuổi.

Bài tập 11: Tìm một số tự nhiên có 5 chữ số, biết nếu viết thêm 1 vào bên phải số đó thì được một số gấp 3 lần nếu viết thêm 1 vào bên trái số đó.

Hướng dẫn trả lời:

Gọi số tự nhiên cần tìm là x (x ∈ N, 10 000 ≤ x ≤ 99 999). Viết thêm 1 vào bên phải số tự nhiên cần tìm ta được số 10x + 1; viết thêm 1 vào bên trái số cần tìm ta được số 100 000 + x.

Ta có phương trình: 10x + 1 = 3.(100 000 + x)

                          ⇔  10x + 1 = 300 000 + 3x

                          ⇔   7x = 299 999

                          ⇔    x = 42 857 (thoả mãn điều kiện). 

Vậy số tự nhiên cần tìm là 42 857.

Bài tập 12: Hai xe đi từ A đến B: tốc độ trung bình của xe thứ nhất là 40 km/h, tốc độ trung bình của xe thứ hai là 25 km/h. Để đi hết quãng đường AB, xe thứ nhất cần ít thời gian hơn xe thứ hai là 1 giờ 30 phút. Tính chiều dài quãng đường AB.

Hướng dẫn trả lời:

Đổi 1 giờ 30 phút = 1,5 giờ. 

Gọi chiều dài quãng đường AB là x (km), x > 0. 

Thời gian xe thứ nhất đi hết quãng đường AB là quãng đường AB là $\frac{x}{40}$ (giờ). 

Thời gian xe thứ hai đi hết quãng đường AB là quãng đường AB là $\frac{x}{25}$ (giờ). 

Vì xe thứ nhất cần ít thời gian hơn xe thứ hai là 1 giờ 30 phút = 1,5 giờ.

Ta có phương trình: $\frac{x}{25}-\frac{x}{40}$ = 1,5.

                          ⇔ $\frac{8x}{200}-\frac{5x}{200}$ = $\frac{300}{200}$.

                          ⇔ 8x - 5x = 300

                          ⇔ 3x = 300

                          ⇔ x = 100 (thoả mãn điều kiện). 

Vậy chiều dài quãng đường AB là 100 km.

Bài tập 13: Anh An đi xe máy từ Hà Nội về Thái Bình với tốc độ trung bình là 45 km/h. Chị Phương đi xe máy từ Thái Bình lên Hà Nội với tốc độ trung bình là 30 km/h cũng trên tuyến đường mà anh An đã đi. Hỏi sau mấy giờ hai anh chị gặp nhau? Biết anh An và chị Phương bắt đầu đi vào cùng một thời điểm và quãng đường Hà Nội – Thái Bình dài 110 km.

Hướng dẫn trả lời:

Gọi thời gian từ lúc xuất phát đến khi hai anh chị gặp nhau là x (giờ), x > 0.

Quãng đường anh An đi được là 45x (km). Quãng đường chị Phương đi được là 30x (km). 

Theo đề bài, ta có phương trình: 45x + 30x = 110 hay 75x = 110. 

                                                   => x = 1$\frac{7}{15}$ (thoả mãn điều kiện). 

Vậy sau 1$\frac{7}{15}$ giờ hay 1 giờ 28 phút thì hai người gặp nhau.

Bài tập 14: Một người đi xe máy từ A đến B với tốc độ trung bình là 40 km/h, đi được 15 phút người đó gặp một ô tô đi từ B đến A với tốc độ trung bình là 50 km/h. Ô tô đến A nghỉ 15 phút rồi trở về B với vận tốc không đổi và gặp người đi xe máy cách B là 20 km. Tính chiều dài quãng đường AB.

Hướng dẫn trả lời:

Đổi 15 phút = $\frac{1}{4}$ giờ. 

Gọi C và D lần lượt là nơi ô tô gặp người đi xe máy lần thứ nhất và lần thứ hai. Gọi chiều dài quãng đường CD là x (km), x > 0.

Chiều dài quãng đường AC là 40.$\frac{1}{4}$ = 10 (km). 

Thời gian người đi xe máy đi từ C đến D là $\frac{x}{40}$ (giờ). 

Thời gian đó, ô tô đi đoạn CA, AD và nghỉ 15 phút. 

Do đó, ta có phương trình: $\frac{x}{40}=\frac{10+10+x}{50}+\frac{1}{4}$.

                                     ⇔  $\frac{5x}{200}=\frac{4(10+10+x)}{200}+\frac{50}{200}$.

                                     => 5x = 4.(10 + 10 + x) + 50.

                                     ⇔ 5x = 80 + 4x + 50

                                     ⇔ x = 130 (thoả mãn điều kiện). 

Vậy quãng đường AB dài là: 10 + 130 + 20 = 160 (km).

Bài tập 15: Trong hội thi STEM của một trường trung học cơ sở, ban tổ chức đưa ra quy tắc chấm thi cho bài thi gồm 30 câu hỏi như sau: Với mỗi câu hỏi, nếu trả lời đúng thì được 5 điểm, nếu trả lời không đúng thì không được điểm, nếu không trả lời thì được 1 điểm. Một học sinh làm bài thi và có số câu trả lời đúng gấp 3 lần số câu trả lời không đúng, kết quả đạt 85 điểm. Hỏi bài thi của học sinh đó có bao nhiêu câu trả lời đúng? Bao nhiêu câu trả lời không đúng? Bao nhiêu câu không trả lời?

Hướng dẫn trả lời:

Gọi x là số câu trả lời không đúng (x ∈ N*, x ≤ 30). Khi đó, số câu trả lời đúng là 3x, số câu không trả lời là 30 − x − 3x = 30 – 4x.

Vì kết quả học sinh đạt được là 85 điểm nên ta có phương trình: 

                                 5.3x + (30 – 4x) = 85. 

                        ⇔    15x + 30 - 4x = 85

                        ⇔    11x = 55

                        ⇔    x = 5 (thỏa mãn điều kiện).

Vậy số câu trả lời không đúng là 5, số câu trả lời đúng là 5.3 = 15, số câu không trả lời là 30 – 5 – 15 = 10.

Bài tập 16: Để đánh bắt đủ lượng cá theo kế hoạch, một hợp tác xã dự định trung bình mỗi tuần đánh bắt được 20 tấn cá. Nhưng do đánh bắt được vượt mức 6 tấn cá/ tuần nên chẳng những hợp tác xã đó đã hoàn thành kế hoạch sớm hơn 1 tuần mà còn vượt mức đã dự định là 10 tấn cá. Tính lượng cá cần đánh bắt theo kế hoạch của hợp tác xã đó.

Hướng dẫn trả lời:

Gọi lượng cá cần đánh bắt theo kế hoạch của hợp tác xã đó là x tấn, x > 0. 

Khi đó, thời gian dự định để đánh bắt được đủ lượng cá theo kế hoạch của hợp tác xã đó là $\frac{x}{20}$ (tuần). 

Thời gian đánh bắt trên thực tế của hợp tác xã đó là $\frac{x+10}{26}$ (tuần). 

Vì thực tế hợp tác xã đã hoàn thành kế hoạch sớm hơn 1 tuần, ta có phương trình: 

                                 $\frac{x}{20}=\frac{x+10}{26}+1$

                        ⇔    $\frac{13x}{260}=\frac{10.(x+10)}{260}+\frac{260}{260}$

                        ⇔    13x = 10.(x + 10) + 260

                        ⇔     3x = 360

                        ⇔     x = 120 (thoả mãn điều kiện). 

Vậy lượng cá cần đánh bắt theo kế hoạch của hợp tác xã đó là 120 tấn.

Bài tập 17: Một tổ sản xuất của công ty may Đức Long được giao may một số áo sơ mi để xuất khẩu trong 20 ngày. Khi thực hiện, tổ sản xuất đó đã tăng năng suất 20% nên sau 18 ngày không những đã xong không những đã xong số áo đó mà còn may thêm được 24 áo nữa. Tính số áo sơ mi mà tổ đó đã may được trên thực tế..

Hướng dẫn trả lời:

Gọi số áo sơ mi tổ đó đã may được trên thực tế là x chiếc (x ∈ N*, x > 24).

Trên thực tế, một ngày tổ may được $\frac{x}{18}$ chiếc

Theo kế hoạch, số áo sơ mi tổ cần may là x - 24 chiếc, một ngày chỉ cần may $\frac{x-24}{20}$ chiếc.

Vì thực tế tổ sản xuất đó đã tăng năng suất 20% so với kế hoạch nên ta có phương trình:

                                   $\frac{x}{18}=\frac{x-24}{20}$.120%

                        ⇔       $\frac{x}{18}=\frac{3.(x-24)}{50}$

                        ⇔       $\frac{25x}{450}=\frac{27.(x-24)}{450}$

                        ⇔       25x = 27x - 648

                        ⇔       2x = 648

                        ⇔       x = 324. (thoả mãn điều kiện).

Vậy số áo sơ mi tổ đã may được trên thực tế là 324 chiếc.

Bài tập 18: Một tam giác có chiều cao bằng $\frac{1}{4}$ độ dài cạnh đáy tương ứng. Nếu tăng chiều cao đó thêm 2 m và giảm độ dài cạnh đáy tương ứng 2 m thì diện tích tam giác tăng thêm 2,5 m. Tính chiều cao và độ dài cạnh đáy tương ứng của tam giác ban đầu.

Hướng dẫn trả lời:

Gọi x (m) là chiều cao của tam giác ban đầu (x > 0). Khi đó, độ dài cạnh đáy tương ứng là 4x (m) và diện tích tam giác ban đầu là: (x . 4x) : 2 = 2x$^{2}$ (m$^{2}$). 

Khi tăng chiều cao đó thêm 2 m và giảm độ dài cạnh đáy tương ứng 2 m thì chiều cao mới là x + 2 (m), độ dài cạnh đáy tương ứng là 4x − 2 (m) và diện tích tam giác lúc đó là:

(x + 2)(4x – 2) : 2 = (x + 2)(2x - 1) = 2x$^{2}$ + 3x – 2 (m$^{2}$). 

Vì diện tích tam giác tăng thêm 2,5 m$^{2}$ nên ta có phương trình: 

                                      (2x$^{2}$ + 3x − 2) – 2x$^{2}$ = 2,5. 

                          ⇔       3x - 2 = 2,5

                          ⇔       3x = 4,5

                          ⇔       x = 1,5(thỏa mãn điều kiện). 

Vậy tam giác ban đầu có chiều cao là 1,5 m và độ cạnh đáy tương ứng là 4.1,5 = 6 m.

Bài tập 19: Một đàn ngỗng trời đang bay, chợt một con ngỗng khác bay ngang qua kêu “Chào trăm bạn”. Con ngỗng đầu đàn đáp: “Chúng tôi không đúng 100. Số bọn chúng tôi hiện có cộng thêm số hiện có và $\frac{1}{2}$ số hiện có và $\frac{1}{4}$ số hiện có và cả bạn vào nữa mới đủ 100”. Hỏi đàn ngỗng (không tính con ngỗng bay ngang qua) có bao nhiêu con?

Hướng dẫn trả lời:

Gọi số con ngỗng của đàn ngỗng (không tính con bay ngang qua) là x (con ngỗng), x ∈ N* và x < 100. 

Theo đề bài, ta có phương trình: x + x + $\frac{1}{2}$x + $\frac{1}{4}$x + 1 = 100.

                                    ⇔           $\frac{11}{4}$x = 99

                                    ⇔           x = 99:$\frac{11}{4}$

                                    ⇔           x = 36 (thoả mãn điều kiện). 

Vậy đàn ngỗng (không tính con ngỗng bay ngang qua) có 36 con.