Giải chi tiết Toán 8 cánh diều mới bài 2: Ứng dụng của phương trình bậc nhất một ẩn

MỞ ĐẦU

Phương trình bậc nhất một ẩn giúp chúng ta giải quyết nhiều vấn đề trong toán học cũng như trong thực tiễn. 

Chẳng hạn, trong kho tàng văn hóa dân gian Hy Lạp có bài toán cổ như sau:

Một người hỏi nhà toán học Pythagore rằng ông có bao nhiêu học trò. Ông trả lời: "Một nửa số học của tôi học Toán, một phần tư học Nhạc, một phần bảy đăm chiêu, ngoài ra có ba cô gái".

Câu hỏi: Hỏi nhà toán học Pythagore có bao nhiêu học trò? 

Hướng dẫn trả lời:

Gọi số học trò của nhà toán học Pythagore là x ($x\in N^{*}$)

Khi đó: Số học trò học Toán là $\frac{x}{2}$; số học trò học Nhạc là $\frac{x}{4}$; số học trò đăm chiêu là $\frac{x}{7}$

Theo giả thiết, ta có phương trình:

$\frac{x}{2}+\frac{x}{4}+\frac{x}{7}+3=x$

$\frac{25x+84}{28}=x$

25x + 84 = 28x

3x = 84

x = 28

Vậy số học trò của nhà toán học Pythagore là 28.

I. BIỂU DIỄN MỘT ĐẠI LƯỢNG BỞI BIỂU THỨC CHỨA ẨN

Luyện tập 1: Bạn An dành mỗi ngày x phút để chạy bộ. Viết biểu thức biểu thị theo biến x:

a) Quãng đường (đơn vị: m) bạn An chạy được trong x phút, nếu bạn An chạy với tốc độ là 150 m/phút;

b) Tốc độ của bạn An (đơn vị: m/phút), nếu trong x phút bạn An chạy được quãng đường là 1 800 m.

Hướng dẫn trả lời:

Công thức quãng đường chạy bằng tốc độ nhân với thời gian chạy.

a) Quãng đường bạn An chạy được trong x phút với tốc độ 150 m/phút là: 150x (m).

b) Tốc độ của bạn An khi chạy x phút với quãng đường chạy được 1 800 m là: $\frac{1800}{x}$ (m/phút).

II. MỘT SỐ VÍ DỤ VỀ ỨNG DỤNG PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT MỘT ẨN

Luyện tập 2: Hiện nay ông hơn cháu 56 tuổi. Cách đây 5 năm, tuổi của ông gấp tám lần tuổi của cháu. Hỏi cháu hiện nay bao nhiêu tuổi?

Hướng dẫn trả lời:

Gọi tuổi của cháu hiện nay là x, $x \in N^{*}$

Khi đó, tuổi của ông hiện nay là x + 56.

Cách đây 5 năm, tuổi của cháu là x - 5, tuổi của ông là x + 56 - 5 = x + 51.

Theo giả thiết, ta có phương trình: x + 51 = 8(x - 5)

Giải phương trình:

x + 51 = 8(x - 5)

x + 51 = 8x - 40

51 + 40 = 8x - x

91 = 7x

x = 13.

Giá trị x = 13 thỏa mãn điều kiện của ẩn. Vậy hiện nay cháu 13 tuổi.

Luyện tập 3: Một tổ may áo theo kế hoạch mỗi ngày phải may 30 cái áo. Nhờ cải tiến kĩ thuật, tổ đã may được mỗi ngày 40 cái nên đã hoàn thành trước thời hạn 3 ngày và còn may thêm được 20 cái áo nữa. Tính số áo mà tổ đó phải may theo kế hoạch.

Hướng dẫn trả lời:

Gọi số áo theo kế hoạch là x (cái) (x>0, $x \in N^{*}$)

Số ngày hoàn thành may áo theo kế hoạch là $\frac{x}{30}$ (ngày)

Nhờ cải tiến kĩ thuật, tổ đã may thêm được 20 cái áo nên tổng số áo may được là x + 20 (cái). Do đó số ngày hoàn thành trước kế hoạch là $\frac{x+20}{40}$ (ngày)

Vì tổ đã hoàn thành trước thời hạn 3 ngày nên ta có phương trình:

$\frac{x}{30}-3=\frac{x+20}{40}$

$\frac{x-90}{30}=\frac{x+20}{40}$

40(x - 90) = 30(x + 20)

40x - 3600 = 30x + 600

40x - 30x = 600 + 3600

10x = 4200

x = 420

Vậy số áo mà tổ đó phải may theo kế hoạch là 420 cái.

BÀI TẬP

Bài 1: Một cuộc thi có 20 câu hỏi với quy định cho điểm như sau: Với mỗi câu hỏi, nếu trả lời đúng thì được cộng 5 điểm, trả lời sai thì bị trừ 1 điểm, không trả lời thì không được điểm. Bạn Minh được 70 điểm trong cuộc thi đó. Hỏi bạn Minh đã trả lời đúng được bao nhiêu câu? Biết rằng bạn Minh đã trả lời tất cả các câu trong cuộc thi.

Hướng dẫn trả lời:

Vì bạn Minh đã trả lời tất cả các câu trong cuộc thi nên không có câu nào bạn Minh không trả lời được. Do đó, bạn Minh chỉ có thể trả lời đúng hoặc sai. 

Gọi số câu đúng là x (0 < x < 20)

Khi đó, số câu sai là 20 - x. 

Suy ra: Số điểm nhận được cho câu trả lời đúng là 5x; số điểm nhận được cho câu trả lời sai là - (20 - x).

Ta có phương trình: 5x - (20 - x) = 70

5x - 20 + x = 70

6x = 70 + 20

6x = 90

x = 15 (thỏa mãn điều kiện)

Vậy bạn Minh đã trả lời đúng được 15 câu. 

Bài 2: Giá niêm yết của một máy lọc nước và một nồi cơm điện có tổng là 6,5 triệu đồng. Bác Bình mua hàng vào đúng dịp tri ân khách hàng nên so với giá niêm yết máy lọc nước được giảm giá 15% và nồi cơm điện được giảm giá 10%. Do đó, tổng số tiền bác phải trả là 5,65 triệu đồng. Tính giá tiền niêm yết của mỗi sản phẩm đã nêu.

Hướng dẫn trả lời:

Giả sử gọi giá tiền niêm yết của máy lọc nước là x (0 < x < 6,5)

Khi đó, giá tiền niêm yết của nồi cơm điện là 6,5 - x.

Giá của máy lọc nước sau khi được giảm giá còn: x - 0,15x; giá của nồi cơm điện sau khi được giảm giá là (6,5 - x) - 0,1(6,5 - x).

Vì tổng số tiền bác Bình phải trả sau khi được giảm giá là 5,65 triệu đồng nên ta có phương trình:

x - 0,15x + (6,5 - x) - 0,1(6,5 - x) = 5,65

x - 0,15x + 6,5 - x - 0,65 + 0,1x = 5,65

-0,05x = -0,2

x = 4 (thỏa mãn điều kiện)

Vậy giá tiền niêm yết của máy lọc nước là 4 triệu đồng; giá tiền niêm yết của nồi cơm điện là 6,5 - 4 = 2,5 triệu đồng.

Bài 3: Bác An đã gửi một lượng tiền tiết kiệm kì hạn 1 năm ở một ngân hàng với lãi suất 5,6%/năm (cứ sau kì hạn 1 năm, tiền lãi của kì hạn đó lại được cộng vào tiền vốn). Sau khi gửi 2 năm, bác An có được số tiền cả gốc và lãi là 111 513 600 đồng. Hỏi ban đầu bác An đã gửi vào ngân hàng số tiền là bao nhiêu đồng? Biết rằng lãi suất ngân hàng không thay đổi trong 2 năm đó. 

Hướng dẫn trả lời:

Gọi số tiền ban đầu bác An gửi vào ngân hàng là x (đồng)

Số tiền sau một năm gửi ngân hàng là x + 0,056x = 1,056x

Số tiền sau hai năm gửi ngân hàng là 1,056x + 0,056.1,056x = $1,056x^{2}$

Ta có phương trình: $1,056x^{2}$= 111 513 600

x = 100 000 000.

Vậy ban đầu bác An đã gửi vào ngân hàng số tiền là 100 000 000 đồng.

Bài 4: Một xe ô tô tải đi từ Cần Thơ đến Bạc Liêu với tốc độ trung bình là 42 km/h. Sau đó 45 phút, trên cùng tuyến đường, một xe taxi cũng xuất phát đi từ Cần Thơ đến Bạc Liêu với tốc độ trung bình là 60 km/h và đến Cần Thơ cùng lúc với xe ô tô tải. Tính quãng đường mà xe ô tô tải đã đi từ Cần Thơ đến Bạc Liêu.

Hướng dẫn trả lời:

Đổi 45 phút = $\frac{3}{4}$ giờ.

Gọi quãng đường mà xe ô tô tải đã đi từ Cần Thơ đến Bạc Liêu là x (km) (x > 0)

Thời gian xe ô tô tải đi hết quãng đường là $\frac{x}{42}$ (giờ) 

Thời gian xe taxi đi hết quãng đường là $\frac{x}{60}$ (giờ)

Ta có phương trình: $\frac{x}{42}-\frac{x}{60}=\frac{3}{4}$

$\frac{10x-7x}{420}=\frac{315}{420}$

10x - 7x = 315

3x = 315

x = 105 (thỏa mãn điều kiện)

Vậy quãng đường xe ô tô tải đã đi từ Cần Thơ đến Bạc Liêu là 105 km.

Bài 5: Câu ca dao "Lúa chiêm lấp ló đầu bờ - Hễ nghe tiếng sấm phất cờ mà lên" về mặt khoa học được giải thích như sau: Khi trời mưa kèm theo sấm sét, nitric acid sẽ được sinh ra và hòa tan trong nước mưa, có tác dụng làm tăng cường dinh dưỡng nitrogen cho đất trồng, giúp cây lúa phát triển tươi tốt. Phân tử của nitric acid đó có một nguyên từ H, một nguyên từ N và x nguyên tử O. Xác định công thức phân tử của nitric acid đó. Biết khối lượng phân tử của nó là 63 amu và khối lượng của mỗi nguyên tử H, N, O lần lượt là 1 amu, 14 amu, 16 amu.

Hướng dẫn trả lời: