Giải chi tiết Toán 8 cánh diều mới bài 1: Định lí Thalès trong tam giác

MỞ ĐẦU 

Bác Dư muốn cắt một thanh sắt (Hình 1) thành năm phần bằng nhau nhưng bác lại không có thước để đo.

Câu hỏi: Bác Dư có thể thực hiện điều đó bằng cách nào?

Hướng dẫn trả lời:

Gọi A,B là hai đầu mút của thanh sắt

- Vẽ đoạn thẳng A'B' song song với AB, A'B' có độ dài 5 đơn vị.

- C', D', E', F' nằm trên A'B' sao cho A'C' = C'D' = D'E' = E'F' = F'B' = 1. Xác định giao điểm O của hai đoạn thẳng AA' và BB'. 

- Vẽ các đường thẳng OC', OD', OE', OF' cắt AB lần lượt tại C, D, E, F. 

- Theo hệ quả của định lý Thalès ta có: 

AC // A'C' (C ∈ AB, C' ∈ A'B') nên $\frac{AC}{A'C'}=\frac{OA}{OA'}=\frac{OC}{OC'}$ (1)

Tương tự ta có: $\frac{CD}{C'D'}=\frac{OC}{OC'}=\frac{OD}{OD'}$ (2)

$\frac{DE}{D'E'}=\frac{OD}{OD'}=\frac{OE}{OE'}$ (3)

$\frac{EF}{E'F'}=\frac{OE}{OE'}$ (4)

$\frac{FB}{F'B'}=\frac{OF}{OF'}=\frac{OB}{OB'}$ (5)

Từ (1)(2)(3)(4)(5) suy ra: $\frac{AC}{A'C'}=\frac{CD}{C'D'}=\frac{DE}{D'E'}=\frac{EF}{E'F'}=\frac{FB}{F'B'}$

Mà A'C' = C'D' = D'E' = E'F' = F'B' = 1

Do đó: AC = CD= DE = EF = FB. (đpcm)

I. ĐOẠN THẲNG TỈ LỆ

Hoạt động 1: Cho hai đoạn thẳng AB = 2 cm, CD = 3 cm và hai đoạn thẳng MN = 4 cm, PQ = 6 cm. So sánh hai tỉ số $\frac{AB}{CD},\frac{MN}{PQ}$

Hướng dẫn trả lời:

Ta có: $\frac{AB}{CD}=\frac{2}{3};\frac{MN}{PQ}=\frac{4}{6}=\frac{2}{3}$

Suy ra: $\frac{AB}{CD}=\frac{MN}{PQ}$

II. ĐỊNH LÍ THALÈS TRONG TAM GIÁC

1. Định lí Thalès

Hoạt động 2: Quan sát Hình 3 và cho biết:

a) Đường thẳng d có song song với BC hay không. 

b) Bằng cách đếm số ô vuông, dự đoán xem các tỉ số $\frac{AM}{MB},\frac{AN}{NC}$ có bằng nhau hay không.

Hướng dẫn trả lời:

a) Đường thẳng d song song với BC.

b) $\frac{AM}{MB}=\frac{AN}{NC}=2$

Luyện tập 1: Trong Hình 4, chứng tỏ rằng nếu MN // BC thì $\frac{MB}{AB}=\frac{NC}{AC}$

Hướng dẫn trả lời:

Nếu MN // AB thì $\frac{AM}{MB}=\frac{AN}{NC}$

Do đó: $\frac{AM}{AN}=\frac{MB}{NC}=\frac{AM+MB}{AN+NC}=\frac{AB}{AC}$

Suy ra: $\frac{MB}{AB}=\frac{NC}{AC}$

Luyện tập 2: Cho tam giác ABC có G là trọng tâm. Đường thẳng qua G song song với BC lần lượt cắt cạnh AB, AC tại M, N. Chứng minh $\frac{AM}{AB}=\frac{AN}{AC}=\frac{2}{3}$

Hướng dẫn trả lời:

Gọi H là trung điểm của BC.

Vì G là trọng tâm tam giác ABC nên $\frac{AG}{AH}=\frac{2}{3}$ (1)

Tam giác ABH có GM // BC nên $\frac{AM}{AB}=\frac{AG}{AH}$ (định lí Thalès) (2)

Tam giác ACH có GN // BC nên $\frac{AN}{AC}=\frac{AG}{AH}$ (định lí Thalès) (3)

Từ (1)(2)(3) suy ra: $\frac{AM}{AB}=\frac{AN}{AC}=\frac{2}{3}$

2. Định lí Thalès đảo

Hoạt động 3: Trong Hình 7, cho AM = 1, MB = 2, AN = 1,5, NC = 3.

a) So sánh các tỉ số $\frac{AM}{MB},\frac{AN}{NC}$

b) Đường thẳng d (đi qua M, N) có song song với BC hay không?

Hướng dẫn trả lời:

a) $\frac{AM}{MB}=\frac{AN}{NC}$

b) Đường thẳng d (đi qua M, N) song song với BC.

Luyện tập 3: Cho tam giác ABC vuông tại A có CA = 4, CB = 5. Giả sử M, N là hai điểm lần lượt nằm trên hai cạnh CA, CB sao cho CM = 1, CN = 1,25. Tính độ dài đoạn thẳng MN.

Hướng dẫn trả lời:

Tam giác ABC vuông tại A có: $AB^{2}+AC^{2}=BC^{2}$

Suy ra: AB = 3.

Ta có: $\frac{CM}{CA}=\frac{1}{4};\frac{CN}{CB}=\frac{1,25}{5}=\frac{1}{4}$

Do đó: $\frac{CM}{CA}=\frac{CN}{CB}$ hay MN // AB.

Suy ra: $\frac{MN}{AB}=\frac{1}{4}$

Mà AB = 3

Nên MN = 0,75.

BÀI TẬP

Bài 1:  Cho tam giác ABC có AB = 4,5 cm, AC = 6 cm. Các điểm M, N lần lượt thuộc các cạnh AB, AC thỏa mãn AM = 3 cm và MN // BC. Tính độ dài đoạn thẳng AN.

Hướng dẫn trả lời:

Vì MN // BC nên $\frac{AM}{AB}=\frac{AN}{AC}$ hay $\frac{3}{4,5}=\frac{AN}{6}$

Suy ra: AN = 4.

Bài 2: Cho hình thang ABCD (AB //CD) có AB = 4cm, CD = 6 cm. Đường thẳng d song song với hai đáy và cắt hai cạnh bên AD, BC của hình thang đó lần lượt tại M, N; cắt đường chéo AC tại P.

a) Chứng minh $\frac{AM}{MD}=\frac{BN}{NC}$

b) Tính độ dài các đoạn thẳng MP, PN, MN; biết rằng MD = 2MA.

Hướng dẫn trả lời:

a) Tam giác ACD có MP // CD: $\frac{AM}{MD}=\frac{AP}{PC}$1)

Tam giác ABC có PN // AB: $\frac{BN}{NC}=\frac{AP}{PC}$ (2)

Từ (1)(2) suy ra: $\frac{AM}{MD}=\frac{BN}{NC}$

b) Ta có: MD = 2MA nên $\frac{AM}{MD}=\frac{1}{2}$ hay $\frac{AM}{AD}=\frac{1}{3}$

Mà $\frac{MP}{CD}=\frac{AM}{AD}$ (MP // CD)

Suy ra: $\frac{MP}{CD}=\frac{1}{3}$ mà CD = 6 nên MP = 2.

Vì $\frac{AM}{MD}=\frac{BN}{NC}$ (câu a) nên $\frac{BN}{NC}=\frac{1}{2}$ hay $\frac{CN}{BC}=\frac{2}{3}$

Mà $\frac{PN}{AB}=\frac{CN}{BC}$

Suy ra: $\frac{PN}{AB}=\frac{2}{3}$ mà AB = 4 nên $PN=\frac{8}{3}$

Do đó: $MN=MP+PN=2+\frac{8}{3}=\frac{14}{3}$

Bài 3: Trong Hình 15, cho MN //AB, NP // BC. Chứng minh MP // AC. 

Hướng dẫn trả lời:

MN // AB nên $\frac{OM}{OA}=\frac{ON}{OB}$

NP // BC nên $\frac{OP}{OC}=\frac{ON}{OB}$

Do đó: $\frac{OM}{OA}=\frac{OP}{OC}$

Suy ra: MP // AC (định lí Thalès).

Bài 4: Trong Hình 16, độ dài đoạn thẳng A'C' mô tả chiều cao của một cái cây, đoạn thẳng AC mô tả chiều cao của một cái cọc (cây và cọc cùng vuông góc với đường thẳng đi qua ba điểm A', A', B). Giả sử AC = 2m, AB = 1,5 m, A'B = 4,5 m. Tính chiều cao của cây.

Hướng dẫn trả lời:

Do AC // A'C' (cùng vuông góc với A'B) nên $\frac{AC}{A'C'}=\frac{AB}{A'B'}$

Suy ra: $\frac{2}{A'C'}=\frac{1,5}{4,5}$. Do đó A'C' = 6.

Vậy chiều cao của cây là 6 cm.

Bài 5: Cho đoạn thẳng AB. Hãy trình bày cách chia đoạn thẳng AB thành ba đoạn thẳng bằng nhau mà không dùng thước để đo.

Hướng dẫn trả lời:

- Vẽ đoạn thẳng PQ song song với AB, PQ có độ dài bằng 3 đơn vị.

- E, F nằm trên PQ sao cho PE = EF = FQ = 1. Xác định giao điểm O của hai đoạn thẳng PB và AQ.

- Vẽ các đường thẳng EO, FO cắt AB tại C, D.

- Theo hệ quả định lí Thalès ta có:

Tam giác OAC có FQ // AC (F ∈ OC, Q ∈ OA)

Suy ra: $\frac{AC}{FQ}=\frac{OA}{OQ}=\frac{OC}{OF}$ (1)

Chứng minh tương tự ta được: $\frac{CD}{EF}=\frac{OC}{OF}=\frac{OD}{OE}$ (2)

$\frac{BD}{PE}=\frac{OD}{OE}=\frac{OB}{OP}$ (3)

Từ (1)(2)(3) suy ra: $\frac{AC}{FQ}=\frac{CD}{EF}=\frac{BD}{PE}$

Mà PE = EF = FQ = 1. Do đó: AC = CD = BD. (đpcm)