Giải chi tiết Toán 8 cánh diều mới bài 5: Tam giác đồng dạng

MỞ ĐẦU

Trong bức ảnh ở Hình 46, các tam giác được tạo dựng với hình dạng giống hệt nhau nhưng có kích thước to nhỏ khác nhau.

Câu hỏi: Các tam giác trong Hình 46 gợi nên những tam giác có mối liên hệ gì?

Hướng dẫn trả lời:

Các tam giác trong Hình 46 gợi nên những tam giác đồng dạng với nhau.

I. ĐỊNH NGHĨA

Luyện tập 1: Cho △A'B'C' ∼ △ABC và AB = 3, BC = 2, CA = 4, A'B' = x, B'C' = 3, C'A' = y. Tìm x và y.

Hướng dẫn trả lời:

Ta có: △A'B'C' ∼ △ABC

Suy ra: $\frac{A'B'}{AB}=\frac{B'C'}{BC}=\frac{C'A'}{CA}$

Hay $\frac{x}{3}=\frac{3}{2}=\frac{y}{4}$

Ta có: $\frac{x}{3}=\frac{3}{2}$ Suy ra: x = 4,5.

$\frac{3}{2}=\frac{y}{4}$ Suy ra: y = 6.

II. TÍNH CHẤT

Luyện tập 2: Cho tam giác ABC. Gọi B', C' lần lượt là trung điểm của AB, AC. Chứng minh △AB'C' ∼ △ABC.

Hướng dẫn trả lời:

Ta có: B', C' lần lượt là trung điểm của AB, AC.

Suy ra: B'C' là đường trung bình của tam giác ABC nên B'C' // BC. 

Theo định lí về cặp tam giác đồng dạng nhận được từ định lí Thalès: Nếu một đường thẳng cắt hai cạnh của một tam giác và song song với cạnh thứ ba thì nó tạo thành một tam giác mới đồng dạng với tam giác đã cho. 

Do đó: △AB'C' ∼ △ABC.

BÀI TẬP

Bài 1: Cho △ABC ∼ △MNP và $\hat{A}=45^{o},\hat{B}=60^{o}$. Tính các góc C, M, N, P.

Hướng dẫn trả lời:

Tam giác ABC có: $\hat{C}=180^{o}-\hat{A}-\hat{B}=75^{o}$

Do △ABC ∼ △MNP nên suy ra: 

$\hat{A}=\hat{M}=45^{o}$

$\hat{B}=\hat{N}=60^{o}$

$\hat{C}=\hat{P}=75^{o}$

Bài 2: Cho △ABC ∼ △MNP và AB = 4, BC = 6, CA = 5, MN = 5. Tính độ dài các cạnh NP, PM. 

Hướng dẫn trả lời:

Ta có: △ABC ∼ △MNP 

Suy ra: $\frac{AB}{MN}=\frac{BC}{NP}=\frac{CA}{PM}$ hay $\frac{4}{5}=\frac{6}{NP}=\frac{5}{PM}$

Ta có: $\frac{4}{5}=\frac{6}{NP}$ nên NP = 7,5.

$\frac{4}{5}=\frac{5}{PM}$ nên PM = 6,25.

Bài 3: Ba vị trí A, B, C trong thực tiễn lần lượt được mô tả bởi ba đỉnh của tam giác A'B'C' trên bản vẽ. Biết tam giác A'B'C' đồng dạng với tam giác ABC theo tỉ số $\frac{1}{1000000}$ và A'B' = 4 cm, B'C' = 5 cm, C'A' = 6 cm. Tính khoảng cách giữa hai vị trí A và B, B và C, C và A trong thực tiễn (theo đơn vị kilômét). 

Hướng dẫn trả lời:

Ta có: △A'B'C' ∼ △ABC theo tỉ số $\frac{1}{1000000}$ 

Suy ra: $\frac{A'B'}{AB}=\frac{B'C'}{BC}=\frac{C'A'}{CA}=\frac{1}{1000000}$ 

Hay $\frac{4}{AB}=\frac{5}{BC}=\frac{6}{CA}=\frac{1}{1000000}$ 

Ta có: $=\frac{4}{AB}=\frac{1}{1000000}$ nên AB = 4 000 000

$\frac{5}{BC}=\frac{1}{1000000}$ nên BC = 5 000 000 

$\frac{6}{CA}=\frac{1}{1000000}$ nên CA = 6 000 000

Bài 4: Trong Hình 54, độ rộng của khúc sông được tính bằng khoảng cách giữa hai vị trí C, D. Giả sử chọn được các vị trí A, B, E sao cho △ABE ∼ △ACD và đo được AB = 20 m, AC = 50 m, BE = 8 m. Tính độ rộng của khúc sông đó.

Hướng dẫn trả lời:

Ta có: △ABE ∼ △ACD

Suy ra: $\frac{AB}{AC}=\frac{BE}{CD}=\frac{EA}{DA}$ hay $\frac{20}{50}=\frac{8}{CD}$

Do đó: CD = 20 m

Vậy độ rộng của khúc sông đó là 20 m.

Bài 5: Cho tam giác ABC. (Hình 55), các điểm M, N thuộc cạnh AB thỏa mãn AM = MN = NB, các điểm P, Q thuộc cạnh AC thỏa mãn AP = PQ = QC. Tam giác AMP đồng dạng với những tam giác nào?

Hướng dẫn trả lời:

Tam giác AMP đồng dạng với các tam giác ANQ và tam giác ABC.

Bài 6: Cho hình bình hành ABCD. Một đường thẳng đi qua D lần lượt cắt đoạn thẳng BC và tia AB tại M và N sao cho điểm M nằm giữa hai điểm B và C. Chứng minh: 

a) △NBM ∼ △NAD;

b) △NBM ∼ △DCM;

c) △NAD ∼ △DCM.

Hướng dẫn trả lời:

a) Ta có: AD // BC (ABCD là hình bình hành) mà M thuộc BC nên BM // AD

Suy ra: △NBM ∼ △NAD.

b) Ta có: AB // CD (ABCD là hình bình hành) mà N thuộc AB nên BN // CD

Suy ra: △NBM ∼ △DCM.

c) Ta có: △NBM ∼ △NAD (câu a) và △NBM ∼ △DCM (câu b)

Do đó: △NAD ∼ △DCM.