Giải chi tiết Toán 8 cánh diều mới bài 8: Trường hợp đồng dạng thứ ba của tam giác

Hai tam giác A'B'C' và ABC đồng dạng với nhau.

I. TRƯỜNG HỢP ĐỒNG DẠNG THỨ BA: GÓC - GÓC

Luyện tập 1: Cho hai tam giác ABC và MNP thỏa mãn $\hat{A}=50^{o}, \hat{B}=60^{o}, \hat{N}=60^{o}, \hat{P}=70^{o}$ . Chứng minh △ABC ∼ △MNP. 

Hướng dẫn trả lời:

Tam giác MNP có: $\hat{M}+\hat{N}+\hat{P}=180^{o}$

Mà $\hat{N}=60^{o},\hat{P}=70^{o}$

Suy ra: $\hat{M}=50^{o}$

Ta có: $\hat{A}=\hat{M}=50^{o};\hat{B}=\hat{N}=60^{o}$

Suy ra: △ABC ∼ △MNP (g.g).

II. ÁP DỤNG TRƯỜNG HỢP ĐỒNG DẠNG THỨ BA CỦA TAM GIÁC VÀO TAM GIÁC VUÔNG

Luyện tập 2: Cho tam giác nhọn ABC có hai đường cao AD, BE cắt nhau tại H. Chứng minh HA.HD = HB.HE.

Hướng dẫn trả lời:

Ta có: $\widehat{HEA}=\widehat{HDB}=90^{o};\widehat{AHE}=\widehat{BHD}$ (hai góc đối đỉnh)

Suy ra: △AEH ∼ △BDH (g.g)

Do đó: $\frac{HA}{HB}=\frac{HE}{HD}$ hay HA.HD = HB.HE.

BÀI TẬP

Bài 1: Cho Hình 86. 

a) Chứng minh △MNP ∼ △ABC.

b) Tìm x.

Hướng dẫn trả lời:

a) Ta có: $\hat{M}=\hat{A}=60^{o};\hat{N}=\hat{B}$

Suy ra: △MNP ∼ △ABC (g.g)

b) △MNP ∼ △ABC nên $\frac{MP}{AC}=\frac{NP}{BC}$ hay $\frac{x}{4\sqrt{2}} =\frac{3\sqrt{3}}{4\sqrt{3}}$

Do đó: $x=3\sqrt{2}$

Bài 2: Cho hai tam giác ABC và PMN thỏa mãn $\hat{A}=70^{o}, \hat{B}=80^{o}, \hat{M}=80^{o}, \hat{N}=30^{o}$ Chứng minh $\frac{AB}{PM}=\frac{BC}{MN}=\frac{CA}{NP}$

Tam giác MNP có: $\hat{M}+\hat{N}+\hat{P}=180^{o}$

Mà $\hat{M}=80^{o};\hat{N}=30^{o}$

Suy ra: $\hat{P}=70^{o}$

Ta có: $\hat{A}=\hat{P}=70^{o};\hat{B}=\hat{M}=80^{o}$

Suy ra: △ABC ∼ △PMN (g.g)

Do đó: $\frac{AB}{PM}=\frac{BC}{MN}=\frac{CA}{NP}$

Bài 3: Cho tam giác nhọn ABC, hai đường cao AD và BE cắt nhau tại H. Chứng minh:

a) △ACD ∼ △BCE và CA . CE = CB . CD;

b) △ACD ∼ △AHE và AC . AE = AD . AH.

Hướng dẫn trả lời:

a) Ta có: $\widehat{ADC}=\widehat{BEC}=90^{o}$ chung góc C

Suy ra: △ACD ∼ △BCE (g.g)

Do đó: $\frac{CA}{CB}=\frac{CD}{CE}$ hay CA . CE = CB . CD.

b) Ta có: $\widehat{ADC}=\widehat{AEH}=90^{o}$; chung góc A

Suy ra: △ACD ∼ △AHE (g.g)

Do đó: $\frac{AC}{AH}=\frac{AD}{AE}$ hay AC . AE = AD . AH. 

Bài 4: Cho Hình 87 với $\widehat{OAD}=\widehat{OCB}$. Chứng minh:

a) △OAD ∼ △OCB;

b) $\frac{OA}{OD}=\frac{OC}{OB}$

c) △OAC ∼ △ODB.

Hướng dẫn trả lời:

a) Ta có: $\widehat{OAD}=\widehat{OCB}$ chung góc O

Suy ra: △OAD ∼ △OCB (g.g)

b) Do △OAD ∼ △OCB nên $\frac{OA}{OD}=\frac{OC}{OB}$

Hay $\frac{OA}{OD}=\frac{OC}{OB}$

c) Ta có:  $\frac{OA}{OD}=\frac{OC}{OB}$ (cmt) và chung góc O

Suy ra: △OAC ∼ △ODB (c.g.c) 

Bài 5: Cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH (Hình 88). Chứng minh:

a) △ABC ∼ △HBA và $AB^{2}=BC.BH$

b) △ABC ∼ △HAC và $AC^{2}=BC.CH$

c) △ABH ∼ △CAH và $AH^{2}=BH.CH$

d) $\frac{1}{AH^{2}}=\frac{1}{AB^{2}}+\frac{1}{AC^{2}}$

Hướng dẫn trả lời:

a) Ta có: $\widehat{BAC}=\widehat{BHA}=90^{o}$; chung góc B 

Suy ra: △ABC ∼ △HBA (g.g)

Do đó: $\frac{AB}{HB}=\frac{BC}{BA}$

Hay $AB^{2}=BC.BH$

b) Ta có: $\widehat{BAC}=\widehat{AHC}=90^{o}$; chung góc C

Suy ra: △ABC ∼ △HAC (g.g)

Do đó: $\frac{AC}{HC}=\frac{BC}{AC}$

Hay $AC^{2}=BC.CH$

c) Ta có: △ABC ∼ △HBA 

Mà △ABC ∼ △HAC

Suy ra: △ABH ∼ △CAH

Do đó: $\frac{AH}{CH}=\frac{BH}{AH}$

Hay $AH^{2}=BH.CH$

d) Ta có: $AB^{2}=BC.BH$. Suy ra: $\frac{1}{AB^{2}}=\frac{1}{BC.BH}$

$AC^{2}=BC.CH$ Suy ra: $\frac{1}{AC^{2}}=\frac{1}{BC.CH}$

$AH^{2}=BH.CH$ Suy ra: $\frac{1}{AH^{2}}=\frac{1}{BH.CH}$ (1)

Ta có: $\frac{AB^{2}}+\frac{1}{AC^{2}}=\frac{1}{BC.BH}+\frac{1}{BC.CH}=\frac{CH+BH}{BC.BH.CH}=\frac{BC}{BC.CH.BH}=\frac{1}{BH.CH}$(2)

Từ (1)(2) suy ra: $\frac{1}{AH^{2}}=\frac{1}{AB^{2}}+\frac{1}{AC^{2}}$

Bài 6: Trong Hình 89, bạn Minh dùng một dụng cụ để đo chiều cao của cây. Cho biết khoảng cách từ mắt bạn Minh đến cây và đến mặt đất lần lượt là AH = 2,8 m và AK = 1,6 m. Em hãy tính chiều cao của cây.

Hướng dẫn trả lời:

Chiều cao của cây là đoạn thẳng BC. 

Ta có: AHBK là hình chữ nhật nên AK = BH = 1,6 m

Tam giác AHB vuông tại H: $AB=\sqrt{AH^{2}+BH^{2}}=\sqrt{2,8^{2}+1,6^{2}}=\frac{2\sqrt{65}}{5}$

Ta có: $\widehat{AHB}=\widehat{CAB}=90^{o}$; chung góc B

Suy ra: △HBA ∼ △ABC

Do đó: $\frac{HB}{AB}=\frac{BA}{BC}$

Suy ra: $BC=\frac{AB^{2}}{HB}=6,5$ m