Giải chi tiết Toán 8 cánh diều mới bài 9: Hình đồng dạng

MỞ ĐẦU

Hình 90 mô tả hai bức ảnh cùng chụp Ngọ Môn (Hoàng Thành Huế) nhưng có kích thước khác nhau:

Câu hỏi: Hai bức ảnh trong Hình 90 giống hệt nhau nhưng có kích thước to nhỏ khác nhau gợi nên những hình có mối liên hệ gì?

Hướng dẫn trả lời:

Hai bức ảnh trong Hình 90 giống hệt nhau nhưng có kích thước to nhỏ khác nhau gợi nên những hình đồng dạng.

Bài 1: Trong Hình 96, các điểm A, B, C, D lần lượt là trung điểm của các đoạn thẳng OA'', OB'', OC'', OD''. Quan sát Hình 96 và cho biết: 

a) Hai hình thoi A'B'C'D' và A''B''C''D'' có bằng nhau hay không?

b) Hai hình thoi A'B'C'D' và ABCD có đồng dạng hay không?

Hướng dẫn trả lời: 

a) Hình thoi A'B'C'D' bằng hình thoi A''B''C''D''.

b) Hình thoi A''B''C''D'' đồng dạng phối cảnh với hình thoi ABCD 

Mà hình thoi A'B'C'D' bằng hình thoi A''B''C''D''

Suy ra: Hình thoi A'B'C'D' đồng dạng với hình thoi ABCD.

Bài 2: Cho tam giác ABC có AB = 3, BC = 6, CA = 5. Cho O, I là hai điểm phân biệt. 

a) Giả sử tam giác A'B'C' là hình đồng dạng phối cảnh của tam giác ABC với điểm O là tâm đồng dạng phối cảnh, tỉ số $\frac{A'B'}{AB}=3$. Hãy tìm độ dài các cạnh của tam giác A'B'C'.

b) Giả sử tam giác A''B''C'' là hình đồng dạng phối cảnh của tam giác ABC với điểm I là tâm đồng dạng phối cảnh, tỉ số $\frac{A''B''}{AB}=3$. Hãy tìm độ dài các cạnh của tam giác A''B''C''.

c) Chứng minh △A'B'C' = △A''B''C''.

Chú ý: Hai tam giác cùng là hình đồng dạng phối cảnh tỉ số k (tâm đồng dạng phối cảnh có thể khác nhau) của một tam giác luôn bằng nhau.

Hướng dẫn trả lời:

a) Ta có: Tam giác A'B'C' là hình đồng dạng phối cảnh của tam giác ABC

Suy ra: Tam giác A'B'C' đồng dạng với tam giác ABC

Do đó: $\frac{A'B'}{AB}=\frac{B'C'}{BC}=\frac{C'A'}{CA}$

Mà $\frac{A'B'}{AB}=3$

Nên $\frac{B'C'}{BC}=\frac{C'A'}{CA}=3$

Ta có: $\frac{A'B'}{AB}=3$ fnên A'B' = 3.3 = 9

$\frac{B'C'}{BC}=3$ nên B'C' = 3.6 = 18 

$\frac{C'A'}{CA}=3$ nên C'A' = 3.5 = 15.

b) Ta có: Tam giác A''B''C'' là hình đồng dạng phối cảnh của tam giác ABC

Suy ra: Tam giác A''B''C'' đồng dạng với tam giác ABC

Do đó: $\frac{A''B''}{AB}=\frac{B''C''}{BC}=\frac{C''A''}{CA}$

Mà $\frac{A''B''}{AB}=3$

Nên $\frac{B''C''}{BC}=\frac{C''A''}{CA}=3$

Ta có: $\frac{A''B''}{AB}=3$ nên A''B'' = 3.3 = 9

$\frac{B''C''}{BC}=3$ nên B''C'' = 3.6 = 18 

$\frac{C''A''}{CA}=3$ nên C''A'' = 3.5 = 15.

c) Từ kết quả câu a và b ta có: A'B' = A''B''; B'C' = B''C''; C'A' = C''A''

Do đó: △A'B'C' = △A''B''C''.

Bài 3: Cho hai hình chữ nhật ABCD và A'B'C'D' có $\frac{A'B'}{B'C'}=\frac{AB}{BC}$. Trên các tia AB, AC, AD ta lần lượt lấy các điểm B'', C'', D'' sao cho $\frac{AB''}{AB}=\frac{AC''}{AC}=\frac{AD''}{AD}=\frac{B'C'}{BC}$. Chứng minh:

a) Hình chữ nhật AB''C''D'' đồng dạng phối cảnh với hình chữ nhật ABCD;

b) AB'' = A'B', B''C'' = B'C';

c) Hai hình chữ nhật ABCD và A'B'C'D' là đồng dạng.

Hướng dẫn trả lời:

a) Ta có: $\frac{AB''}{AB}=\frac{AC''}{AC}=\frac{AD''}{AD}$

Suy ra: Hình chữ nhật AB''C''D'' đồng dạng phối cảnh với hình chữ nhật ABCD. 

b) Ta có: $\frac{A'B'}{AB}=\frac{AB}{BC}$ hay $\frac{A'B'}{AB}=\frac{B'C'}{BC}$

Mà $\frac{AB''}{AB}=\frac{B'C'}{BC}$ (đề bài)

Suy ra: $\frac{A'B'}{AB}=\frac{AB''}{AB}$ do đó: A'B' = AB''.

Ta có: Hình chữ nhật AB''C''D'' đồng dạng phối cảnh với hình chữ nhật ABCD

Suy ra: $\frac{B''C''}{BC}=\frac{AB''}{AB}$

Mà $\frac{AB''}{AB}=\frac{B'C'}{BC}$ (đề bài)

Do đó: $\frac{B''C"}{BC}=\frac{B'C'}{BC}$ do đó: B''C'' = B'C'.

c) Ta có: $\frac{A'B'}{B'C'}=\frac{AB}{BC}$ hay $\frac{A'B'}{AB}=\frac{B'C'}{BC}$

Suy ra: Hình chữ nhật ABCD đồng dạng với hình chữ nhật A'B'C'D'.