Giải chi tiết Toán 8 cánh diều mới bài 2: Ứng dụng của định lí Thalès trong tam giác

MỞ ĐẦU 

Từ xa xưa, con người đã muốn tìm hiểu về Mặt Trời, Trái Đất, Mặt Trăng, chẳng hạn: Đường kính của mỗi hành tinh đó là bao nhiêu? Khoảng cách từ Trái Đất đến Mặt Trăng  và Mặt Trời là bao nhiêu? Dựa vào hiện tượng Nhật thực và Nguyệt thực, các nhà toán học và thiên văn học Hy Lạp cổ đại đã đưa ra được câu trả lời cho những vấn đề trên.

Câu hỏi: Vào thời điểm xảy ra Nhật thực (Nguyệt thực), đường kính của Mặt Trời và Mặt Trăng có tỉ lệ với khoảng cách từ Trái Đất đến Mặt Trời và đến Mặt Trăng hay không?

Hướng dẫn trả lời:

Vào thời điểm xảy ra Nhật thực (Nguyệt thực), đường kính của Mặt Trời và Mặt Trăng tỉ lệ với khoảng cách từ Trái Đất đến Mặt Trời và đến Mặt Trăng. 

I. ƯỚC LƯỢNG KHOẢNG CÁCH 

Luyện tập 1: Bạn Loan đặt một cái que lên bàn cờ vua như ở Hình 20. Bạn ấy nói rằng: không sử dụng thước đo, có thể chia cái que đó thành ba phần bằng nhau. Em hãy giải thích tại sao.

Hướng dẫn trả lời:

Vì các ô vuông nhỏ trong bàn cờ vua là như nhau và các đường ngang trên bàn cờ song song với nhau, nên bạn Loan có thể không sử dụng thước đo mà vẫn có thể chia cái que đó thành ba phần bằng nhau.

II. ƯỚC LƯỢNG CHIỀU CAO

Luyện tập 2: Người ta đo bóng của một cây và được các số đo ở Hình 23. Giả sử rằng các tia nắng song song với nhau, hãy tính độ cao x. 

Hướng dẫn trả lời:

Vì các tia nắng song song với nhau nên ta có tỉ lệ: $\frac{0,9}{x}=\frac{1,5}{2}$

Suy ra: x = 1,2. 

BÀI TẬP

Bài 1: Để đo khoảng cách giữa hai vị trí A và B trong đo B không tới được, người ta tiến hành chọn các vị trí C, D, E như ở Hình 24 và đo được AC = 50 m, CD = 20 m, DE = 18 m. Hỏi khoảng cách giữa hai vị trí A và B là bao nhiêu?

Hướng dẫn trả lời:

Ta có: DE // AB (cùng vuông góc với AC)

Suy ra: $\frac{CD}{AC}=\frac{DE}{AB}$ hay$\frac{20}{50}=\frac{18}{AB}$

Do đó: AB = 45. Vậy khoảng cách giữa hai vị trí A và B là 45 m.

Bài 2: Có thể gián tiếp đo chiều cao của một bức tường khá cao bằng dụng cụ đơn giản được không?

Hình 25 thể hiện cách đo chiều cao AB của một bức tường bằng các dụng cụ đơn giản gồm: hai cọc thẳng đứng (cọc 1 cố định; cọc 2 có thể di động được) và sợi dây FC. Cọc 1 có chiều cao DK = h. Các khoảng cách BC = a, DC = b đo được bằng thước dây thông dụng.

a) Em hãy cho biết người ta tiến hành đo đạc như thế nào?

b) Tính chiều cao AB theo h, a, b. 

Hướng dẫn trả lời:

a) Vì cọc 2 di động được nên di chuyển cọc 2 sao cho cọc 2 trùng với AB, cụ thể F trùng với A, E trùng với B. 

Lúc này cọc 1 song song với AB. Do đó, ta có tỉ lệ giữa cọc 1 và AB bằng với tỉ lệ giữa khoảng cách DC và BC. Từ đó ta tính được chiều cao AB của bức tường. 

b) Ta có: $\frac{DK}{AB}=\frac{DC}{BC}$ hay $\frac{h}{AB}=\frac{b}{a}$

Suy ra: $AB=\frac{ah}{b}$

Bài 3: Trong Hình 26, các thanh AA', BB', CC', DD' của giàn gỗ song song với nhau. Không sử dụng thước đo, hãy giải thích vì sao độ dài các đoạn AB, BC, CD lần lượt tỉ lệ với độ dài các đoạn A'B', B'C', C'D'.

Hướng dẫn trả lời:

Bài tập 2 trang 57 cho ta kết quả: Đường thẳng song song với hai đáy của hình thang thì định ra trên hai cạnh bên các đoạn thẳng tỉ lệ.

Do đó áp dụng vào bài tập này ta có:

Hình thang ACC'A' (AA' // CC') có BB' song song với hai đáy nên suy ra: $\frac{AB}{BC}=\frac{A'B'}{B'C'}$ hay $\frac{AB}{A'B'}=\frac{BC}{B'C'}$ (1)

Hình thang BB'D'D (BB' // CC') có CC' song song với hai đáy nên suy ra: $\frac{BC}{CD}=\frac{B'C'}{C'D'}$ hay $\frac{BC}{B'C'}=\frac{CD}{C'D'}$ (2)

Từ (1)(2) suy ra: $\frac{AB}{A'B'}=\frac{BC}{B'C'}=\frac{CD}{C'D'}$

Bài 4: Anh Thiện và chị Lương đứng ở hai phía bờ sông và muốn ước lượng khoảng cách giữa hai vị trí A, B ở hai bên bờ sông (Hình 27).

- Anh Thiện chọn vị trí C ở trên bờ sông sao cho A, B, C thẳng hàng và đo được BC = 4 m. 

- Tiếp theo, anh Thiện xác định vị trí D, chị Lương xác định vị trí E sao cho D, B, E thẳng hàng, đồng thời $\widehat{BAE}=\widehat{BCD}=90^{o}$

- Anh Thiện đo được CD = 2 m, chị Lương đo được AE = 12 m.

Hãy tính khoảng cách giữa hai vị trí A và B.

Hướng dẫn trả lời:

Vì $\widehat{BAE}=\widehat{BCD}=90^{o}$ nên AC vuông góc với AE, AC vuông góc với CD.

Suy ra: CD // AE. 

Ta có tỉ lệ: $\frac{BC}{BA}=\frac{CD}{AE}$ hay $\frac{4}{BA}=\frac{2}{12}$

Do đó: AB = 24. Vậy khoảng cách giữa hai vị trí A và B bằng 24 m.