Giải chi tiết Toán 8 cánh diều mới bài 4: Tính chất đường phân giác của tam giác

MỞ ĐẦU

Hính 37 minh họa một phần sân nhà bạn Duy được lát bởi các viên gạch hình vuông khít nhau, trong đó các điểm A, B, C, D là bốn đỉnh của một viên gạch. Bạn Duy đặt một thước gỗ trên mặt sân sao cho thước gỗ luôn đi qua điểm C và cắt tia AB tại M, cắt tia AD tại N. Bạn Duy nhận thấy ta luôn có tỉ lệ thức $\frac{CM}{CN}=\frac{AM}{AN}$

Câu hỏi: Tại sao ta luôn có tỉ lệ thức $\frac{CM}{CN}=\frac{AM}{AN}$?

Hướng dẫn trả lời:

Dựa vào định lí đường phân giác trong tam giác nên ta luôn có tỉ lệ thức $\frac{CM}{CN}=\frac{AM}{AN}$ (Luyện tập 1 trang 67 sẽ giải thích chi tiết hơn)

Luyện tập 1: Giải bài toán nêu trong phần mở đầu.

Hướng dẫn trả lời:

Ta có ABCD là hình vuông có AC là đường chéo nên góc DAC bằng góc CAB.

Hay góc NAC bằng góc MAC. 

Suy ra: AC là đường phân giác của góc MAN. 

Theo định lí đường phân giác của tam giác ta có: $\frac{CM}{CN}=\frac{AM}{AN}$

Luyện tập 2: Cho tam giác ABC có AB < AC, AD là đường phân giác. Chứng minh DB < DC. 

Hướng dẫn trả lời:

Vì AD là đường phân giác của góc BAC nên theo định lí đường phân giác của tam giác ta có: $\frac{DB}{DC}=\frac{AB}{AC}$

Mà AB < AC 

Suy ra: DB < DC.

Luyện tập 3: Cho tam giác ABC có ba đường phân giác AD, BE, CF. Chứng minh $\frac{DB}{DC}.\frac{EC}{EA}.\frac{FA}{FB}=1$

Hướng dẫn trả lời:

Ta có: $\frac{DB}{DC}=\frac{AB}{AC}$ (AD là đường phân giác của góc BAC)

$\frac{EC}{EA}=\frac{BC}{AB}$ (BE là đường phân giác của góc ABC)

$\frac{FA}{FB}=\frac{AC}{BC}$ (CF là đường phân giác của góc ACB)

Suy ra: $\frac{DB}{DC}.\frac{EC}{EA}.\frac{FA}{FB}=\frac{AB}{AC}.\frac{BC}{AB}.\frac{AC}{BC}=1$

Luyện tập 4: Cho tam giác ABC, điểm D thuộc cạnh BC sao cho DBDC=ABAC. Chứng minh AD là tia phân giác của góc BAC

Hướng dẫn trả lời:

Từ B kẻ đường thẳng song song với AC, cắt AD tại E.

Ta có: $\frac{DB}{DC}=\frac{BE}{AC}$ (BE // AC)

Mà $\frac{DB}{DC}=\frac{AB}{AC}$

Suy ra: $\frac{BE}{AC}=\frac{AB}{AC}$ hay BE = AB.

Do đó tam giác ABE cân tại B nên góc BAD bằng góc BEA.

Mà góc BEA bằng góc DAC (hai góc so le của hai đường thẳng song song)

Suy ra: Góc BAD bằng góc DAC. Do đó, AD là đường phân giác của góc BAC. 

BÀI TẬP

Bài 1: Cho tam giác ABC có ba đường phân giác AD, BE, CF. Biết AB = 4, BC = 5, CA = 6. Tính BD, CE, AF.

Hướng dẫn trả lời:

AD là đường phân giác của góc BAC nên $\frac{BD}{CD}=\frac{AB}{AC}$

Mà CD = BC - BD

Suy ra: $\frac{BD}{BC-BD}=\frac{AB}{AC}$ hay $\frac{BD}{5-BD}=\frac{4}{6}$

Do đó: BD = 2.

BE là đường phân giác của góc ABC nên $\frac{CE}{AE}=\frac{BC}{AB}$

Mà AE = AC - CE

Suy ra: $\frac{CE}{AC-CE}=\frac{BC}{AB}$ hay $\frac{CE}{6-CE}=\frac{5}{4}$

Do đó: $CE=\frac{10}{3}$

CF là đường phân giác của góc ACB nên $\frac{AF}{BF}=\frac{AC}{BC}$

Mà BF = AB - AF

Suy ra: $\frac{AF}{AB-AF}=\frac{AC}{BC}$ hay $\frac{AF}{4-AF}=\frac{6}{5}$

Do đó: $AF=\frac{24}{11}$

Bài 2: Cho tam giác ABC có đường trung tuyến AM. Tia phân giác của góc ABC lần lượt cắt các đoạn thẳng AM, AC tại điểm D, E. Chứng minh $\frac{EC}{EA}=2\frac{DM}{DA}$

Hướng dẫn trả lời:

Tam giác ABC có BE là đường phân giác nên $\frac{EC}{EA}=2.\frac{DM}{DA}$

Mà M là trung điểm của BC (AM là đường trung tuyến) nên BC = 2BM

Suy ra: $\frac{EC}{EA}=2\frac{BM}{AB}$(1)

Tam giác ABM có BD là đường phân giác nên $\frac{DM}{DA}=\frac{BM}{AB}$ (2)

Từ (1)(2) suy ra: $\frac{EC}{EA}=2\frac{DM}{DA}$

Bài 3: Quan sát Hình 43 và chứng minh $\frac{DB}{DC}:\frac{EB}{EG}=\frac{AG}{AC}$

Hướng dẫn trả lời:

Tam giác ABC có AD là đường phân giác nên $\frac{DB}{DC}=\frac{AB}{AC}$

Tam giác ABG có AE là đường phân giác nên $\frac{EB}{EG}=\frac{AB}{AG}$

Do đó:$\frac{DB}{DC}:\frac{EB}{EG}=\frac{AB}{AC}:\frac{AB}{AG}=\frac{AB}{AC}.\frac{AG}{AB}=\frac{AG}{AC}$

Bài 4: Cho hình thoi ABCD (Hình 44). Điểm M thuộc cạnh AB thỏa mãn AB = 3AM. Hai đoạn thẳng AC và DM cắt nhau tại N. Chứng minh ND = 3MN. 

Hướng dẫn trả lời:

Gọi giao điểm hai đường chéo AC và BD là O.

Vì ABCD là hình thoi nên AC vuông góc với BD tại O.

Tam giác ABD cân tại A có AO là đường cao nên AO cũng là đường phân giác của góc BAD. 

Tam giác AMD có AN là đường phân giác của góc MAD nên $\frac{ND}{MN}=\frac{AD}{AM}$ (1)

Ta có: $AM=\frac{1}{3}AB$ mà AD = AB

Suy ra: $AM=\frac{1}{3}AD$ (2)

Từ (1)(2) suy ra: $\frac{ND}{MN}=\frac{AD}{\frac{1}{3}AD}$ hay $\frac{ND}{MN}=3$

Do đó: ND = 3MN.

Bài 5: Cho tam giác ABC vuông tại A có AB = 3, AC = 4, AD là đường phân giác. Tính: 

a) Độ dài các đoạn thẳng BC, DB, DC;

b) Khoảng cách từ điểm D đến đường thẳng AC;

c) Độ dài đường phân giác AD. 

Hướng dẫn trả lời:

a) Tam giác ABC vuông tại A: $AB^{2}+AC^{2}=BC^{2}$

Suy ra: $BC=\sqrt{AB^{2}+AC^{2}}=5$

Do AD là đường phân giác của tam giác ABC nên $\frac{DB}{DC}=\frac{AB}{AC}$

Mà DC = BC - DB

Nên $\frac{DB}{BC-DB}=\frac{AB}{AC}$ hay $\frac{DB}{5-DB=\frac{3}{4}$

Do đó: $DB=\frac{15}{7}$; $DC=5-\frac{15}{7}=\frac{20}{7}$

b) Từ D kẻ đường thẳng DE vuông góc với AC. DE là khoảng cách từ D đến đường thẳng AC.

Ta có: DE // AB (cùng vuông góc với AC)

Suy ra: $\frac{DE}{AB}=\frac{DC}{BC}$ hay $\frac{DE}{3}=\frac{\frac{20}{7}}{5}$

Do đó: $DE=\frac{12}{7}$

c) Vì DE // AB nên $\frac{BD}{BC}=\frac{AE}{AC}$ hay $\frac{\frac{15}{7}}{5}=\frac{AE}{4}$

Suy ra: $AE=\frac{12}{7}$

Tam giác ADE vuông tại E: $AD=\sqrt{AE^{2}+DE^{2}}=\frac{12\sqrt{2}}{7}$

Bài 6: Cho tứ giác ABCD với các tia phân giác của các góc CAD và CBD cùng đi qua điểm E thuộc cạnh CD (Hình 45). Chứng minh AD.BC = AC.BD. 

Hướng dẫn trả lời: