Giải sách bài tập Toán 8 cánh diều bài 4: Tính chất đường phân giác của tam giác

Bài tập 21: Cho tam giác ABC vuông tại A có AB = 8 cm, AC= 6 cm, có hai đường phân giác AD, BE cắt nhau tại O. Tính:

a) Độ dài các đoạn thẳng AE, EC;

b) Khoảng cách từ O đến đường thẳng AC;

c) Độ dài đường phân giác AD (theo đơn vị centimét và làm tròn kết quả đến hàng phần mười);

d) Diện tích tam giác DOE.

Hướng dẫn trả lời:

a) Tam giác vuông ABC vuông tại A nên theo định lí Pythagore, ta có: BC$^{2}$ = AC$^{2}$ + AB$^{2}$ = 100, suy ra BC = 10 (cm).

Vì BE là phân giác nên: $\frac{AE}{EC}=\frac{AB}{BC}=\frac{8}{10}=\frac{4}{5}$

Suy ra $\frac{AE}{4}=\frac{EC}{5}=\frac{AE+EC}{4+5}=\frac{6}{9}=\frac{2}{3}$.

Vậy AE = $\frac{8}{3}$ cm; EC = $\frac{10}{3}$ cm.

b) Kẻ OH vuông góc với AC tại H, OH ⊥ AC, BA ⊥ AC nên OH // AB.

=> $\frac{OH}{AB}=\frac{OE}{EB}$ (1).

Tam giác AEB có AO là phân giác nên $\frac{EO}{OB}=\frac{AE}{AB}=\frac{1}{3}$.

=> $\frac{EO}{EB}=\frac{1}{4}$ (2).

Từ (1) và (2) ta có $\frac{OH}{AB}=\frac{1}{4}$ => OH = 2 cm.

c) Kẻ DK ⊥ AC, DI ⊥ AB. Khi đó, tứ giác AKDI có ba góc vuông và đường chéo AD là đường phân giác của góc KAI nên tứ giác AKDI là hình vuông. Suy ra DK = DI. 

Ta có $S_{\Delta ABC}=S_{\Delta ADC}+S_{\Delta ADB}$ nên $\frac{AC.AB}{2}=\frac{AC.DK}{2}+\frac{AB.DI}{2}$ 

hay AC.AB = AC.DK + AB.DI = (AB + AC).DK (do DK = DI).

Từ đó, ta có DK = $\frac{AB.AC}{AB+AC}=\frac{8.6}{8+6}=\frac{24}{7}$.

Tứ giác AKDI là hình vuông nên AD = DK$\sqrt{2}$ = $\frac{24\sqrt{2}}{7}$ ≈ 4,8 (cm).

d) Ta có: $S_{\Delta BAC}=\frac{1}{2}$.6.8 = 24 (cm$^{2}$).

=> $\frac{S_{\Delta BCE}}{S_{\Delta BAC}}=\frac{EC}{AC}=\frac{10}{3}:6=\frac{5}{9}$.

Do đó $S_{\Delta BCE}=\frac{5}{9}.24=\frac{40}{3}$ (cm$^{2}$).

Tương tự: $\frac{S_{\Delta DBE}}{S_{\Delta BEC}}=\frac{DB}{BC}=\frac{4}{7}$.

=> $S_{\Delta DBE}=\frac{4}{7}.\frac{40}{3}=\frac{160}{21}$ (cm$^{2}$).

Mà $\frac{S_{\Delta DOE}}{S_{\Delta DBE}}=\frac{OE}{BE}=\frac{1}{4}$.

=> $S_{\Delta DOE}=\frac{1}{4}.\frac{160}{21}=\frac{40}{21}$ (cm$^{2}$).

Bài tập 22: Cho tam giác ABC có chu vi bằng 74 cm. Đường phân giác của góc A chia cạnh BC thành hai đoạn BD và DC tỉ lệ với 2 và 3, đường phân giác của góc C chia cạnh AB thành hai đoạn EB và EA tỉ lệ với 4 và 5. Tính độ dài các cạnh của tam giác ABC.

Hướng dẫn trả lời:

Ta có: 

$\frac{AB}{AC}=\frac{BD}{DC}=\frac{2}{3}$ => $\frac{AB}{2}=\frac{AC}{3}$ (1).

$\frac{BC}{AC}=\frac{EB}{EA}=\frac{4}{5}$ => $\frac{BC}{4}=\frac{AC}{5}$ (2).

Từ (1) và (2) suy ra: $\frac{AB}{10}=\frac{BC}{12}=\frac{AC}{15}=\frac{AB+BC+AC}{10+12+15}=\frac{74}{37}$ = 2.

Vậy: AB = 20 cm, BC = 24 cm, AC = 30 cm.

Bài tập 23: Cho hình bình hành ABCD. Đường phân giác của góc A cắt BD tại E, đường phân giác của góc B cắt AC tại F. Chứng minh:

a) $\frac{BE}{ED}=\frac{AF}{FC}$;                       b) EF // AB.

Hướng dẫn trả lời:

a) Tam giác ABD có AE là đường phân giác của góc A nên $\frac{BE}{ED}=\frac{AB}{AD}$ (1).

Tam giác ABC có BF là đường phân giác của góc B nên $\frac{AF}{FC}=\frac{AB}{BC}$ (2).

Vì AD = BC nên từ (1) và (2) suy ra $\frac{BE}{ED}=\frac{AF}{FC}$.

b) Ta có: $\frac{BE}{ED}=\frac{AF}{FC}$ => $\frac{BE+ED}{ED}=\frac{AF+FC}{FC}$

hay $\frac{BD}{ED}=\frac{AC}{FC}$ hay $\frac{2OD}{ED}=\frac{2OC}{FC}$ => $\frac{OD}{ED}=\frac{OC}{FC}$

Do đó EF // CD hay EF // AB.

Bài tập 24: Cho tam giác ABC có đường phân giác AD và AB = 6 cm, AC = 9 cm. Đường trung trực của đoạn AD cắt cạnh AC tại E. Tính độ dài của đoạn thẳng DE.

Hướng dẫn trả lời:

Đường trung trực của đoạn AD cắt AC tại E nên tam giác AED cân tại E. Do đó $\widehat{EDA}=\widehat{EAD}$. 

Mà $\widehat{EAD}=\widehat{DAB}$ (AD là đường phân giác của tam giác ABC) => $\widehat{EDA}=\widehat{DAB}$.

Lại có hai góc $\widehat{EDA},\widehat{DAB}$ ở vị trí so le trong nên DE // AB.  Do đó: $\frac{ED}{AB}=\frac{DC}{BC}$

Mặt khác do $\frac{DC}{DB}=\frac{AC}{AB}=\frac{9}{6}=\frac{3}{2}$ nên $\frac{DC}{DC+DB}=\frac{3}{3+2}=\frac{3}{5}$ 

=> $\frac{DC}{BC}=\frac{3}{5}$

=> $\frac{ED}{AB}=\frac{DC}{BC}=\frac{3}{5}$.

Vậy ED = $\frac{3}{5}$.AB = $\frac{3}{5}$.6 = 3,6 (cm).

Bài tập 25: Một người đứng ở vị trí M trên cây cầu bắc qua con kênh quan sát ba điểm thẳng hàng A, B, D lần lượt là chân hai cột đèn trồng ở bờ kênh và chân cầu (Hình 26). Người đó nhận thấy góc nhìn đến hai điểm A, D thì bằng góc nhìn đến hai điểm B, D, tức là $\widehat{AMD}=\widehat{BMD}$. Người đó muốn ước lượng tỉ số khoảng cách từ vị trí M đang đứng đến điểm A và đến điểm B mà không cần phải đo trực tiếp hai khoảng cách đó. Hỏi có thể ước lượng tỉ số đó được hay không?

Hướng dẫn trả lời:

Từ giả thiết ta có $\widehat{AMD}=\widehat{BMD}$, suy ra MD là phân giác của góc AMB. Do đó $\frac{MA}{MB}=\frac{DA}{DB}$.

Vậy người đó có thể ước lượng được tỉ số khoảng cách từ vị trí M đang đứng đến điểm A và đến điểm B mà không cần phải đo trực tiếp hai khoảng cách đó bằng cách đo các khoảng cách DA, DB và tính $\frac{DA}{DB}$.