Giải sách bài tập Toán 8 cánh diều bài 1: Định lí Thalès trong tam giác

Bài tập 1: Cho các đoạn thẳng AB = 6 cm, CD = 4 cm, PQ = 8cm, EF = 10 cm, MN = 25 cm, RS = 15 cm. Tìm phát biểu đúng trong các phát biểu sau:

a) Hai đoạn thẳng AB và PQ tỉ lệ với hai đoạn thẳng EF và RS.

b) Hai đoạn thẳng AB và RS tỉ lệ với hai đoạn thẳng EF và MN.

c) Hai đoạn thẳng AB và CD tỉ lệ với hai đoạn thẳng PQ và EF.

Hướng dẫn trả lời:

Phát biểu đúng: b) Hai đoạn thẳng AB và RS tỉ lệ với hai đoạn thẳng EF và MN.

Vì $\frac{AB}{RS}=\frac{EF}{MN}$ ($\frac{6}{15}=\frac{10}{25}=\frac{2}{5}$)

Bài tập 2: Cho các đoạn thẳng EF = 6 cm, GH = 3 cm, IK= 5 cm, MN = x cm. Tìm x để hai đoạn thẳng EF và GH tỉ lệ với hai đoạn thẳng IK và MN.

Hướng dẫn trả lời:

Hai đoạn thẳng EF và GH tỉ lệ với hai đoạn thẳng IK và MN.

=> $\frac{EF}{GH}=\frac{IK}{MN}$ => $\frac{6}{3}=\frac{5}{x}$

=> x = $\frac{3.5}{6}$ = 2,5.

Vậy x = 2,5 cm.

Bài tập 3: Cho tam giác ABC. Một đường thẳng d song song với BC và cắt các cạnh AB, AC của tam giác đó lần lượt tại M, N với $\frac{AM}{AB}=\frac{1}{3}$ và AN+ AC = 16 cm. Tính AN.

Hướng dẫn trả lời:

Do MN // BC nên $\frac{AM}{AB}=\frac{AN}{AC}=\frac{1}{3}$.

Do đó $\frac{AN}{1}=\frac{AC}{3}=\frac{AN+AC}{1+3}=\frac{16}{4}$ = 4.

Suy ra AN  = 4 cm.

Bài tập 4: Toà nhà Bitexco Financial (hay tháp tài chính Bitexco) được xây dựng tại trung tâm Quận 1, Thành phố Hồ Chí Minh. Toà nhà có 68 tầng (không kể các tầng hầm). Biết rằng khi toà nhà có bóng MP in trên mặt đất dài 47,5 m, thì cùng thời điểm đó một cột cờ AB cao 12 m có bóng AP in trên mặt đất dài 2,12 m (Hình 8). Tính chiều cao MN của toà nhà theo đơn vị mét (làm tròn kết quả đến hàng đơn vị).

Hướng dẫn trả lời:

Do MN // AB nên $\frac{AB}{MN}=\frac{AP}{MP}$ hay $\frac{12}{MN}=\frac{2,12}{47,5}$.

=> MN = $\frac{12.47,5}{2,12}$ = 2,69

Vậy chiều cao của tòa nhà là MN = 269 cm.

Bài tập 5: Cho tam giác ABC vuông ở A. Vẽ ra phía ngoài tam giác đó các tam giác BAD vuông cân ở B, ACF vuông cân ở C. Gọi H là giao điểm của AB và DC, K là giao điểm của AC và BF (Hình 9). 

Chứng minh:

a) AH = AK;

b) AH² = AK² = HB. KC.

Hướng dẫn trả lời:

a) Đặt AB = c, AC = b. Vì BD // AC (cùng vuông góc với AB) và BD = AB nên

$\frac{AH}{HB}=\frac{AC}{BD}=\frac{AC}{AB}=\frac{b}{c}$

=> $\frac{AH}{AH + HB}=\frac{b}{b+c}$ hay $\frac{AH}{AB}=\frac{b}{b+c}$

Do đó AH = $\frac{bc}{b+c}$ (1).

Tương tự, ta có AB // CF (cùng vuông góc với AC) và CF = AC nên

$\frac{AK}{KC}=\frac{AB}{CF}=\frac{AB}{AC}=\frac{c}{b}$.

=> $\frac{AK}{KC+AK}=\frac{c}{b+c}$ hay $\frac{AK}{AC}=\frac{c}{b+c}$.

Do đó AK = $\frac{bc}{b+c}$ (2).

Từ (1) và (2) suy ra: AH = AK.

b) Từ $\frac{AH}{HB}=\frac{AC}{BD}=\frac{b}{c}$ và $\frac{AK}{KC}=\frac{AB}{CF}=\frac{c}{b}$

=> $\frac{AH}{HB}=\frac{KC}{AK}$.

Mà AK = AH nên $\frac{AH}{HB}=\frac{KC}{AH}$.

Do đó AH$^{2}$ = AK$^{2}$ = BH.KC.

Bài tập 6: Trong Hình 10, cho biết ABCD là hình thang, AB // CD (AB < CD); M là trung điểm của DC; AM cắt BD ở I; BM cắt AC ở K; IK cắt AD, BC lần lượt ở E, F. Chứng minh:

a) IK // AB;                                                                 b) EI = IK = KF.

Hướng dẫn trả lời:

a) Do DM // AB nên $\frac{IM}{IA}=\frac{DM}{AB}=\frac{MC}{AB}$ (1) (do DM = MC).

Mặt khác, do MC // AB nên $\frac{MK}{KB}=\frac{MC}{AB}$ (2).

Từ (1) và (2) suy ra $\frac{IM}{IA}=\frac{MK}{KB}$

Vì thế IK // AB (định lí Thalès đảo).

b) Áp dụng định lí Thalès lần lượt cho các tam giác ADM với EI // DM, tam giác MAB với IK // AB và tam giác BMC với KF // MC, ta có:

$\frac{EI}{DM}=\frac{AI}{AM}=\frac{BK}{BM}=\frac{KF}{MC}$.

Suy ra EI = KF (do DM = MC). Mặt khác, áp dụng định lí Thalès lần lượt cho các tam giác ADM với EI // DM và tam giác AMC với IK // MC, ta có:

$\frac{EI}{DM}=\frac{AI}{AM}=\frac{IK}{MC}$

Suy ra El = IK (do DM= MC). Do EI = KF và EI = IK nên EI = IK = KF.

Bài tập 7: Cho ABCD là hình bình hành. Một đường thẳng d đi qua 4 cắt BD, BC, DC lần lượt tại E, K, G (Hình 11). 

Chứng minh:

a) AE$^{2}$ = EK.EG;

b) $\frac{1}{AE}=\frac{1}{AK}=\frac{1}{AG}$

Hướng dẫn trả lời:

a) Do AD // BK, AB // DG nên theo hệ quả của định lí Thalès, ta có:

$\frac{EK}{AE}=\frac{EB}{ED}=\frac{AE}{EG}$ hay $\frac{EK}{AE}=\frac{AE}{EG}$

=> AE$^{2}$ = EK.EG.

b) Ta có:

$\frac{AE}{AK}=\frac{DE}{DB}$; $\frac{AE}{AG}=\frac{BE}{BD}$

nên $\frac{AE}{AK}+\frac{AE}{AG}=\frac{DE}{DB}+\frac{BE}{BD}=\frac{BD}{BD}$ = 1.

=> $AE.\left ( \frac{1}{AK}+\frac{1}{AG} \right )=1$.

Vậy $\frac{1}{AE}=\frac{1}{AK}=\frac{1}{AG}$.

Bài tập 8: An có một mảnh bìa có dạng hình tam giác ABC nhưng bị rách. An muốn cắt bỏ phần bị rách với vết cắt là đoạn thẳng MN. Tính diện tích tứ giác MNCB theo diện tích tam giác ABC, biết $\frac{AM}{MB}=\frac{2}{3}$ và $\frac{NC}{NA}=\frac{1}{5}$ (Hình 12).

Hướng dẫn trả lời:

Kẻ đường cao MH của tam giác AMN và đường cao BK của tam giác ABC.

Do MH // BK nên $\frac{MH}{BK}=\frac{AM}{AB}$.

Ta có $\frac{S_{\Delta AMN}}{S_{\Delta ABC}}=\frac{(AN.MH):2}{(AC.BK):2}=\frac{AN}{AC}.\frac{AM}{AB}$ (1).

Do $\frac{AM}{MB}=\frac{2}{3}$, $\frac{NC}{NA}=\frac{1}{5}$ nên $\frac{AM}{AB}=\frac{2}{5}$, $\frac{AN}{AC}=\frac{5}{6}$ (2).

Từ (1) và (2) suy ra $\frac{S_{\Delta AMN}}{S_{\Delta ABC}}=\frac{AM}{AB}.\frac{AN}{AC}=\frac{2}{5}.\frac{5}{6}=\frac{1}{3}$

=> $S_{\Delta ABC}$ = 3$S_{\Delta AMN}$.

Từ đó dễ thấy diện tích phần bị cắt bỏ bằng $\frac{2}{3}S_{\Delta ABC}$.

Bài tập 9: Cho tam giác ABC có ba góc nhọn, đường cao AH. Trên AH, AB, AC lần lượt lấy các điểm D, E, F sao cho $\widehat{EDC}$ = $\widehat{FDB}$ = 90°. Chứng minh; EF // BC.

Hướng dẫn trả lời:

Kẻ BO ⊥ CD, CM ⊥ BD, BO cắt CM tại I, suy ra D là trực tâm của tam giác BIC hay DI ⊥ BC. 

Mặt khác, AH ⊥ BC => I, D, A thẳng hàng.

Do DE // BI và DF // IC nên $\frac{AI}{AD}=\frac{AB}{AE}$ và $\frac{AI}{AD}=\frac{AC}{AF}$.

=> $\frac{AB}{AE}=\frac{AC}{AF}$

Do đó EF // BC (định lí Thalès đảo).