Giải sách bài tập Toán 8 cánh diều bài 3: Đường trung bình của tam giác

Bài tập 14: Chọn phát biểu đúng trong các phát biểu sau:

a) Đường trung bình của tam giác thì song song với cạnh thứ ba và bằng một phần ba cạnh đó.

b) Trong một tam giác chỉ có một đường trung bình.

c) Đường trung bình của tam giác là đoạn thẳng nối trung điểm hai cạnh tam giác đó.

d) Đường trung bình của tam giác là đoạn thẳng nối từ một đỉnh đến trung điểm của cạnh đối diện.

Hướng dẫn trả lời:

Phát biểu c) đúng. 

• Định nghĩa: Đường trung bình của tam giác là đoạn thẳng nối trung điểm hai cạnh tam giác đó.

• Tính chất: Đường trung bình của tam giác thì song song với cạnh thứ ba và bằng nửa cạnh đó.

Bài tập 15: Hình 21 cho biết cạnh của tam giác đều ABC bằng 6 cm; M, N lần lượt là trung điểm các cạnh AB, AC. Chỉ ra phát biểu sai trong các phát biểu sau:

a) Tam giác AMN là tam giác đều.

b) Hình thang BMNC là hình thang cân.

c) Chu vi tứ giác BMNC bằng hai phần ba chu vi tam giác ABC.

d) Độ dài đường trung bình MN bằng 2 cm.

Hướng dẫn trả lời:

Phát biểu c), d) sai.

c) Chu vi tứ giác BMNC bằng năm phần sáu chu vi tam giác ABC.

Chu vi tam giác ABC là: 3.6 = 18 cm.

Chu vi tứ giác BMNC là: 3 + 3 + 3 + 6 = 15 cm.

=> Chu vi tứ giác BMNC bằng năm phần sáu chu vi tam giác ABC.

d) Độ dài đường trung bình MN bằng 3 cm.

Bài tập 16: Cho tam giác ABC cân tại A, có M là trung điểm của BC. Kẻ tia Mx song song với AC cắt AB tại E và tia My song song với AB cắt AC tại F. Chứng minh:

a) EF là đường trung bình của tam giác ABC;

b) AM là đường trung trực của EF.

Hướng dẫn trả lời:

a) Vì M là trung điểm của BC, ME // AC, MF // AB nên E, F lần lượt là trung điểm của AB, AC. Do đó, EF là đường trung bình của tam giác ABC.

b) Ta có AE = $\frac{AB}{2}$, AF = $\frac{AC}{2}$ và AB  = AC => AE = AF (1).

Lại có ME, MF là các đường trung bình của tam giác ABC nên  ME = $\frac{AC}{2}$, MF = $\frac{AB}{2}$.

Mà AB = AC suy ra ME = MF (2).

Từ (1) và (2) suy ra AM là đường trung trực của EF.

Bài tập 17: Để làm cây thông noel, người ta hàn một khung sắt có dạng hình tam giác cân ABC (AB = AC = 2 m) cùng các thanh sắt nằm ngang GF, HE, ID, BC và sau đó gắn cây thông như Hình 22. Tính số tiền sắt cần sử dụng để làm cây thông noel đó.

Biết giá một mét sắt là 55 000 đồng và AG = GH = HI = IB, CD = DE = EF = FA, thanh GF dài 0,2 m.

Hướng dẫn trả lời:

Vì GF là đường trung bình của tam giác AHE nên HE = 2GF = 2.0,2 = 0,4 (m).

Vì HE là đường trung bình của tam giác ABC nên BC = 2HE = 2.0,4 = 0,8 (m).

Ta có: $\frac{AI}{AB}=\frac{AD}{AC}=\frac{3}{4}$ nên theo định lí Thalès đảo ID // BC. 

Từ đó: $\frac{ID}{BC}=\frac{AI}{AB}=\frac{3}{4}$.

=> Suy ra ID = $\frac{3}{4}$BC = $\frac{3}{4}$.0,8 = 0,6 (m).

Số tiền cần trả để hoàn thành cây thông noel đó là: 

(0,2 + 0,4 + 0,6 + 0,8 + 2 + 2) . 55 000 = 330 000 (đồng).

Bài tập 18: Cho hình chữ nhật ABCD. Kẻ CH vuông góc với BD (H $\in $ BD). Gọi I, K, M lần lượt là trung điểm của BH, CH, AD. Chứng minh:

a) Tứ giác IKDM là hình bình hành;

b) Gọi N là giao điểm của IM và AH. Hỏi IN có thể là đường trung bình của tam giác HAB không? Vì sao?

Hướng dẫn trả lời:

a) I, K lần lượt là trung điểm của BH, CH nên IK = $\frac{BC}{2}$, IK // BC. 

Vì IK // BC và MD // BC nên IK // MD (1). 

Vì IK = $\frac{BC}{2}$, MD = $\frac{BC}{2}$ nên IK = MD (2).

Từ (1) và (2) suy ra tứ giác IKDM là hình bình hành.

b) Nếu IN là đường trung bình của tam giác HAB thì IN // AB. Suy ra IM // AB.

Mà MA = MD, suy ra I là trung điểm của BD (3). 

Mặt khác theo giả thiết, I là trung điểm của HB (4). 

Từ (3) và (4) => vô lí. 

Vậy IN không thể là đường trung bình của tam giác HAB.

Bài tập 19: Cho tứ giác ABCD có AD = BC. Đường thẳng đi qua trung điểm M và N lần lượt của các cạnh AB và CD cắt các đường thẳng AD và BC lần lượt tại E và F. Chứng minh: $\widehat{AEM}=\widehat{MFB}$.

Hướng dẫn trả lời:

Lấy I là trung điểm của BD.

Do MI, NI lần lượt là các đường trung bình của tam giác ABD và BDC nên MI = $\frac{AD}{2}$, MI // AD, NI = $\frac{BC}{2}$; NI // BC. 

Mà AD = BC nên MI = NI => tam giác IMN cân ở I. 

Do đó $\widehat{IMN}=\widehat{INM}$. 

Lại có $\widehat{IMN}=\widehat{AEM}$ (hai góc đồng vị, IM // AE) 

=> $\widehat{INM}=\widehat{MFB}$. 

Mặt khác $\widehat{INM}=\widehat{MFB}$ (hai góc so le trong, IN // FB). 

=> $\widehat{AEM}=\widehat{MFB}$.

Bài tập 20: Cho tứ giác ABCD có M, N lần lượt là trung điểm của AD, BC. Chứng minh: MN ≤ $\frac{AB+DC}{2}$. Dấu đẳng thức xảy ra khi nào? 

Hướng dẫn trả lời:

Lấy I là trung điểm của BD. Khi đó, ta có MI, NI lần lượt là các đường trung bình của tam giác ABD và BDC nên MI = $\frac{AB}{2}$, NI = $\frac{CD}{2}$.

Do đó MI + NI = $\frac{AB+CD}{2}$ (1).

- Nếu I không thuộc MN ta có MN < MI + NI (bất đẳng thức tam giác).

- Nếu I thuộc MN ta có MN = MI+NI.

Tức là, ta luôn có MN ≤ MI + NI (2). 

Từ (1), (2) suy ra MN ≤ $\frac{AB+DC}{2}$.

Dấu đẳng thức xảy ra khi I thuộc MN, khi đó AB // CD.