Giải chi tiết Toán 8 cánh diều mới bài 3: Đường trung bình của tam giác

MỞ ĐẦU

Hình 28 gợi nên hình ảnh tam giác ABC và đoạn thẳng MN với M, N lần lượt là trung điểm của hai cạnh AB, AC. 

Câu hỏi: Hai đoạn thẳng MN và BC có mối liên hệ gì?

Hướng dẫn trả lời:

Đoạn thẳng MN song song với đoạn thẳng BC và bằng $\frac{1}{2}$ đoạn thẳng BC

I. ĐỊNH NGHĨA

Hoạt động 1: Quan sát tam giác ABC ở Hình 29 và cho biết hai đầu mút D, E của đoạn thẳng DE có đặc điểm gì. 

Hướng dẫn trả lời:

Đầu mút D là trung điểm của đoạn thẳng AB, đầu mút E là trung điểm của đoạn thẳng AC. 

Luyện tập 1: Vẽ tam giác ABC và các đường trung bình của tam giác đó.

Hướng dẫn trả lời:

Gọi M, N, H lần lượt là trung điểm của AB, AC, BC.

Do đó: MN, MH, NH là đường trung bình của tam giác ABC.

II. TÍNH CHẤT

Hoạt động 2: Cho tam giác ABC có MN là đường trung bình (Hình 31).

a) MN có song song với BC hay không? Vì sao?

b) Tỉ số $\frac{MN}{BC}$ bằng bao nhiêu?

Hướng dẫn trả lời:

a) Vì $\frac{AM}{MB}=\frac{AN}{NC}=1$ nên theo định lí Thalès ta có MN // BC.

b) $\frac{MN}{BC}=1$

Luyện tập 2: Cho hình thang ABCD (AB // CD). Giả sử M, N, P lần lượt là trung điểm của các đoạn thẳng AD, BC, AC. Chứng minh:

a) M, N, P thẳng hàng.

b) $MN=\frac{1}{2}(AB+CD)$

Hướng dẫn trả lời:

a) Tam giác ACD có MP là đường trung bình (M là trung điểm AD, P là trung điểm AC)

Suy ra: MP // CD (1)

Ta có: $\frac{AM}{MD}=\frac{AP}{PC}$ (2)

Tam giác ABC có NP là đường trung bình (N là trung điểm BC, P là trung điểm AC)

Suy ra: NP // AB nên $\frac{BN}{NC}=\frac{AP}{PC}$ (3)

Từ (2)(3) suy ra $\frac{AM}{MD}=\frac{BN}{NC}$ nên MN // CD (4)

Từ (1)(4) suy ra M, N, P thẳng hàng.

b) Do M, N, P thẳng hàng nên MN = MP + NP

Mà $MP=\frac{1}{2}CD$ (MP là đường trung bình của tam giác ACD)

$NP=\frac{1}{2}AB$ (NP là đường trung bình của tam giác ABC)

Suy ra: $MN=\frac{1}{2}CD+\frac{1}{2}AB=\frac{1}{2}(AB+CD)$

BÀI TẬP

Bài 1: Cho tam giác ABC có M là trung điểm của AB, điểm N thuộc cạnh AC thỏa mãn MN // BC. Chứng minh NA = NC và $MN=\frac{1}{2}BC$

Hướng dẫn trả lời:

- Vì MN // BC nên theo định lí Thalès ta có: $\frac{AM}{MB}=\frac{AN}{NC}$

Mà AM = MB (M là trung điểm của AB)

Suy ra: AN = NC.

- Vì MN // BC nên ta có: $\frac{AM}{AB}=\frac{MN}{BC}$

Mà $AM=\frac{1}{2}AB$ (M là trung điểm của AB)

Do đó: $MN=\frac{1}{2}BC$

Bài 2: Cho tam giác ABC có AM là đường trung tuyến, các điểm N, P phân biệt thuộc cạnh AB sao cho AP = PN = NB. Gọi Q là giao điểm của AM và CP. Chứng minh:

a) MN // CP;

b) AQ = QM;

c) CP = 4PQ.

Hướng dẫn trả lời:

a) Tam giác BCP có: PN = NB; BM = MC (M là trung điểm của BC)

Suy ra: $\frac{BN}{NP}=\frac{BM}{MC}$

Do đó: MN // CP (Định lí Thalès).

b) Tam giác AMN có: MN // PQ (MN // CP, Q ∈ CP)

Suy ra: $\frac{AP}{PN}=\frac{AQ}{QM}$

Mà AP = PN

Do đó: AQ = QM.

c) Do MN // PQ nên $\frac{PQ}{NM}=\frac{AP}{AN}$

Mà $AP=\frac{1}{2}AN$

Suy ra: $PQ=\frac{1}{2}NM$(1)

Do MN // CP nên $\frac{NM}{CP}=\frac{BN}{BP}$

Mà $BN=\frac{1}{2}BP$

Suy ra: $NM=\frac{1}{2}CP$ (2)

Từ (1)(2) suy ra: PQ = 12.12CP = 14CP hay CP = 4PQ.

Bài 3: Cho tứ giác ABCD có M, N, P, Q lần lượt là trung điểm của các cạnh AB, BC, CD, DA. 

a) Chứng minh tứ giác MNPQ là hình bình hành.

b) Cho AC = BD. Chứng minh tứ giác MNPQ là hình thoi.

c) Cho AC ⊥ BD. Chứng minh tứ giác MNPQ là hình chữ nhật.

Hướng dẫn trả lời:

a) Tam giác ABD có: M, Q lần lượt là trung điểm của AB, DA.

Suy ra: MQ là đường trung bình nên MQ // BD (1)

Tam giác BDC có: N, P lần lượt là trung điểm của BC, CD.

Suy ra: NP là đường trung bình nên NP // BD (2)

Từ (1)(2) suy ra: MQ // NP (3)

Tam giác ABC có: M, N lần lượt là trung điểm của AB, BC.

Suy ra: MN là đường trung bình nên MN // AC (4)

Tam giác ADC có: P, Q lần lượt là trung điểm của CD, DA.

Suy ra: PQ là đường trung bình nên PQ // AC (5)

Từ (4)(5) suy ra: MN // PQ (6)

Từ (3)(6) suy ra: MNPQ là hình bình hành.

b) MQ là đường trung bình của tam giác ABD, suy ra $MQ=\frac{1}{2}BD$

NP là đường trung bình của tam giác BDC, suy ra $MP=\frac{1}{2}BD$

MN là đường trung bình của tam giác ABC, suy ra $MN=\frac{1}{2}AC$

PQ là đường trung bình của tam giác ADC, suy ra $PQ=\frac{1}{2}AC$

Mà AC = BD

Do đó: MQ = NP = MN = PQ 

Mà MNPQ là hình bình hành (cmt)

Suy ra: MNPQ là hình thoi.

c) Ta có: MQ // BD; MN // AC

Mà AC ⊥ BD

Suy ra: MQ ⊥ MN

Mà MNPQ là hình bình hành (chứng minh câu a)

Do đó: MNPQ là hình chữ nhật.

Bài 4: Cho tam giác ABC nhọn có H là trực tâm. Gọi M, N, P, Q lần lượt là trung điểm của các đoạn thẳng AB, BH, HC, CA. Chứng minh tứ giác MNPQ là hình chữ nhật.

Hướng dẫn trả lời:

Tam giác ABH có: M, N lần lượt là trung điểm của AB, BH.

Suy ra: MN là đường trung bình nên MN // AH và$MN=\frac{1}{2}AH$ (1)

Tam giác ACH có: P, Q lần lượt là trung điểm của CH, AC.

Suy ra: PQ là đường trung bình nên PQ // AH và $PQ=\frac{1}{2}AH$ (2)

Từ (1)(2) suy ra: MN // PQ và MN = PQ. 

Do đó: MNPQ là hình bình hành (3)

Ta có: MN // AH 

Mà AH ⊥ BC (H là trực tâm tam giác ABC)

Suy ra: MN ⊥ BC

Mà MQ // BC (MQ là đường trung bình của tam giác ABC)

Do đó: MN ⊥ MQ (4)

Từ (3)(4) suy ra: MNPQ là hình chữ nhật.

Bài 5: Trong Hình 36, ba cạnh màu vàng AB, BC, CA gợi nên hình ảnh tam giác ABC và đoạn thẳng màu xanh MN là một đường trung bình của tam giác đó. Bạn Duyên đứng ở phía dưới đo khoảng cách giữa hai chân cột số 1 và số 2, từ đó ước lượng được độ dài đoạn thẳng MN khoảng 4,5 m. Khoảng cách giữa hai mép dưới của mái được tính bằng độ dài đoạn thẳng BC. Hỏi khoảng cách đó khoảng bao nhiêu mét?

Hướng dẫn trả lời:

Ta có: MN là đường trung bình của tam giác ABC nên $MN=\frac{1}{2}BC$ hay BC = 2MN

Mà khoảng cách giữa hai mép dưới của mái được tính bằng độ dài đoạn thẳng BC

Suy ra: Khoảng cách đó bằng 2MN hay bằng 2.4,5 = 9 m.