Giải chi tiết Toán 8 cánh diều mới bài 6: Trường hợp đồng dạng thứ nhất của tam giác

I. TRƯỜNG HỢP ĐỒNG DẠNG THỨ NHẤT: CẠNH - CẠNH - CẠNH

Luyện tập 1: Cho tam giác ABC có trọng tâm G. Gọi A', B', C' lần lượt là trung điểm của AG, BG, CG. Chứng minh △A'B'C' ∼ △ABC.

Hướng dẫn trả lời:

Tam giác ABG có A', B' lần lượt là trung điểm của AG, BG

Suy ra: A'B' là đường trung bình của tam giác ABG nên $A'B'=\frac{1}{2}AB$ hay $\frac{A'B'}{AB}=\frac{1}{2}$

Chứng minh tương ta có: $\frac{B'C'}{BC}=\frac{1}{2};\frac{C'A'}{CA}=\frac{1}{2}$

Do đó: $\frac{A'B'}{AB}=\frac{B'C'}{BC}=\frac{C'A'}{CA}$

Suy ra: △A'B'C' ∼ △ABC.

II. ÁP DỤNG TRƯỜNG HỢP ĐỒNG DẠNG THỨ NHẤT CỦA TAM GIÁC VÀO TAM GIÁC VUÔNG

Luyện tập 2: Trong Hình 64, chứng minh tam giác CDM vuông tại M.

Hướng dẫn trả lời:

Ta có: $\frac{DM}{MC}=\frac{3}{4,5}=\frac{2}{3}$

Mà $\frac{DA}{MB}=\frac{2}{3}$

Suy ra: $\frac{DM}{MC}=\frac{DA}{MB}$

Do đó: △MAD ∼ △CBM

Suy ra: $\widehat{DMA}=\widehat{BCM}$

Mà $\widehat{BCM}+\widehat{BMC}=90^{o}$ (Tam giác MBC vuông tại B)

Do đó: $\widehat{DMA}+\widehat{BMC}=90^{o}$

Mà $\widehat{CMD}=180^{o}-\widehat{DMA}-\widehat{BMC}$

Nên $\widehat{CMD}=90^{o}$ hay tam giác CDM vuông tại M.

BÀI TẬP

Bài 1: Quan sát Hình 65 và chỉ ra những cặp tam giác đồng dạng:

Hướng dẫn trả lời:

Tam giác ABC đồng dạng với tam giác IKH; tam giác DEG đồng dạng với tam giác MNP.

Bài 2: Cho hai tam giác ABC và MNP có AB = 2, BC = 5, CA = 6, MN = 4, NP = 10, PM = 12. Hãy viết các cặp góc tương ứng bằng nhau của hai tam giác trên và giải thích kết quả.

Hướng dẫn trả lời:

Ta có: $\frac{AB}{MN}=\frac{BC}{NP}=\frac{CA}{PM}=\frac{1}{2}$

Suy ra: △ABC ∼ △MNP (c.c.c)

Do đó: $\hat{A}=\hat{M};\hat{B}=\hat{N}; \hat{C}=\hat{P}$

Bài 3: Bác Hùng vẽ bản đồ trong đó dùng ba đỉnh A, B, C của tam giác ABC lần lượt mô tả ba vị trí M, N, P trong thực tiễn. Bác Duy cũng vẽ một bản đồ, trong đó dùng ba đỉnh A', B', C' của tam giác A'B'C' lần lượt mô tả ba vị trí M, N, P đó. Tỉ lệ bản đồ mà bác Hùng và bác Duy vẽ lần lượt là 1 : 1 000 000 và 1 : 500 000. Chứng minh △A'B'C' ∼ △ABC và tính tỉ số đồng dạng. 

Vì tam giác ABC đồng dạng với tam giác MNP; tam giác A'B'C' đồng dạng với tam giác MNP nên tam giác A'B'C' đồng dạng với tam giác ABC. 

Theo giả thuyết ta có: Tam giác ABC đồng dạng với tam giác MNP theo tỉ số $\frac{1}{1000000}$

Nên $\frac{AB}{MN}=\frac{BC}{NP}=\frac{CA}{PM}=\frac{1}{1000000}$

Hay: MN = 1 000 000AB; NP = 1 000 000BC; PM = 1 000 000CA. (1)

Theo giả thuyết ta có: Tam giác A'B'C' đồng dạng với tam giác MNP theo tỉ số $\frac{1}{1500000}$

Nên $\frac{A'B'}{MN}=\frac{B'C'}{NP}=\frac{C'A'}{PM}=\frac{1}{1500000}$

Hay: MN = 1 500 000A'B'; NP = 1 500 000B'C'; PM = 1 500 000C'A'. (2)

Từ (1)(2) ta có: 1 000 000AB = 1 500 000A'B' hay $\frac{A'B'}{AB}=\frac{2}{3}$

1 000 000BC = 1 500 000B'C' hay $\frac{B'C'}{BC}=\frac{2}{3}$

1 000 000CA = 1 500 000C'A' hay $\frac{C'A'}{CA}=\frac{2}{3}$

Vậy tam giác A'B'C' đồng dạng với tam giác ABC với tỉ số $\frac{2}{3}$

Bài 4: Cho tam giác ABC và điểm O nằm trong tam giác. Các điểm M, N, P lần lượt thuộc các tia OA, OB, OC sao cho $\frac{OA}{OM}=\frac{OB}{ON}=\frac{OC}{OP}=\frac{2}{3}$. Chứng minh △ABC ∼ △MNP.

Hướng dẫn trả lời:

Tam giác OMN có: $\frac{OA}{OM}=\frac{OB}{ON}=\frac{2}{3}$

Suy ra: AB // MN nên $\frac{AB}{MN}=\frac{2}{3}$

Chứng minh tương tự ta có: $\frac{BC}{NP}=\frac{2}{3};\frac{CA}{PM}=\frac{2}{3}$

Do đó: $\frac{AB}{MN}=\frac{BC}{NP}=\frac{CA}{PM}$

Vậy △ABC ∼ △MNP (c.c.c)

Bài 5: Bạn Hoa vẽ trên giấy một tam giác ABC và đoạn thẳng MN với các kích thước như Hình 66. Bạn Hoa đố bạn Thanh vẽ điểm P thỏa mãn $\widehat{PMN}=\widehat{ACB},\widehat{PNM}=\widehat{BAC}$ mà không sử dụng thước đo góc. Em hãy giúp bạn Thanh sử dụng thước thẳng (có chia khoảng milimét) và compa để vẽ điểm P và giải thích kết quả tìm được.

Hướng dẫn trả lời:

Nếu $\widehat{PMN}=\widehat{ACB},\widehat{PNM}=\widehat{BAC}$ thì $\widehat{MPN}=\widehat{CBA}$

Ta có: △ABC ∼ △NPM

Do đó: $\frac{AB}{NP}=\frac{BC}{PM}=\frac{CA}{MN}$ hay $\frac{8}{NP}=\frac{6}{PM}=\frac{3}{4,5}$

Ta có: $\frac{8}{NP}=\frac{3}{4,5}$ nên NP = 12 cm. 

$\frac{6}{PM}=\frac{3}{4,5}$ nên PM = 9 cm. 

Dùng thước kẻ vẽ hai đoạn thẳng NP = 12 cm, PM = 9 cm ta được điểm P thỏa mãn đề bài. 

Bài 6: Cho các hình bình hành ABCD và BMNP như ở Hình 67. Chứng minh:

a) $\frac{BM}{BA}=\frac{BP}{BC}$

b) △MNP ∼ △CBA.

Hướng dẫn trả lời: 

a) Tam giác ABD có MN // AD nên $\frac{BM}{BA}=\frac{BN}{BD}$ (1)

Tam giác BCD có NP // CD nên $\frac{BN}{BD}=\frac{BP}{BC}$ (2)

Từ (1)(2) suy ra: $\frac{BM}{BA}=\frac{BP}{BC}$

b) Từ câu a suy ra MP // AC (định lí Thalès)

Do đó: △PBM ∼ △CBA (3)

Ta có: $\frac{PB}{MN}=\frac{BM}{NP}=\frac{MP}{PM}=1$

Suy ra: △PBM ∼ △MNP (4)

Từ (3)(4) suy ra: △MNP ∼ △CBA.