Giải chi tiết Toán 8 cánh diều mới bài: Bài tập cuối chương VIII

a) Số đo góc D bằng bao nhiêu độ?

A. $40^{o}$

B. $50^{o}$

C. $60^{o}$

D. $80^{o}$

b) Số đo góc N bằng bao nhiêu độ?

A. $40^{o}$

B. $50^{o}$

C. $60^{o}$

D. $80^{o}$

c) Số đo góc P bằng bao nhiêu độ?

A. $40^{o}$

B. $50^{o}$

C. $60^{o}$

D. $80^{o}$

Hướng dẫn trả lời:

a) Đáp án A

b) Đáp án C

c) Đáp án D

Bài 2: Cho △DEG ∼ △MNP, DE = 2 cm, DG = 4 cm, MN = 4 cm, NP = 6 cm.

a) Độ dài cạnh EG là:

A. 2 cm

B. 3 cm

C. 4 cm

D. 8 cm

b) Độ dài cạnh MP là:

A. 2 cm

B. 3 cm

C. 4 cm

D. 8 cm

Hướng dẫn trả lời:

a) Đáp án B

b) Đáp án: D

Bài 3: Cho tam giác ABC, các điểm M, N, P lần lượt thuộc các cạnh AB, AC, BC sao cho tứ giác BMNP là hình bình hành (Hình 102). Chứng minh $\frac{MN}{BC}+\frac{NP}{AB}=1$

Hướng dẫn trả lời:

Ta có: NP // AB nên $\frac{NP}{AB}=\frac{CP}{BC}$ (định lí Thalès)

$\frac{MN}{BC}=\frac{BP}{BC}$ (MN = BP do BMNP là hình bình hành)

Suy ra: $\frac{MN}{BC}+\frac{NP}{AB}=\frac{BP}{BC}+\frac{CP}{BC}=\frac{BP+CP}{BC}=\frac{BC}{BC}=1$

Bài 4: Cho tứ giác ABCD. Tia phân giác của các góc BAD và BCD cắt nhau tại điểm I. Biết I thuộc đoạn thẳng BD (Hình 103). Chứng minh AB . CD = AD . BC.

Hướng dẫn trả lời: 

Tam giác ABD có AI là đường phân giác của góc BAD

Suy ra: $\frac{ID}{IB}=\frac{AD}{AB}$ (Tính chất đường phân giác) (1)

Tam giác BCD có CI là đường phân giác của góc BCD

Suy ra: $\frac{ID}{IB}=\frac{CD}{BC}$ (Tính chất đường phân giác) (2)

Từ (1)(2) suy ra: $\frac{AD}{AB}=\frac{CD}{BC}$ hay AB . CD = AD . BC.

Bài 5: Cho hình bình hành ABCD. Gọi M, N, P lần lượt là trung điểm của các đoạn thẳng AB, BC, AN và Q là giao điểm của AN và DM. Chứng minh:

a) MP // AD, $MP=\frac{1}{4}AD$

b) $AQ=\frac{2}{5}AN$

c) Gọi R là trung điểm của CD. Chứng minh ba điểm M, P, R thẳng hàng và $PR=\frac{3}{4}AD$

Hướng dẫn trả lời:

a) Tam giác ABN có: M, P lần lượt là trung điểm của AB, AN

Suy ra: MP là đường trung bình của tam giác ABN

Do đó: MP // BN hay MP // BC (N thuộc BC) mà BC // AD (ABCD là hình bình hành), nên MP // AD

$MP=\frac{1}{2}BN$ mà $BN=\frac{1}{2}BC$ (N là trung điểm BC), nên $MP=\frac{1}{4}BC$

Mà BC = AD (ABCD là hình bình hành) 

Do đó: $MP=\frac{1}{4}AD$

b) Ta có: MP // AD (cmt)

Suy ra: $\frac{MP}{AD}=\frac{QP}{AQ}$ (định lí Thalès)

Hay: $\frac{1}{4}=\frac{QP}{AQ}$ nên AQ = 4QP (1)

Ta có: QP = AP - AQ 

Mà $AP=\frac{1}{2}AN$ (P là trung điểm AN)

Do đó: $QP=\frac{1}{2}AN-AQ$ (2)

Thay (2) vào (1) ta được: $AQ=4.(\frac{1}{2}AN-AQ)$

AQ = 2AN - 4AQ

5AQ = 2 AN hay $AQ=\frac{2}{5}AN$

c) Ta có: M, R lần lượt là trung điểm của AB, CD 

Suy ra: MR // AD và MR = AD

Mà MP // AD (câu a) 

Do đó: M, P, R thẳng hàng.

Ta có: $MP=\frac{1}{4}AD$ (câu a) 

Mà MR = AD 

Suy ra: $MP=\frac{1}{4}MR$. Do đó: $PR=\frac{3}{4}MR$ hay $PR=\frac{3}{4}AD$

Bài 6: Cho tam giác ABC đồng dạng với tam giác A'B'C' theo tỉ số đồng dạng k.

a) Cho AM, A'M' lần lượt là các đường trung tuyến của các tam giác ABC, A'B'C'. Chứng minh △ABM ∼ △A'B'M' và $\frac{AM}{A'M'}=k$

b) Cho AD, A'D' lần lượt là các đường phân giác của các tam giác ABC, A'B'C'. Chứng minh △ABD ∼ △A'B'D' và $\frac{AD}{A'D'}=k$

c) Cho AH, A'H' lần lượt là các đường cao của các tam giác ABC, A'B'C'. Chứng minh △ABH ∼ △A'B'H' và $\frac{AH}{A'H'}=1$

Hướng dẫn trả lời:

a) Ta có: Tam giác ABC đồng dạng với tam giác A'B'C' theo tỉ số đồng dạng k

Suy ra: $\frac{AB}{A'B'}=\frac{BC}{B'C'}=k$ và $\hat{B}=\hat{B'}$

Mà $BM=\frac{1}{2}BC; B'M'=\frac{1}{2}B'C'$

Do đó: $\frac{AB}{A'B'}=\frac{BM}{B'M'}=k$ và $\hat{B}=\hat{B'}$

Suy ra: △ABM ∼ △A'B'M' (c.g.c)

Nên $\frac{AM}{A'M'}=\frac{BM}{B'M'}=k$

b) Ta có: $\frac{AB}{A'B'}=\frac{BC}{B'C'}=\frac{AC}{A'C'}=k$ và $\hat{B}=\hat{B'}$

Suy ra: $\frac{AB}{AC}=\frac{A'B'}{A'C'}$

Do AD là đường phân giác của tam giác ABC nên $\frac{BD}{CD}=\frac{AB}{AC}$

Do A'D' là đường phân giác của tam giác A'B'C' nên $\frac{B'D'}{C'D'}=\frac{A'B'}{A'C'}$

Suy ra: $\frac{BD}{CD}=\frac{B'D'}{C'D'}$ hay $\frac{BD}{B'D'}=\frac{CD}{C'D'}$

Ta có: $\frac{BD}{B'D'}=\frac{CD}{C'D'}=\frac{BD+CD}{B'D'+C'D'}=\frac{BC}{B'C'}$

Mà $\frac{BC}{B'C'}=k$

Do đó:$\frac{BD}{B'D'}=k$ mà $\frac{AB}{A'B'}=k$

Nên $\frac{BD}{B'D'}$ và $\hat{B}=\hat{B'}$

Do đó: △ABD ∼ △A'B'D' (c.g.c)

Suy ra: $\frac{AD}{A'D'}=k$

c) Ta có: $\hat{B}=\hat{B'}$ và $\widehat{AHB}=\widehat{A'H'B'}=90^{o}$

Suy ra: △ABH ∼ △A'B'H' (g.g)

Nên $\frac{AB}{A'B'}=\frac{AH}{A'H'}$

Mà $\frac{AB}{A'B'}=k$

Do đó: $\frac{AH}{A'H'}=k$

Bài 7: Tính các độ dài x, y, z, t ở các Hình 104a, 104b, 104c.

Hướng dẫn trả lời:

a) Ta có: $\widehat{AMN}=\widehat{ABC}$ và chung góc A

Suy ra: △AMN ∼ △ABC

Do đó: $\frac{AM}{AB}=\frac{AN}{AC}$ hay $\frac{x}{x+2}=\frac{6}{6+3}$

Suy ra: 9x = 6(x + 2)

9x = 6x + 12

3x = 12

x = 4.

Vậy x = 4.

b) Ta có: GH // EF nên $\frac{GH}{EF}=\frac{DG}{DF}=\frac{DH}{DE}$ (định lí Thalès)

Hay $\frac{z}{7,8}=\frac{y}{9}=\frac{2}{6}$

Ta có:$\frac{y}{9}=\frac{2}{6}$. Suy ra: y = 3.

$\frac{z}{7,8}=\frac{2}{6}$ Suy ra: z = 2,6.

c) Ta có: IK là đường phân giác của tam giác ILJ

Suy ra: $\frac{JK}{KL}=\frac{IJ}{IL}$ hay$\frac{t}{3}=\frac{2,4}{3,6}$

Do đó: t = 2.

Bài 8: Cho Hình 105. Chứng minh:

a) △HAB ∼ △HBC;

b) HB = HD = 6 cm.

Hướng dẫn trả lời: 

a) Ta có: $\widehat{AHB}=\widehat{ABC}=90^{o}$ chung góc A

Suy ra: △HAB ∼ △BAC (1)

Ta có: $\widehat{BHC}=\widehat{ABC}=90^{o}$, chung góc C

Suy ra: △HBC ∼ △BAC (2)

Từ (1)(2) suy ra: △HAB ∼ △HBC.

b) △HAB ∼ △HBC (câu a) 

Suy ra: $\frac{HA}{HB}=\frac{HB}{HC}$ hay $\frac{4}{HB}=\frac{HB}{9}$

Do đó: $HB^{2}=36$ hay HB = 6 cm (1)

Chứng minh tương tự câu a ta có: △HAD ∼ △HDC

Suy ra: $\frac{HA}{HD}=\frac{HD}{HC}$ hay $\frac{4}{HD}=\frac{HD}{9}$

Do đó: $HD^{2}=36$ hay HD = 6 cm (2)

Từ (1)(2) suy ra: HB = HD = 6 cm.

Bài 9: Cho Hình 106. Chứng minh:

a) $AH^{2}=AB.AI=AC.AK$

b) $\widehat{AIK}=\widehat{ACH}$

Hướng dẫn trả lời:

a) Ta có: $\widehat{AIH}=\widehat{AHB}=90^{o}$ chung góc A

Suy ra: △AIH ∼ △AHB (g.g)

Do đó: $\frac{AI}{AH}=\frac{AH}{AB}$ hay $AH^{2}=AC.AK$

Ta có: $\widehat{AKH}=\widehat{AHC}=90^{o}$, chung góc A

Suy ra: △AKH ∼ △AHC (g.g)

Do đó: $\frac{AK}{AH}=\frac{AH}{AC}$ hay $AH^{2}=AC.AK$

Vậy $AH^{2}=AB.AI=AC.AK$

b) Ta có: AB . AI = AC . AK (câu a)

Suy ra: $\frac{AB}{AK}=\frac{AC}{AI}$ chung góc A

Do đó: △ABC ∼ △AKI (c.g.c)

Nên $\widehat{AIK}=\widehat{ACB}$ hay $\widehat{AIK}=\widehat{ACH}$

Bài 10: Cho tam giác ABC có M, N là hai điểm lần lượt thuộc các cạnh AB, AC sao cho MN // BC. Gọi I, P, Q lần lượt là giao điểm của BN và CM, AI và MN, AI và BC. Chứng minh:

a) $\frac{MP}{BQ}=\frac{PN}{QC}=\frac{AP}{AQ}$

b) $\frac{MP}{QC}=\frac{PN}{BQ}=\frac{IP}{IQ}$

Hướng dẫn trả lời:

a) Theo định lí Thalès ta có: 

MP // BQ nên $\frac{MP}{BQ}=\frac{AP}{AQ}$

PN // QC nên $\frac{PN}{QC}=\frac{AP}{AQ}$

Suy ra: $\frac{MP}{BQ}=\frac{PN}{QC}=\frac{AP}{AQ}$

b) Theo định lí Thalès ta có: 

MP // QC nên $\frac{MP}{QC}=\frac{IP}{IQ}$

PN // BQ nên $\frac{PN}{BQ}=\frac{IP}{IQ}$

Suy ra: $\frac{MP}{QC}=\frac{PN}{BQ}=\frac{IP}{IQ}$

Bài 11: Cho Hình 107. Chứng minh:

a) △ABN ∼ △AIP và AI . AN = AP . AB;

b) A$AI.AN+BI.BM=AB^{2}$

Hướng dẫn trả lời:

a) Ta có: $\widehat{ANB}=\widehat{API}=90^{o}$ chung góc A

Suy ra: △ABN ∼ △AIP (g.g)

Do đó: $\frac{AB}{AI}=\frac{AN}{AP}$ hay AI . AN = AP . AB.

b) Ta có: $\widehat{AMB}=\widehat{IPB}=90^{o}$, chung góc B

Suy ra: △AMB ∼ △IPB (g.g)

Do đó: $\frac{AB}{BI}=\frac{BM}{BP}$ hay BI . BM = AB . PB.

Ta có: AI . AN + BI . BM = AP.AB + AB.PB = AB(AP + PB) = $AB^{2}$

Bài 12: Hình 108 minh họa mặt cắt đứng của tủ sách nghệ thuật ở nhà bác Ngọc. Sau một thời gian sử dụng, tủ sách đó đã có dấu hiệu bị xuống cấp và cần sửa lại. Các tấm ngăn BM, CN, DP bị hỏng và cần thay mới. Em hãy giúp bác Ngọc tính toán chiều dài các tấm ngăn mới lần lượt thay thế cho các tấm ngăn BM, CN, DP đã bị hỏng. Biết chiều dài tấm ngăn EQ bằng 4 m. 

Hướng dẫn trả lời:

Theo định lí Thalès ta có:

BM // EQ nên $\frac{BM}{EQ}=\frac{AB}{AE}$ hay $\frac{BM}{4}=\frac{1}{4}$ Suy ra BM = 1.

CN // EQ nên $\frac{CN}{EQ}=\frac{AC}{AE}$ hay $\frac{CN}{4}=\frac{2}{4}$. Suy ra CN = 2.

DP // EQ nên $\frac{DP}{EQ}=\frac{AD}{AE}$ hay $\frac{DP}{4}=\frac{3}{4}$ Suy ra DP = 3.

Bài 13: Cho Hình 109. Hình nào đồng dạng phối cảnh với:

a) Tam giác OAB?

b) Tam giác OBC?

c) Tam giác OCD?

d) Tứ giác ABCD?

Hướng dẫn trả lời: