Giải SBT kết nối tri thức toán 10 bài 17 Dấu của tam thức bậc hai

BÀI TẬP

Bài 6.21. Xét dấu các tam thức bậc hai sau:

a) $f(x) = –x^{2} + 6x + 7;$

b) $g(x) = 3x^{2} – 2x + 2;$

c) $h(x) = –16x^{2} + 24x – 9;$

d) $k(x) = 2x^{2} – 6x + 1.$

Trả lời:

a) $f(x) = –x^{2} + 6x + 7$  có a = –1 < 0

f(x) = 0 <=> $ –x^{2} + 6x + 7  = 0$

Xét phương trình bậc hai $–x^{2} + 6x + 7  = 0$ có $\Delta = b^{2} – 4ac = 6^{2} – 4\times (–1)\times 7 = 64 > 0$

Do đó, phương trình có hai nghiệm phân biệt: x1 = 7; x2 = -1.

Vậy $f(x) = –x^{2} + 6x + 7 < 0$ với $x \in  (–\infty ; –1) \cup  (7; +\infty ), f(x) = –x^{2} + 6x + 7 > 0$ với $x \in  (–1; 7).$

b) $g(x) = 3x^{2} – 2x + 2$  có a = 3 > 0

g(x) = 0 <=> $3x^{2}– 2x + 2 = 0$

Xét phương trình bậc hai $3x^{2} – 2x + 2 = 0$ có $\Delta  = b^{2} – 4ac = (–2)^{2} – 4\times 3\times 2 = –20 < 0.$

Vậy $g(x) = 3x^{2} – 2x + 2 > 0$ với $x \in  R$

c) $h(x) = –16x^{2} + 24x – 9$ có a = –16 < 0

h(x) = 0 <=> $ –16x^{2} + 24x – 9 = 0$

Xét phương trình bậc hai $–16x^{2} + 24x – 9 = 0$ có $\Delta  = b^{2} – 4ac = 24^{2} – 4\times (–16)\times (–9) = 0$

Vậy phương trình có nghiệm kép: x=$\frac{3}{4}$

Vậy h(x) < 0 với $x \in$ R\ {$\frac{3}{4}$} và h(x) = 0 tại $x=\frac{3}{4}$

d) $k(x) = 2x^{2} – 6x + 1$  có a = 2 > 0

k(x) = 0 <=> $ 2x^{2} – 6x + 1 = 0$

Xét phương trình bậc hai $2x^{2} – 6x + 1 = 0$  có $\Delta  = b^{2} – 4ac = (–6)^{2} – 4\times 2\times 1 = 28 > 0$

Do đó, phương trình có hai nghiệm phân biệt: $x1 = \frac{3+\sqrt{7}}{2}; x2 = \frac{3-\sqrt{7}}{2}$

Vậy k(x) < 0 với $x \in  (\frac{3-\sqrt{7}}{2};\frac{3+\sqrt{7}}{2})$  và k(x) > 0 với $x \in (−\infty ;\frac{3-\sqrt{7}}{2})\cup (\frac{3+\sqrt{7}}{2};+\infty )$