Bài 1. Cho các mệnh đề:
P: “Phương trình bậc hai $ax^{2} + bx + c = 0$ có hai nghiệm phân biệt”;
Q: “Phương trình bậc hai $ax^{2} + bx + c = 0$ có biệt thức ∆ = $b^{2} – 4ac > 0$”.
a) Hãy phát biểu các mệnh đề: P ⇒ Q, Q ⇒ P, P ⇔ Q, $\overline{P}=>\overline{Q}$. Xét tính đúng sai của các mệnh đề này.
b) Dùng các khái niệm “điều kiện cần” và “điều kiện đủ” để diễn tả mệnh đề P ⇒ Q.
c) Gọi X là tập hợp các phương trình bậc hai $ax^{2} + bx + c = 0$ có hai nghiệm phân biệt, Y là tập hợp các phương trình bậc hai $ax^{2} + bx + c = 0$ có hệ số a và c trái dấu. Nêu mối quan hệ giữa hai tập hợp X và Y.
Trả lời:
a)
Mệnh đề $\overline{P}$ là mệnh đề phủ định của mệnh đề P và được phát biểu là: “Phương trình bậc hai $ax^{2} + bx + c = 0$ không có hai nghiệm phân biệt”.
Mệnh đề $\overline{Q}$ là mệnh đề phủ định của mệnh đề Q và được phát biểu là: “Phương trình bậc hai $ax^{2} + bx + c = 0$ có biệt thức $∆ = b^{2} – 4ac ≤ 0$”.
Khi đó, ta phát biểu mệnh đề $\overline{P}=>\overline{Q}$ : “Nếu phương trình bậc hai $ax^{2} + bx + c = 0$ không có hai nghiệm phân biệt thì phương trình bậc hai $ax^{2} + bx + c = 0$ có biệt thức $∆ = b^{2} – 4ac ≤ 0$”. Mệnh đề này là mệnh đề đúng.
b)
c) Ta có các phương trình bậc hai $ax^{2} + bx + c = 0$ có hệ số a và c trái dấu thì luôn có hai nghiệm trái dấu, hiển nhiên đây là hai nghiệm phân biệt. Nhưng các phương trình bậc hai $ax^{2} + bx + c = 0$ có hai nghiệm phân biệt thì hai nghiệm này chưa chắc đã trái dấu.
Do đó mọi phần tử của tập hợp Y thì đều là phần tử của tập hợp X.
Vậy Y là tập con của tập hợp X và ta viết Y ⊂ X.