Giải SBT Vật lí 11 Kết nối mới bài 5: Động năng. Thế năng. Sự chuyển hóa năng lượng trong dao động điều hòa

5.1. Đại lượng nào sau đây tăng gấp đôi khi biên độ của dao động điều hoà của con lắc lò xo tăng gấp đôi? 

A. Cơ năng của con lắc.

B. Động năng của con lắc.

C. Vận tốc cực đại.

D. Thế năng của con lắc.

Trả lời:

Đáp án đúng: C

Vận tốc cực đại là: $v_{max}=A\omega$ nên khi biên độ của dao động điều hoà tăng gấp đôi thì vận tốc cực đại tăng gấp đôi.

Cơ năng của con lắc lò xo là: $W=W_{đ}+W_{t}=\frac{1}{2}mv^{2}+\frac{1}{2}kx^{2}=\frac{1}{2}m\omega^{2}A^{2}=\frac{kA^{2}}{2}$ nên khi biên độ của dao động điều hoà tăng gấp đôi thì cơ năng sẽ tăng gấp 4 lần.

5.2. Cơ năng của một chất điểm dao động điều hoà tỉ lệ thuận với

A. chu kì dao động.

B. biên độ dao động.

C. bình phương biên độ dao động.

D. bình phương chu kì dao động.

Trả lời:

Đáp án đúng: C

Cơ năng của vật là: $W=\frac{1}{2}mv^{2}+\frac{1}{2}m\omega^{2}x^{2}=\frac{1}{2}m\omega^{2}A^{2}=conts$

Cơ năng của vật tỉ lệ với bình phương biên độ dao động.

5.3. Trong dao động điều hoà thì tập hợp ba đại lượng nào sau đây không thay đổi theo thời gian?

A. Lực kéo về; vận tốc; năng lượng toàn phần.

B. Biên độ; tần số góc; gia tốc.

C. Động năng; tần số; lực kéo về.

D. Biên độ; tần số góc; năng lượng toàn phần.

Trả lời:

Đáp án đúng: D

Trong dao động điều hoà thì tập hợp ba đại lượng biên độ; tần số góc; năng lượng toàn phần không thay đổi theo thời gian.

5.4. Phương trình dao động điều hoà của một chất điểm dao động là:

$x = A cos(\omega t + \frac{2\pi}{3})$ (cm)

Biểu thức động năng của nó biến thiên theo thời gian là

A. $W_{đ}=\frac{mA^{2}\omega^{2}}{4}[1+cos(2\omega t +\frac{\pi}{3})]$.

B. $W_{đ}=\frac{mA^{2}\omega^{2}}{4}[1-cos(2\omega t +\frac{4\pi}{3})]$.

C. $W_{đ}=\frac{mA^{2}\omega^{2}}{4}[1+cos(2\omega t +\frac{4\pi}{3})]$.

D. $W_{đ}=\frac{mA^{2}\omega^{2}}{4}[1-cos(2\omega t +\frac{\pi}{3})]$.

Trả lời:

Đáp án đúng: C

$x = A cos(\omega t + \frac{2\pi}{3})$ (cm)

=> $v=-A\omega sin(\omega t+\frac{2\pi}{3})$

Động năng của vật dao động điều hoà được xác định bởi biểu thức: 

$W_{đ}=\frac{1}{2}m\omega^{2}(A^{2}-x^{2})=\frac{1}{2}mv^{2}$

=> $W_{đ}=\frac{1}{2}m(-A\omega sin(\omega t+\frac{2\pi}{3}))^{2}$

$=\frac{1}{2}mA^{2}\omega^{2}[1-cos^{2}(\omega t+\frac{2\pi}{3})]$

$=\frac{1}{2}mA^{2}\omega^{2}[1-\frac{1+cos(2\omega t+\frac{4\pi}{3})}{2}]$

$=\frac{1}{2}mA^{2}\omega^{2}[\frac{1+cos(2\omega t+\frac{4\pi}{3})}{2}]$

$=\frac{1}{4}mA^{2}\omega^{2}[1+cos(2\omega t +\frac{4\pi}{3})]$.

5.5. Một chất điểm dao động điều hoà. Biết khoảng thời gian giữa năm lần liên tiếp động năng của chất điểm bằng thế năng của hệ là 0,4 s. Tần số của dao động của chất điểm là

A. 2,5 Hz.

B. 3,125 Hz.

C. 5 Hz.

D. 6,25 Hz.

Trả lời:

Đáp án đúng: A

Vị trí động năng và thế năng bằng nhau là: $W_{đ}=W_{t}$

$=>\frac{1}{2}m\omega^{2}(A^{2}-x^{2})=\frac{1}{2}m\omega^{2}x^{2}$

$=>A^{2}-x^{2}=x^{2}=>2x^{2}=A^{2}=>x=\frac{A\sqrt{2}}{2}$

Khoảng thời gian giữa năm lần liên tiếp động năng của chất điểm bằng thế năng của hệ là 0,4 s nên ta có: $\frac{4T}{4}=0,4 => T=0,4 (s)$

$=>f=\frac{1}{T}=\frac{1}{0,4}=2,5 (Hz)$

5.6. Một chất điểm có khối lượng m, dao động điều hoà với biên độ A, tần số góc 0. Động năng cực đại của chất điểm là

A. $\frac{m\omega^{2}A^{2}}{2}$.

B. $\frac{\omega^{2}A^{2}}{2 m }$.

C. $\frac{m A \omega^{2}}{2}$.

D. $\frac{m\omega A^{2}}{2}$.

Trả lời:

Đáp án đúng: A

Ta có: $W_{đ}=\frac{1}{2}m\omega^{2}(A^{2}-x^{2})$

Mà động năng đạt giá trị cực đại tại vị trí cân bằng => x = 0

=> $W_{đ max}=\frac{1}{2}m\omega^{2}A^{2}$

5.7. Một vật có khối lượng m = 0,4 kg, dao động điều hoà với chu kì T = 0,2$\pi$ (s), biên độ bằng 10 cm. Tính cơ năng của dao động.

Trả lời:

Cơ năng của dao động là: 

$W=\frac{m\omega^{2}A^{2}}{2}=\frac{m}{2}(\frac{2\pi}{T})^{2}A^{2}=\frac{0,4.(\frac{2\pi}{0,2\pi})^{2}.(0,1)^{2}}{2}=0,2 J$

5.8. Một chất điểm có khối lượng 100 g dao động điều hoà trên quỹ đạo là đoạn thẳng MN (dài hơn 8 cm). Tại điểm P cách M một khoảng 4 cm và tại điểm Q cách N một khoảng 2 cm, chất điểm có động năng tương ứng là 32.10$^{-3}$ J và 18.10$^{-3}$ J. Tính tốc độ trung bình khi vật đi từ P đến Q.

Trả lời:

Tốc độ tại điểm P: $v_{P}=\sqrt{\frac{2W_{đP}}{m}}=80$ (cm/s)

Tốc độ tại điểm Q: $v_{Q}=\sqrt{\frac{2W_{đQ}}{m}}=60$ (cm/s)

Vì vP > vQ nên li độ |xP| < |xQ|: 

$\left\{\begin{matrix}|x_{P}|=A-4\\ |x_{Q}|=A-2\end{matrix}\right. $

$\left\{\begin{matrix}v_{P}^{2}=\omega^{2}(A^{2}-x_{P}^{2})\\v_{Q}^{2}=\omega^{2}(A^{2}-x_{P}^{2})\end{matrix}\right.\Rightarrow \left\{\begin{matrix}v_{P}^{2}=8\omega^{2}(A-2)\\v_{Q}^{2}=4\omega^{2}(A-1)\end{matrix}\right.$

$\Rightarrow \left\{\begin{matrix}80^{2}=8\omega^{2}(A-2)\\60^{2}=4\omega^{2}(A-1)\end{matrix}\right.$

$\Rightarrow A=10 cm$ và $\omega=10 rad/s$

Quãng đường PQ = OP + OQ = (A-4) + (A-2) = 14 (cm)

Thời gian vật đi từ P đến Q là ∆t với: $\Delta t=\frac{\Delta}{\omega}$

$\Delta \varphi=\pi – (\varphi_{1}+\varphi_{2})=\frac{\pi}{2}$

Với cosφ1=$\frac{OP}{A}$; cos φ2=$\frac{OQ}{A}$

$\Rightarrow$ ∆t $=\frac{T}{4}=\frac{\pi}{20}$ (s)

$\Rightarrow$ Tốc độ trung bình khi vật đi từ P đến Q: $\overline{v}=\frac{PQ}{\Delta t}=\frac{14}{\frac{\pi}{20}}\approx 89 cm/s$

5.9. Một con lắc lò xo treo thẳng đứng vào điểm I cố định, quả cầu có khối lượng 100 g. Con lắc dao động điều hoà theo phương trình $x = 4cos 10/sqrt{5} t$ (cm) với t tính theo giây. Lấy g = 10 m/s$^{2}$. Tính độ lớn lực đàn hồi lớn nhất và nhỏ nhất do lò xo tác dụng lên điểm I.

Trả lời:

Độ dãn của lò xo khi vật ở vị trí cân bằng: $\Delta l_{o}=\frac{g}{\omega^{2}}=\frac{10}{500}=2$ (cm).

Biên độ dao động A = 4cm.

Do A > ∆l$_{o}$ nên F$_{min}$= 0 (lúc lò xo không biến dạng).

Độ cứng của lò xo là: $k=\frac{mg}{∆l_{o}}=\frac{0,1.10}{0,02}=50$ (N/m)

Lực đàn hồi cực đại là: $F_{max}=k(∆l_{o}+A)=50.0,06=3$ (N)

5.10. Một con lắc lò xo treo thẳng đứng. Biết rằng trong quá trình dao động, tỉ số giữa độ lớn lực đàn hồi lớn nhất và nhỏ nhất là $\frac{7}{3}$, biên độ dao động là 10 cm. Lấy a = 10 m/s$^{2}$. Tính tần số dao động của vật.

Trả lời:

Tỉ số giữa độ lớn lực đàn hồi lớn nhất và nhỏ nhất là $\frac{7}{3}$ nên ta có:

$\frac{F_{max}}{F_{min}}=\frac{k(∆l_{o}+A)}{k(∆l_{o}-A)}=\frac{7}{3}$

$\Rightarrow 3(∆l_{o}+A)=7(∆l_{o}-A) \Rightarrow ∆l_{o}=2,5A=25(cm)=0,25(m)$

Với $∆l_{o}$ là độ dãn của lò xo tại vị trí cân bằng.

$\omega=\sqrt{\frac{g}{\Delta l_{o}}}=\sqrt{\frac{10}{0,25}}=2\pi (rad/s)$

$\Rightarrow f=\frac{\omega}{2\pi}=1$ (Hz)

5.11. Một con lắc đơn dao động điều hoà với biên độ góc $α_{max}$. Lấy mốc cơ năng tại vị trí cân bằng. Tính li độ góc của con lắc khi nó ở vị trí có động năng bằng thế năng.

Trả lời:

Khi động năng bằng thế năng: $W_{t}=W_{đ}$

$\Rightarrow W_{t}=2W\Leftrightarrow 2\frac{mgl\alpha^{2}_{max}}{2}$

$\Rightarrow\alpha=\pm\frac{\alpha_{max}\sqrt{2}}{2}$

5.12. Một con lắc lò xo gồm một lò xo nhẹ có độ cứng k, được treo thẳng đứng vào một giá cố định và một vật có khối lượng m = 100 g. Khi vật ở vị trí cân bằng O, lò xo dãn 2,5 cm. Kéo vật dọc theo trục của lò xo xuống dưới cách vị trí cân bằng O một đoạn 2 cm rồi truyền cho nó vận tốc có độ lớn $40\sqrt{3}$ cm/s theo phương thẳng đứng, hướng xuống dưới. Chọn trục toạ độ Ox theo phương thẳng đứng, gốc tại O, chiều dương hướng lên trên, gốc thời gian là lúc vật bắt đầu dao động. Lấy g = 10 m/s$^{2}$. Biết chiều dài tự nhiên của của lò xo là 50 cm.

a) Tính độ cứng của lò xo, viết phương trình dao động và tính cơ năng dao động của vật.

b) Xác định li độ và vận tốc của vật khi thế năng dao động bằng $\frac{1}{3}$ động năng.

c) Tính thế năng dao động, động năng và vận tốc của vật tại vị trí có li độ x = $2\sqrt{2}$ cm

d) Tính chiều dài, lực đàn hồi cực đại, cực tiểu của lò xo trong quá trình dao động.

Trả lời:

a) Gọi $\Delta l_{0}$ là độ dãn của lò xo tại vị trí cân bằng, ta có: $\Delta l_{0} = 2,5cm = 25m$

Tại vị trí cân bằng: $k. \Delta l_{0} =mg \Rightarrow k = \frac{mg}{\Delta l_{0}} = \frac{0,1. 10}{25} = 40$ N/m. 

$\omega = \sqrt{\frac{k}{m}} = \sqrt{\frac{40}{0,1}} = 20$ rad/s

Theo đề bài, khi t = 0 thì x = - 2 cm và v = $- 40\sqrt{3}$ cm/s 

$\Rightarrow A = \sqrt{x^{2} + \frac{v^{2}}{\omega^{2}}} = \sqrt{(- 2)^{2} +\frac{(40\sqrt{3})^{2}}{20^{2}}} = 4$cm .

Khi t = 0 thì $x = - \frac{A}{2}$ và v < 0 nên $\varphi = \frac{2\pi}{3}$ phương trình dao động là: 

$x = 4cos(20t + \frac{2\pi}{3})$ (cm)

Cơ năng của dao động:

$W = \frac{1}{2}m\omega^{2}A^{2} = \frac{1}{2}.0,1(20\pi)^{2}.(0,04)^{2}=0,032$ J.

b) Khi thế năng bằng $\frac{1}{3}$ động năng:

$W_{t} = \frac{1}{3}W_{đ}\Leftrightarrow W=4W_{t}\Leftrightarrow \frac{1}{2}m\omega^{2}A^{2} = 4.\frac{1}{2}m\omega^{2}x ^ {2}$ .

$\Rightarrow x= \pm \frac{A}{2} = \pm 2 cm$;

$W_{t} =\frac{W}{4} \Rightarrow W_{đ} = \frac{3W}{4} =\frac{3.0,032}{4} = 0,024$ J . 

$\Rightarrow v = \pm\sqrt{\frac{2W_{đ}}{m}} = \pm\sqrt{\frac{2.0,024}{0,1}} = \pm\frac{2\sqrt{3}}{5}$ m/s.

c) Khi $x = 0.02\sqrt{2}$ m, ta có thế năng:

$W_{t} = \frac{1}{2}m\omega^{2}x^{2} = \frac{1}{2}.0,1(20)^{2}.(0,02\sqrt{2})^{2} =0,016$ J.

Động năng $W_{đ} = W - W_{t} = 0,032 – 0,016 = 0,016$ J 

Vận tốc của vật khi đó: $v = \pm\sqrt{\frac{2W_{đ}}{m}} =\pm\sqrt{\frac{2.0,016}{0,1}}= \pm\frac{2\sqrt{2}}{5}$ m/s

d) Khi lực đàn hồi của lò xo tác dụng lên giá treo đạt cực đại thì độ biến dạng của lò xo là: 

$\Delta l_{max} =(\Delta l_{0} +A)$

=> Lực đàn hồi cực đại $F_{max} =k(\Delta l_{0}+A)=40(2,5+4).10^{-2} =2,6 N$. 

Lò xo có chiều dài cực đại: $l_{max}=(l_{0} + \Delta l_{0} +A)=50+2,5+4=56,5$ cm

Vì A > $\Delta l$, nên trong quá trình dao động có lúc vật qua vị trí lò xo không biến dạng, khi đó: $\Delta l_{min} =0 \Rightarrow$ Lực đàn hồi cực tiểu $F_{min} =0$ Khi đó, lò xo có chiều dài tự nhiên: $l_{0} = 50$ cm.

5.13. Hãy phân tích sự chuyển hoá năng lượng giữa động năng và thế năng trong hệ gồm hai lò xo và vật nặng m được mắc như Hình 5.1 khi quả nặng được thả cho dao động.

Trả lời:

Khi chưa được thả ra vật nặng đứng yên, nên động năng bằng 0, cả hai lò xo đều bị biến dạng và dự trữ năng lượng dưới dạng thế năng. Khi được thả ra, lò xo bên trái đang bị dãn sẽ kéo vật nặng sang trái, lò xo bên phải đang bị nén sẽ đẩy vật sang trái. 

Vậy, vật sẽ chuyển động sang trái và động năng của vật tăng còn thế năng của hệ hai lò xo và vật nặng giảm, tới khi hai lò xo có chiều dài tự nhiên thì thế năng của hệ bằng 0 và động năng đạt cực đại.

5.14. Một người khối lượng 83 kg treo mình vào sợi dây bungee đàn hồi có độ cứng k = 270 N/m (Hình 5.2). Từ vị trí cân bằng, người này được kéo đến vị trí mà sợi dây dẫn 5 m so với chiều dài tự nhiên rồi thả ra. Coi chuyển động của người đó là một dao động điều hoà. Xác định vị trí và vận tốc của người này sau 2 s. Lấy g = 9,8 m/s$^{2}$

Trả lời:

Chọn trục toạ độ Ox như hình. 

Tần số góc của dao động: $\omega = \sqrt{\frac{k}{m}} = \sqrt{\frac{270}{83}} \approx 1,8$ rad/s

Lực phục hồi khi dây đàn hồi dãn 5 m so với độ dài tự nhiên là:

$F = k(\Delta l_{0} + x) – mg= 270.5 – 83.9,8=537$ N.

$\Rightarrow x=\frac{F}{k}=\frac{537}{270}=1,99 m$.

Do đó $v=0 \Rightarrow x=A$ nên A=1,99 m

$ \Rightarrow x_{t}=Acos(\omega t)=1,99cos(1,8t) (m)$

$v_{t}=-A\omega sin(\omega t)=-3,58sin(1,8t) (m/s)$

Thay t=2s vào phương trình li độ và vận tốc ta thu được:

$x_{t=2}= 1,99cos(1,8t)=1,99cos(1,8.2)=-1,78 (m)$

$v_{t=2}=- 3,58cos(1,8t)=-3,58sin(1,8.2)=1,58 (m/s)$